Theorem nnunb 12425

Description: The set of positive integers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
nnunb	⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem nnunb

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 403	. . . 4 ⊢ ¬ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)
2		peano2rem 11453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
3		ltm1 11989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) < 𝑥)
4		ovex 7390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 − 1) ∈ V
5		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 1) ∈ ℝ))
6		breq1 5076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑥))
7		breq1 5076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑧 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑧))
8	7	rexbidv 3163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))
9	6, 8	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
10	5, 9	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) ↔ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))))
11	4, 10	spcv 3543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
12	3, 11	syl7 74	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
13	2, 12	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
14	13	pm2.43d 53	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))
15		df-rex 3064	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧))
16	14, 15	imbitrdi 252	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
17	16	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
18		nnre 12173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
19		1re 11136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
20		ltsubadd 11612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧 ↔ 𝑥 < (𝑧 + 1)))
21	19, 20	mp3an2 1457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧 ↔ 𝑥 < (𝑧 + 1)))
22	18, 21	sylan2 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧 ↔ 𝑥 < (𝑧 + 1)))
23	22	pm5.32da 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
24	23	exbidv 1928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
25		peano2nn 12178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ∈ ℕ)
26		ovex 7390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 + 1) ∈ V
27		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑧 + 1) → (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑧 + 1) ∈ ℕ))
28		breq2 5077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑧 + 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < (𝑧 + 1)))
29	27, 28	anbi12d 638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑧 + 1) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) ↔ ((𝑧 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
30	26, 29	spcev 3544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
31	25, 30	sylan 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
32	31	exlimiv 1937	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
33	24, 32	biimtrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦)))
34	17, 33	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦)))
35		df-ral 3054	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
36		df-ral 3054	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑥 < 𝑦))
37		alinexa 1850	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑥 < 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
38	36, 37	bitr2i 277	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)
39	38	con1bii 357	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
40	34, 35, 39	3imtr4g 297	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦))
41	40	anim2d 618	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)))
42	1, 41	mtoi 200	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
43	42	nrex 3067	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧))
44		nnssre 12170	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
45		1nn 12177	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
46	45	ne0ii 4273	. . 3 ⊢ ℕ ≠ ∅
47		sup2 12104	. . 3 ⊢ ((ℕ ⊆ ℝ ∧ ℕ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
48	44, 46, 47	mp3an12 1459	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
49	43, 48	mto 198	1 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853  ∀wal 1545   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262   class class class wbr 5073  (class class class)co 7357  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11171   − cmin 11369  ℕcn 12166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167

This theorem is referenced by:  arch  12426