MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjexp 15042
Description: Complex conjugate of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
cjexp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem cjexp
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘0))
21fveq2d 6851 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘0)))
3 oveq2 7370 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘0))
42, 3eqeq12d 2753 . 2 (๐‘— = 0 โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘0)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘0)))
5 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
65fveq2d 6851 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
7 oveq2 7370 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
86, 7eqeq12d 2753 . 2 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
9 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
109fveq2d 6851 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
11 oveq2 7370 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1210, 11eqeq12d 2753 . 2 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
13 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
1413fveq2d 6851 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘)))
15 oveq2 7370 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
1614, 15eqeq12d 2753 . 2 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
17 exp0 13978 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
1817fveq2d 6851 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘0)) = (โˆ—โ€˜1))
19 cjcl 14997 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
20 exp0 13978 . . . . 5 ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘0) = 1)
21 1re 11162 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
22 cjre 15031 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜1) = 1)
2321, 22ax-mp 5 . . . . 5 (โˆ—โ€˜1) = 1
2420, 23eqtr4di 2795 . . . 4 ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘0) = (โˆ—โ€˜1))
2519, 24syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘0) = (โˆ—โ€˜1))
2618, 25eqtr4d 2780 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘0)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘0))
27 expp1 13981 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
2827fveq2d 6851 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (โˆ—โ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)))
29 expcl 13992 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
30 simpl 484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31 cjmul 15034 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
3229, 30, 31syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ—โ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
3328, 32eqtrd 2777 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
3433adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
35 oveq1 7369 . . . 4 ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) = (((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
36 expp1 13981 . . . . . 6 (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
3719, 36sylan 581 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
3837eqcomd 2743 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
3935, 38sylan9eqr 2799 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
4034, 39eqtrd 2777 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
414, 8, 12, 16, 26, 40nn0indd 12607 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„•0cn0 12420  โ†‘cexp 13974  โˆ—ccj 14988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993
This theorem is referenced by:  cjexpd  15105  efcj  15981  plycjlem  25653  plyrecj  25656  atandmcj  26275
  Copyright terms: Public domain W3C validator