MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjexp 15186
Description: Complex conjugate of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
cjexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem cjexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . 4 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
21fveq2d 6911 . . 3 (𝑗 = 0 → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴↑0)))
3 oveq2 7439 . . 3 (𝑗 = 0 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑0))
42, 3eqeq12d 2751 . 2 (𝑗 = 0 → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0)))
5 oveq2 7439 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
65fveq2d 6911 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴𝑘)))
7 oveq2 7439 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
86, 7eqeq12d 2751 . 2 (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)))
9 oveq2 7439 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
109fveq2d 6911 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
11 oveq2 7439 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
1210, 11eqeq12d 2751 . 2 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
13 oveq2 7439 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1413fveq2d 6911 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴𝑁)))
15 oveq2 7439 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))
1614, 15eqeq12d 2751 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
17 exp0 14103 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
1817fveq2d 6911 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = (∗‘1))
19 cjcl 15141 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
20 exp0 14103 . . . . 5 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = 1)
21 1re 11259 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
22 cjre 15175 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
2321, 22ax-mp 5 . . . . 5 (∗‘1) = 1
2420, 23eqtr4di 2793 . . . 4 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
2519, 24syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
2618, 25eqtr4d 2778 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))
27 expp1 14106 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2827fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (∗‘((𝐴𝑘) · 𝐴)))
29 expcl 14117 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
30 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
31 cjmul 15178 . . . . . 6 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
3229, 30, 31syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
3328, 32eqtrd 2775 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
3433adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
35 oveq1 7438 . . . 4 ((∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
36 expp1 14106 . . . . . 6 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
3719, 36sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
3837eqcomd 2741 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
3935, 38sylan9eqr 2797 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
4034, 39eqtrd 2775 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
414, 8, 12, 16, 26, 40nn0indd 12713 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  0cn0 12524  cexp 14099  ccj 15132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137
This theorem is referenced by:  cjexpd  15249  efcj  16125  plycjlem  26331  plyrecj  26336  atandmcj  26967
  Copyright terms: Public domain W3C validator