MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0opthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0opthlem2 14097
Description: Lemma for nn0opthi 14098. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Revised by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opth.1 ๐ด โˆˆ โ„•0
nn0opth.2 ๐ต โˆˆ โ„•0
nn0opth.3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
nn0opth.4 ๐ท โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
nn0opthlem2 ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต))

Proof of Theorem nn0opthlem2
StepHypRef Expression
1 nn0opth.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 nn0opth.2 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„•0
31, 2nn0addcli 12384 . . . 4 (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„•0
4 nn0opth.3 . . . 4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
53, 4nn0opthlem1 14096 . . 3 ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) < (๐ถ ยท ๐ถ))
62nn0rei 12358 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„
76, 1nn0addge2i 12396 . . . . 5 ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต)
83, 2nn0lele2xi 12402 . . . . . 6 (๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰ค (2 ยท (๐ด + ๐ต)))
9 2re 12161 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
103nn0rei 12358 . . . . . . . 8 (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„
119, 10remulcli 11105 . . . . . . 7 (2 ยท (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„
1210, 10remulcli 11105 . . . . . . 7 ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„
136, 11, 12leadd2i 11645 . . . . . 6 (๐ต โ‰ค (2 ยท (๐ด + ๐ต)) โ†” (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰ค (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))))
148, 13sylib 217 . . . . 5 (๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰ค (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))))
157, 14ax-mp 5 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰ค (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต)))
1612, 6readdcli 11104 . . . . 5 (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โˆˆ โ„
1712, 11readdcli 11104 . . . . 5 (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) โˆˆ โ„
184nn0rei 12358 . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ โ„
1918, 18remulcli 11105 . . . . 5 (๐ถ ยท ๐ถ) โˆˆ โ„
2016, 17, 19lelttri 11216 . . . 4 (((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰ค (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) < (๐ถ ยท ๐ถ)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ถ))
2115, 20mpan 689 . . 3 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) < (๐ถ ยท ๐ถ) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ถ))
225, 21sylbi 216 . 2 ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ถ))
23 nn0opth.4 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„•0
2419, 23nn0addge1i 12395 . . 3 (๐ถ ยท ๐ถ) โ‰ค ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท)
2523nn0rei 12358 . . . . 5 ๐ท โˆˆ โ„
2619, 25readdcli 11104 . . . 4 ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โˆˆ โ„
2716, 19, 26ltletri 11217 . . 3 (((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ถ) โˆง (๐ถ ยท ๐ถ) โ‰ค ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท))
2824, 27mpan2 690 . 2 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ถ) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท))
2916, 26ltnei 11213 . 2 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต))
3022, 28, 293syl 18 1 ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350   + caddc 10988   ยท cmul 10990   < clt 11123   โ‰ค cle 11124  2c2 12142  โ„•0cn0 12347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-seq 13836  df-exp 13897
This theorem is referenced by:  nn0opthi  14098
  Copyright terms: Public domain W3C validator