Theorem sqabssub 15206

Description: Square of absolute value of difference. (Contributed by NM, 21-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
sqabssub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))))

Proof of Theorem sqabssub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjsub 15072	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 − 𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
2	1	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · (∗‘(𝐴 − 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵) · ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵))))
3		cjcl 15028	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		cjcl 15028	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
5	3, 4	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ))
6		mulsub 11580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝐵) · ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵))) = (((𝐴 · (∗‘𝐴)) + ((∗‘𝐵) · 𝐵)) − ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + ((∗‘𝐴) · 𝐵))))
7	5, 6	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵))) = (((𝐴 · (∗‘𝐴)) + ((∗‘𝐵) · 𝐵)) − ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + ((∗‘𝐴) · 𝐵))))
8	2, 7	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · (∗‘(𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴 · (∗‘𝐴)) + ((∗‘𝐵) · 𝐵)) − ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + ((∗‘𝐴) · 𝐵))))
9		subcl 11379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
10		absvalsq 15203	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((𝐴 − 𝐵) · (∗‘(𝐴 − 𝐵))))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((𝐴 − 𝐵) · (∗‘(𝐴 − 𝐵))))
12		absvalsq 15203	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
13		absvalsq 15203	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵)↑2) = (𝐵 · (∗‘𝐵)))
14		mulcom 11112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐵 · (∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐵) · 𝐵))
15	4, 14	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · (∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐵) · 𝐵))
16	13, 15	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵)↑2) = ((∗‘𝐵) · 𝐵))
17	12, 16	oveqan12d 7377	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) + ((∗‘𝐵) · 𝐵)))
18		mulcl 11110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐵)) ∈ ℂ)
19	4, 18	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐵)) ∈ ℂ)
20	19	addcjd 15135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) = (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))))
21		cjmul 15065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐵))))
22	4, 21	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐵))))
23		cjcj 15063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐵)) = 𝐵)
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(∗‘𝐵)) = 𝐵)
25	24	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐵))) = ((∗‘𝐴) · 𝐵))
26	22, 25	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((∗‘𝐴) · 𝐵))
27	26	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + ((∗‘𝐴) · 𝐵)))
28	20, 27	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + ((∗‘𝐴) · 𝐵)))
29	17, 28	oveq12d 7376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))) = (((𝐴 · (∗‘𝐴)) + ((∗‘𝐵) · 𝐵)) − ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + ((∗‘𝐴) · 𝐵))))
30	8, 11, 29	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  2c2 12200  ↑cexp 13984  ∗ccj 15019  ℜcre 15020  abscabs 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by:  sqabssubi  15330  lawcoslem1  26781  cncph  30894