MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icoopnst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoopnst 24969
Description: A half-open interval starting at 𝐴 is open in the closed interval from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
icoopnst.1 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
Assertion
Ref Expression
icoopnst ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽))

Proof of Theorem icoopnst
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooretop 24786 . . . . 5 ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
2 simp1 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ)
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ))
4 ltm1 12109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) < 𝐴)
6 peano2rem 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
8 ltletr 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 1) < 𝐴𝐴𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
983expb 1121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (((𝐴 − 1) < 𝐴𝐴𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
107, 9mpancom 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 1) < 𝐴𝐴𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
115, 10mpand 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴𝑣 → (𝐴 − 1) < 𝑣))
1211impr 454 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣)) → (𝐴 − 1) < 𝑣)
13123adantr3 1172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)) → (𝐴 − 1) < 𝑣)
1413ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
16 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 < 𝐶)
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 < 𝐶))
183, 15, 173jcad 1130 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶)))
19 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝐴𝑣)
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝐴𝑣))
21 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 elioc2 13450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
2321, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
2423biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
25 ltleletr 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶𝐶𝐵) → 𝑣𝐵))
26253expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶𝐶𝐵) → 𝑣𝐵))
2726an31s 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶𝐶𝐵) → 𝑣𝐵))
2827imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝑣 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝑣𝐵)
2928ancom2s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝐵𝑣 < 𝐶)) → 𝑣𝐵)
3029an4s 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑣 < 𝐶)) → 𝑣𝐵)
31303adantr2 1171 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)) → 𝑣𝐵)
3231ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
3332anasss 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
34333adantr2 1171 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
3534adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
3624, 35syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
373, 20, 363jcad 1130 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
3818, 37jcad 512 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
39 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ)
40 simpr2 1196 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝐴𝑣)
41 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 < 𝐶)
4239, 40, 413jca 1129 . . . . . . . 8 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶))
4338, 42impbid1 225 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
44 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4524simp1d 1143 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4645rexrd 11311 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
47 elico2 13451 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)))
4844, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)))
49 elin 3967 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
506rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
5150ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
52 elioo2 13428 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶)))
5351, 46, 52syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶)))
54 elicc2 13452 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
5554adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
5653, 55anbi12d 632 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
5749, 56bitrid 283 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
5843, 48, 573bitr4d 311 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ 𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
5958eqrdv 2735 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
60 ineq1 4213 . . . . . 6 (𝑣 = ((𝐴 − 1)(,)𝐶) → (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
6160rspceeqv 3645 . . . . 5 ((((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
621, 59, 61sylancr 587 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
63 retop 24782 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
64 ovex 7464 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ∈ V
65 elrest 17472 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
6663, 64, 65mp2an 692 . . . 4 ((𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
6762, 66sylibr 234 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
68 iccssre 13469 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6968adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
70 eqid 2737 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
71 icoopnst.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
7270, 71resubmet 24823 . . . 4 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7369, 72syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7467, 73eleqtrrd 2844 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)
7574ex 412 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143   × cxp 5683  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  abscabs 15273  t crest 17465  topGenctg 17482  MetOpencmopn 21354  Topctop 22899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator