MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjexp 15130
Description: Complex conjugate of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
cjexp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem cjexp
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7428 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘0))
21fveq2d 6901 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘0)))
3 oveq2 7428 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘0))
42, 3eqeq12d 2744 . 2 (๐‘— = 0 โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘0)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘0)))
5 oveq2 7428 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
65fveq2d 6901 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
7 oveq2 7428 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
86, 7eqeq12d 2744 . 2 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
9 oveq2 7428 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
109fveq2d 6901 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
11 oveq2 7428 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1210, 11eqeq12d 2744 . 2 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
13 oveq2 7428 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
1413fveq2d 6901 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘)))
15 oveq2 7428 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
1614, 15eqeq12d 2744 . 2 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
17 exp0 14063 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
1817fveq2d 6901 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘0)) = (โˆ—โ€˜1))
19 cjcl 15085 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
20 exp0 14063 . . . . 5 ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘0) = 1)
21 1re 11245 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
22 cjre 15119 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜1) = 1)
2321, 22ax-mp 5 . . . . 5 (โˆ—โ€˜1) = 1
2420, 23eqtr4di 2786 . . . 4 ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘0) = (โˆ—โ€˜1))
2519, 24syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘0) = (โˆ—โ€˜1))
2618, 25eqtr4d 2771 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘0)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘0))
27 expp1 14066 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
2827fveq2d 6901 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (โˆ—โ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)))
29 expcl 14077 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
30 simpl 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31 cjmul 15122 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
3229, 30, 31syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ—โ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
3328, 32eqtrd 2768 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
3433adantr 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
35 oveq1 7427 . . . 4 ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) = (((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
36 expp1 14066 . . . . . 6 (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
3719, 36sylan 579 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
3837eqcomd 2734 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
3935, 38sylan9eqr 2790 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
4034, 39eqtrd 2768 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
414, 8, 12, 16, 26, 40nn0indd 12690 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = ((โˆ—โ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   ยท cmul 11144  โ„•0cn0 12503  โ†‘cexp 14059  โˆ—ccj 15076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081
This theorem is referenced by:  cjexpd  15193  efcj  16069  plycjlem  26224  plyrecj  26227  atandmcj  26854
  Copyright terms: Public domain W3C validator