| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | iooretop 24786 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran
(,)) | 
| 2 |  | simp1 1137 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ) | 
| 3 | 2 | a1i 11 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ)) | 
| 4 |  | ltm1 12109 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴) | 
| 5 | 4 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) < 𝐴) | 
| 6 |  | peano2rem 11576 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈
ℝ) | 
| 7 | 6 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈
ℝ) | 
| 8 |  | ltletr 11353 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧
𝐴 ∈ ℝ ∧
𝑣 ∈ ℝ) →
(((𝐴 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣)) | 
| 9 | 8 | 3expb 1121 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧
(𝐴 ∈ ℝ ∧
𝑣 ∈ ℝ)) →
(((𝐴 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣)) | 
| 10 | 7, 9 | mpancom 688 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣)) | 
| 11 | 5, 10 | mpand 695 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑣 → (𝐴 − 1) < 𝑣)) | 
| 12 | 11 | impr 454 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣)) → (𝐴 − 1) < 𝑣) | 
| 13 | 12 | 3adantr3 1172 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶)) → (𝐴 − 1) < 𝑣) | 
| 14 | 13 | ex 412 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → (𝐴 − 1) < 𝑣)) | 
| 15 | 14 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → (𝐴 − 1) < 𝑣)) | 
| 16 |  | simp3 1139 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 < 𝐶) | 
| 17 | 16 | a1i 11 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 < 𝐶)) | 
| 18 | 3, 15, 17 | 3jcad 1130 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶))) | 
| 19 |  | simp2 1138 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑣) | 
| 20 | 19 | a1i 11 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑣)) | 
| 21 |  | rexr 11307 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 22 |  | elioc2 13450 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈ ℝ)
→ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))) | 
| 23 | 21, 22 | sylan 580 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))) | 
| 24 | 23 | biimpa 476 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) | 
| 25 |  | ltleletr 11354 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝐵)) | 
| 26 | 25 | 3expa 1119 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝐵)) | 
| 27 | 26 | an31s 654 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝐵)) | 
| 28 | 27 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝑣 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → 𝑣 ≤ 𝐵) | 
| 29 | 28 | ancom2s 650 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝑣 < 𝐶)) → 𝑣 ≤ 𝐵) | 
| 30 | 29 | an4s 660 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑣 < 𝐶)) → 𝑣 ≤ 𝐵) | 
| 31 | 30 | 3adantr2 1171 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶)) → 𝑣 ≤ 𝐵) | 
| 32 | 31 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ≤ 𝐵)) | 
| 33 | 32 | anasss 466 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ≤ 𝐵)) | 
| 34 | 33 | 3adantr2 1171 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ≤ 𝐵)) | 
| 35 | 34 | adantll 714 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ≤ 𝐵)) | 
| 36 | 24, 35 | syldan 591 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ≤ 𝐵)) | 
| 37 | 3, 20, 36 | 3jcad 1130 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵))) | 
| 38 | 18, 37 | jcad 512 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)))) | 
| 39 |  | simpl1 1192 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ) | 
| 40 |  | simpr2 1196 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑣) | 
| 41 |  | simpl3 1194 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → 𝑣 < 𝐶) | 
| 42 | 39, 40, 41 | 3jca 1129 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶)) | 
| 43 | 38, 42 | impbid1 225 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)))) | 
| 44 |  | simpll 767 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 45 | 24 | simp1d 1143 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ) | 
| 46 | 45 | rexrd 11311 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈
ℝ*) | 
| 47 |  | elico2 13451 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*)
→ (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶))) | 
| 48 | 44, 46, 47 | syl2anc 584 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶))) | 
| 49 |  | elin 3967 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵))) | 
| 50 | 6 | rexrd 11311 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈
ℝ*) | 
| 51 | 50 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈
ℝ*) | 
| 52 |  | elioo2 13428 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 − 1) ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶))) | 
| 53 | 51, 46, 52 | syl2anc 584 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶))) | 
| 54 |  | elicc2 13452 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵))) | 
| 55 | 54 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵))) | 
| 56 | 53, 55 | anbi12d 632 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)))) | 
| 57 | 49, 56 | bitrid 283 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)))) | 
| 58 | 43, 48, 57 | 3bitr4d 311 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ 𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)))) | 
| 59 | 58 | eqrdv 2735 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))) | 
| 60 |  | ineq1 4213 | . . . . . 6
⊢ (𝑣 = ((𝐴 − 1)(,)𝐶) → (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))) | 
| 61 | 60 | rspceeqv 3645 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵))) | 
| 62 | 1, 59, 61 | sylancr 587 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵))) | 
| 63 |  | retop 24782 | . . . . 5
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top | 
| 64 |  | ovex 7464 | . . . . 5
⊢ (𝐴[,]𝐵) ∈ V | 
| 65 |  | elrest 17472 | . . . . 5
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,))
↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))) | 
| 66 | 63, 64, 65 | mp2an 692 | . . . 4
⊢ ((𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,))
↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵))) | 
| 67 | 62, 66 | sylibr 234 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,))
↾t (𝐴[,]𝐵))) | 
| 68 |  | iccssre 13469 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) | 
| 69 | 68 | adantr 480 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) | 
| 70 |  | eqid 2737 | . . . . 5
⊢
(topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)) | 
| 71 |  | icoopnst.1 | . . . . 5
⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘
− ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) | 
| 72 | 70, 71 | resubmet 24823 | . . . 4
⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → 𝐽 = ((topGen‘ran (,))
↾t (𝐴[,]𝐵))) | 
| 73 | 69, 72 | syl 17 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐽 = ((topGen‘ran (,))
↾t (𝐴[,]𝐵))) | 
| 74 | 67, 73 | eleqtrrd 2844 | . 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽) | 
| 75 | 74 | ex 412 | 1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)) |