MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjexp 15035
Description: Complex conjugate of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
cjexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem cjexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . 4 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
21fveq2d 6846 . . 3 (𝑗 = 0 → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴↑0)))
3 oveq2 7365 . . 3 (𝑗 = 0 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑0))
42, 3eqeq12d 2752 . 2 (𝑗 = 0 → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0)))
5 oveq2 7365 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
65fveq2d 6846 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴𝑘)))
7 oveq2 7365 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
86, 7eqeq12d 2752 . 2 (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)))
9 oveq2 7365 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
109fveq2d 6846 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
11 oveq2 7365 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
1210, 11eqeq12d 2752 . 2 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
13 oveq2 7365 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1413fveq2d 6846 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴𝑁)))
15 oveq2 7365 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))
1614, 15eqeq12d 2752 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
17 exp0 13971 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
1817fveq2d 6846 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = (∗‘1))
19 cjcl 14990 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
20 exp0 13971 . . . . 5 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = 1)
21 1re 11155 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
22 cjre 15024 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
2321, 22ax-mp 5 . . . . 5 (∗‘1) = 1
2420, 23eqtr4di 2794 . . . 4 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
2519, 24syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
2618, 25eqtr4d 2779 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))
27 expp1 13974 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2827fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (∗‘((𝐴𝑘) · 𝐴)))
29 expcl 13985 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
30 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
31 cjmul 15027 . . . . . 6 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
3229, 30, 31syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
3328, 32eqtrd 2776 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
3433adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
35 oveq1 7364 . . . 4 ((∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
36 expp1 13974 . . . . . 6 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
3719, 36sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
3837eqcomd 2742 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
3935, 38sylan9eqr 2798 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
4034, 39eqtrd 2776 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
414, 8, 12, 16, 26, 40nn0indd 12600 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  0cn0 12413  cexp 13967  ccj 14981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986
This theorem is referenced by:  cjexpd  15098  efcj  15974  plycjlem  25637  plyrecj  25640  atandmcj  26259
  Copyright terms: Public domain W3C validator