Theorem nn0opthlem2 14282

Description: Lemma for nn0opthi 14283. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Revised by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opth.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opth.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nn0opth.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
nn0opth.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem2	⊢ ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))

Proof of Theorem nn0opthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opth.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		nn0opth.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0addcli 12518	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0
4		nn0opth.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5	3, 4	nn0opthlem1 14281	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
6	2	nn0rei 12492	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
7	6, 1	nn0addge2i 12530	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)
8	3, 2	nn0lele2xi 12537	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵) → 𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
9		2re 12292	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	3	nn0rei 12492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ
11	9, 10	remulcli 11198	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ
12	10, 10	remulcli 11198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ
13	6, 11, 12	leadd2i 11743	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
14	8, 13	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
15	7, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵)))
16	12, 6	readdcli 11197	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ
17	12, 11	readdcli 11197	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ
18	4	nn0rei 12492	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
19	18, 18	remulcli 11198	. . . . 5 ⊢ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ
20	16, 17, 19	lelttri 11310	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
21	15, 20	mpan 700	. . 3 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
22	5, 21	sylbi 219	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
23		nn0opth.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
24	19, 23	nn0addge1i 12529	. . 3 ⊢ (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷)
25	23	nn0rei 12492	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
26	19, 25	readdcli 11197	. . . 4 ⊢ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ
27	16, 19, 26	ltletri 11311	. . 3 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶) ∧ (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
28	24, 27	mpan2 701	. 2 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
29	16, 26	ltnei 11307	. 2 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
30	22, 28, 29	3syl 18	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396   + caddc 11076   · cmul 11078   < clt 11216   ≤ cle 11217  2c2 12272  ℕ₀cn0 12481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-seq 14015  df-exp 14075

This theorem is referenced by:  nn0opthi  14283