MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqabssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqabssub 15177
Description: Square of absolute value of difference. (Contributed by NM, 21-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
sqabssub ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))โ†‘2) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) โˆ’ (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))))

Proof of Theorem sqabssub
StepHypRef Expression
1 cjsub 15043 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ต)))
21oveq2d 7377 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ต))))
3 cjcl 14999 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 cjcl 14999 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
53, 4anim12i 614 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚))
6 mulsub 11606 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
75, 6mpdan 686 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
82, 7eqtrd 2773 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) = (((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
9 subcl 11408 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
10 absvalsq 15174 . . 3 ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))))
119, 10syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท (โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))))
12 absvalsq 15174 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
13 absvalsq 15174 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ต)โ†‘2) = (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
14 mulcom 11145 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต))
154, 14mpdan 686 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต))
1613, 15eqtrd 2773 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ต)โ†‘2) = ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต))
1712, 16oveqan12d 7380 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)))
18 mulcl 11143 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
194, 18sylan2 594 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2019addcjd 15106 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))))
21 cjmul 15036 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))))
224, 21sylan2 594 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))))
23 cjcj 15034 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = ๐ต)
2423adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = ๐ต)
2524oveq2d 7377 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))
2622, 25eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))
2726oveq2d 7377 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
2820, 27eqtr3d 2775 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
2917, 28oveq12d 7379 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) โˆ’ (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))) = (((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) + ((โˆ—โ€˜๐ต) ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) + ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
308, 11, 293eqtr4d 2783 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))โ†‘2) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) โˆ’ (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  2c2 12216  โ†‘cexp 13976  โˆ—ccj 14990  โ„œcre 14991  abscabs 15128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130
This theorem is referenced by:  sqabssubi  15300  lawcoslem1  26188  cncph  29810
  Copyright terms: Public domain W3C validator