Theorem cjexp 15085

Description: Complex conjugate of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cjexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem cjexp

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
2	1	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑0)))
3		oveq2 7376	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0)))
5		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6	5	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑𝑘)))
7		oveq2 7376	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
8	6, 7	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)))
9		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
11		oveq2 7376	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
12	10, 11	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
13		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14	13	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑𝑁)))
15		oveq2 7376	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))
16	14, 15	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
17		exp0 14000	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
18	17	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = (∗‘1))
19		cjcl 15040	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
20		exp0 14000	. . . . 5 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = 1)
21		1re 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		cjre 15074	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∗‘1) = 1
24	20, 23	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
25	19, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
26	18, 25	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))
27		expp1 14003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
28	27	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (∗‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
29		expcl 14014	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
30		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		cjmul 15077	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
32	29, 30, 31	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
33	28, 32	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
34	33	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
35		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ ((∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
36		expp1 14003	. . . . . 6 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
37	19, 36	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
38	37	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
39	35, 38	sylan9eqr 2794	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
40	34, 39	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
41	4, 8, 12, 16, 26, 40	nn0indd 12601	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996  ∗ccj 15031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036

This theorem is referenced by:  cjexpd  15148  efcj  16027  plycjlem  26250  plyrecj  26255  atandmcj  26887