MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnunb 11638
Description: The set of positive integers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnunb ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem nnunb
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 393 . . . 4 ¬ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)
2 peano2rem 10690 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
3 ltm1 11217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) < 𝑥)
4 ovex 6954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 − 1) ∈ V
5 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 1) ∈ ℝ))
6 breq1 4889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑥))
7 breq1 4889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑧 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑧))
87rexbidv 3237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))
96, 8imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
105, 9imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) ↔ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))))
114, 10spcv 3501 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
123, 11syl7 74 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
132, 12syl5 34 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
1413pm2.43d 53 . . . . . . . . 9 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))
15 df-rex 3096 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧))
1614, 15syl6ib 243 . . . . . . . 8 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
1716com12 32 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
18 nnre 11382 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
19 1re 10376 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
20 ltsubadd 10845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑥 < (𝑧 + 1)))
2119, 20mp3an2 1522 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑥 < (𝑧 + 1)))
2218, 21sylan2 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑥 < (𝑧 + 1)))
2322pm5.32da 574 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
2423exbidv 1964 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
25 peano2nn 11388 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ∈ ℕ)
26 ovex 6954 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 + 1) ∈ V
27 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑧 + 1) → (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑧 + 1) ∈ ℕ))
28 breq2 4890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑧 + 1) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝑧 + 1)))
2927, 28anbi12d 624 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧 + 1) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) ↔ ((𝑧 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
3026, 29spcev 3502 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
3125, 30sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
3231exlimiv 1973 . . . . . . . 8 (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
3324, 32syl6bi 245 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦)))
3417, 33syld 47 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦)))
35 df-ral 3095 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
36 df-ral 3095 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑥 < 𝑦))
37 alinexa 1888 . . . . . . . 8 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑥 < 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
3836, 37bitr2i 268 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)
3938con1bii 348 . . . . . 6 (¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
4034, 35, 393imtr4g 288 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦))
4140anim2d 605 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → ((∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)))
421, 41mtoi 191 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
4342nrex 3181 . 2 ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧))
44 nnssre 11378 . . 3 ℕ ⊆ ℝ
45 1nn 11387 . . . 4 1 ∈ ℕ
4645ne0ii 4152 . . 3 ℕ ≠ ∅
47 sup2 11333 . . 3 ((ℕ ⊆ ℝ ∧ ℕ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
4844, 46, 47mp3an12 1524 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
4943, 48mto 189 1 ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836  wal 1599   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  wss 3792  c0 4141   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  cr 10271  1c1 10273   + caddc 10275   < clt 10411  cmin 10606  cn 11374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375
This theorem is referenced by:  arch  11639
  Copyright terms: Public domain W3C validator