Theorem nn0opthlem2 14176

Description: Lemma for nn0opthi 14177. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Revised by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opth.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opth.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nn0opth.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
nn0opth.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem2	⊢ ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))

Proof of Theorem nn0opthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opth.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		nn0opth.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0addcli 12418	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0
4		nn0opth.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5	3, 4	nn0opthlem1 14175	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
6	2	nn0rei 12392	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
7	6, 1	nn0addge2i 12430	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)
8	3, 2	nn0lele2xi 12437	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵) → 𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
9		2re 12199	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	3	nn0rei 12392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ
11	9, 10	remulcli 11128	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ
12	10, 10	remulcli 11128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ
13	6, 11, 12	leadd2i 11673	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
14	8, 13	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
15	7, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵)))
16	12, 6	readdcli 11127	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ
17	12, 11	readdcli 11127	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ
18	4	nn0rei 12392	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
19	18, 18	remulcli 11128	. . . . 5 ⊢ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ
20	16, 17, 19	lelttri 11240	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
21	15, 20	mpan 690	. . 3 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
22	5, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
23		nn0opth.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
24	19, 23	nn0addge1i 12429	. . 3 ⊢ (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷)
25	23	nn0rei 12392	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
26	19, 25	readdcli 11127	. . . 4 ⊢ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ
27	16, 19, 26	ltletri 11241	. . 3 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶) ∧ (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
28	24, 27	mpan2 691	. 2 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
29	16, 26	ltnei 11237	. 2 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
30	22, 28, 29	3syl 18	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147  2c2 12180  ℕ₀cn0 12381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  nn0opthi  14177