MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icoopnst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoopnst 23108
Description: A half-open interval starting at 𝐴 is open in the closed interval from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
icoopnst.1 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
Assertion
Ref Expression
icoopnst ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽))

Proof of Theorem icoopnst
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooretop 22939 . . . . 5 ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
2 simp1 1172 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ)
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ))
4 ltm1 11193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
54adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) < 𝐴)
6 peano2rem 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
76adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
8 ltletr 10448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 1) < 𝐴𝐴𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
983expb 1155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (((𝐴 − 1) < 𝐴𝐴𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
107, 9mpancom 681 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 1) < 𝐴𝐴𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
115, 10mpand 688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴𝑣 → (𝐴 − 1) < 𝑣))
1211impr 448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣)) → (𝐴 − 1) < 𝑣)
13123adantr3 1218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)) → (𝐴 − 1) < 𝑣)
1413ex 403 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
1514ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
16 simp3 1174 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 < 𝐶)
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 < 𝐶))
183, 15, 173jcad 1165 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶)))
19 simp2 1173 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝐴𝑣)
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝐴𝑣))
21 rexr 10402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 elioc2 12524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
2321, 22sylan 577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
2423biimpa 470 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
25 ltleletr 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶𝐶𝐵) → 𝑣𝐵))
26253expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶𝐶𝐵) → 𝑣𝐵))
2726an31s 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶𝐶𝐵) → 𝑣𝐵))
2827imp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝑣 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝑣𝐵)
2928ancom2s 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝐵𝑣 < 𝐶)) → 𝑣𝐵)
3029an4s 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑣 < 𝐶)) → 𝑣𝐵)
31303adantr2 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)) → 𝑣𝐵)
3231ex 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
3332anasss 460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
34333adantr2 1217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
3534adantll 707 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
3624, 35syldan 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
373, 20, 363jcad 1165 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
3818, 37jcad 510 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
39 simpl1 1248 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ)
40 simpr2 1256 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝐴𝑣)
41 simpl3 1252 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 < 𝐶)
4239, 40, 413jca 1164 . . . . . . . 8 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶))
4338, 42impbid1 217 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
44 simpll 785 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4524simp1d 1178 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4645rexrd 10406 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
47 elico2 12525 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)))
4844, 46, 47syl2anc 581 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)))
49 elin 4023 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
506rexrd 10406 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
5150ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
52 elioo2 12504 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶)))
5351, 46, 52syl2anc 581 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶)))
54 elicc2 12526 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
5554adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
5653, 55anbi12d 626 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
5749, 56syl5bb 275 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
5843, 48, 573bitr4d 303 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ 𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
5958eqrdv 2823 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
60 ineq1 4034 . . . . . 6 (𝑣 = ((𝐴 − 1)(,)𝐶) → (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
6160rspceeqv 3544 . . . . 5 ((((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
621, 59, 61sylancr 583 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
63 retop 22935 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
64 ovex 6937 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ∈ V
65 elrest 16441 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
6663, 64, 65mp2an 685 . . . 4 ((𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
6762, 66sylibr 226 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
68 iccssre 12543 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6968adantr 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
70 eqid 2825 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
71 icoopnst.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
7270, 71resubmet 22975 . . . 4 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7369, 72syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7467, 73eleqtrrd 2909 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)
7574ex 403 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wrex 3118  Vcvv 3414  cin 3797  wss 3798   class class class wbr 4873   × cxp 5340  ran crn 5343  cres 5344  ccom 5346  cfv 6123  (class class class)co 6905  cr 10251  1c1 10253  *cxr 10390   < clt 10391  cle 10392  cmin 10585  (,)cioo 12463  (,]cioc 12464  [,)cico 12465  [,]cicc 12466  abscabs 14351  t crest 16434  topGenctg 16451  MetOpencmopn 20096  Topctop 21068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-rest 16436  df-topgen 16457  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-top 21069  df-topon 21086  df-bases 21121
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator