MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0lele2xi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0lele2xi 12299
Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0lele2xi.1 𝑀 ∈ ℕ0
nn0lele2xi.2 𝑁 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0lele2xi (𝑁𝑀𝑁 ≤ (2 · 𝑀))

Proof of Theorem nn0lele2xi
StepHypRef Expression
1 nn0lele2xi.1 . . 3 𝑀 ∈ ℕ0
21nn0le2xi 12298 . 2 𝑀 ≤ (2 · 𝑀)
3 nn0lele2xi.2 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ0
43nn0rei 12255 . . 3 𝑁 ∈ ℝ
51nn0rei 12255 . . 3 𝑀 ∈ ℝ
6 2re 12058 . . . 4 2 ∈ ℝ
76, 5remulcli 11002 . . 3 (2 · 𝑀) ∈ ℝ
84, 5, 7letri 11115 . 2 ((𝑁𝑀𝑀 ≤ (2 · 𝑀)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))
92, 8mpan2 688 1 (𝑁𝑀𝑁 ≤ (2 · 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110   class class class wbr 5079  (class class class)co 7272   · cmul 10887  cle 11021  2c2 12039  0cn0 12244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-n0 12245
This theorem is referenced by:  nn0opthlem2  13994
  Copyright terms: Public domain W3C validator