Theorem icoopnst 24446

Description: A half-open interval starting at 𝐴 is open in the closed interval from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoopnst.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))

Assertion

Ref	Expression
icoopnst	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽))

Proof of Theorem icoopnst

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooretop 24273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
2		simp1 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ))
4		ltm1 12052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) < 𝐴)
6		peano2rem 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
8		ltletr 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
9	8	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (((𝐴 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
10	7, 9	mpancom 686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
11	5, 10	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑣 → (𝐴 − 1) < 𝑣))
12	11	impr 455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣)) → (𝐴 − 1) < 𝑣)
13	12	3adantr3 1171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶)) → (𝐴 − 1) < 𝑣)
14	13	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
15	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
16		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 < 𝐶)
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 < 𝐶))
18	3, 15, 17	3jcad 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶)))
19		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑣)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑣))
21		rexr 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		elioc2 13383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
23	21, 22	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
24	23	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
25		ltleletr 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝐵))
26	25	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝐵))
27	26	an31s 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝐵))
28	27	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝑣 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → 𝑣 ≤ 𝐵)
29	28	ancom2s 648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝑣 < 𝐶)) → 𝑣 ≤ 𝐵)
30	29	an4s 658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑣 < 𝐶)) → 𝑣 ≤ 𝐵)
31	30	3adantr2 1170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶)) → 𝑣 ≤ 𝐵)
32	31	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ≤ 𝐵))
33	32	anasss 467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ≤ 𝐵))
34	33	3adantr2 1170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ≤ 𝐵))
35	34	adantll 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ≤ 𝐵))
36	24, 35	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ≤ 𝐵))
37	3, 20, 36	3jcad 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)))
38	18, 37	jcad 513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵))))
39		simpl1 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ)
40		simpr2 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑣)
41		simpl3 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → 𝑣 < 𝐶)
42	39, 40, 41	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶))
43	38, 42	impbid1 224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵))))
44		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
45	24	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
46	45	rexrd 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
47		elico2 13384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶)))
48	44, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶)))
49		elin 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
50	6	rexrd 11260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
51	50	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
52		elioo2 13361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶)))
53	51, 46, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶)))
54		elicc2 13385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)))
56	53, 55	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵))))
57	49, 56	bitrid 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵))))
58	43, 48, 57	3bitr4d 310	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ 𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
59	58	eqrdv 2730	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
60		ineq1 4204	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((𝐴 − 1)(,)𝐶) → (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
61	60	rspceeqv 3632	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
62	1, 59, 61	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
63		retop 24269	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
64		ovex 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ∈ V
65		elrest 17369	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
66	63, 64, 65	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
67	62, 66	sylibr 233	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
68		iccssre 13402	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
69	68	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
70		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
71		icoopnst.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
72	70, 71	resubmet 24309	. . . 4 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
73	69, 72	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
74	67, 73	eleqtrrd 2836	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)
75	74	ex 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   × cxp 5673  ran crn 5676   ↾ cres 5677   ∘ ccom 5679  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  1c1 11107  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  (,)cioo 13320  (,]cioc 13321  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  abscabs 15177   ↾_t crest 17362  topGenctg 17379  MetOpencmopn 20926  Topctop 22386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440

This theorem is referenced by: (None)