Theorem nn0opthlem2 14176

Description: Lemma for nn0opthi 14177. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Revised by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opth.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opth.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nn0opth.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
nn0opth.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem2	⊢ ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))

Proof of Theorem nn0opthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opth.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		nn0opth.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0addcli 12421	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0
4		nn0opth.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5	3, 4	nn0opthlem1 14175	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
6	2	nn0rei 12395	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
7	6, 1	nn0addge2i 12433	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)
8	3, 2	nn0lele2xi 12440	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵) → 𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
9		2re 12202	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	3	nn0rei 12395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ
11	9, 10	remulcli 11131	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ
12	10, 10	remulcli 11131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ
13	6, 11, 12	leadd2i 11676	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
14	8, 13	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
15	7, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵)))
16	12, 6	readdcli 11130	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ
17	12, 11	readdcli 11130	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ
18	4	nn0rei 12395	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
19	18, 18	remulcli 11131	. . . . 5 ⊢ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ
20	16, 17, 19	lelttri 11243	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
21	15, 20	mpan 690	. . 3 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
22	5, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
23		nn0opth.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
24	19, 23	nn0addge1i 12432	. . 3 ⊢ (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷)
25	23	nn0rei 12395	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
26	19, 25	readdcli 11130	. . . 4 ⊢ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ
27	16, 19, 26	ltletri 11244	. . 3 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶) ∧ (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
28	24, 27	mpan2 691	. 2 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
29	16, 26	ltnei 11240	. 2 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
30	22, 28, 29	3syl 18	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11149   ≤ cle 11150  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  nn0opthi  14177