MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0opthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0opthlem2 14226
Description: Lemma for nn0opthi 14227. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Revised by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opth.1 ๐ด โˆˆ โ„•0
nn0opth.2 ๐ต โˆˆ โ„•0
nn0opth.3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
nn0opth.4 ๐ท โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
nn0opthlem2 ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต))

Proof of Theorem nn0opthlem2
StepHypRef Expression
1 nn0opth.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 nn0opth.2 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„•0
31, 2nn0addcli 12506 . . . 4 (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„•0
4 nn0opth.3 . . . 4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
53, 4nn0opthlem1 14225 . . 3 ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) < (๐ถ ยท ๐ถ))
62nn0rei 12480 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„
76, 1nn0addge2i 12518 . . . . 5 ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต)
83, 2nn0lele2xi 12524 . . . . . 6 (๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰ค (2 ยท (๐ด + ๐ต)))
9 2re 12283 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
103nn0rei 12480 . . . . . . . 8 (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„
119, 10remulcli 11227 . . . . . . 7 (2 ยท (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„
1210, 10remulcli 11227 . . . . . . 7 ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„
136, 11, 12leadd2i 11767 . . . . . 6 (๐ต โ‰ค (2 ยท (๐ด + ๐ต)) โ†” (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰ค (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))))
148, 13sylib 217 . . . . 5 (๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰ค (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))))
157, 14ax-mp 5 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰ค (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต)))
1612, 6readdcli 11226 . . . . 5 (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โˆˆ โ„
1712, 11readdcli 11226 . . . . 5 (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) โˆˆ โ„
184nn0rei 12480 . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ โ„
1918, 18remulcli 11227 . . . . 5 (๐ถ ยท ๐ถ) โˆˆ โ„
2016, 17, 19lelttri 11338 . . . 4 (((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰ค (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) < (๐ถ ยท ๐ถ)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ถ))
2115, 20mpan 687 . . 3 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) < (๐ถ ยท ๐ถ) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ถ))
225, 21sylbi 216 . 2 ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ถ))
23 nn0opth.4 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„•0
2419, 23nn0addge1i 12517 . . 3 (๐ถ ยท ๐ถ) โ‰ค ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท)
2523nn0rei 12480 . . . . 5 ๐ท โˆˆ โ„
2619, 25readdcli 11226 . . . 4 ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โˆˆ โ„
2716, 19, 26ltletri 11339 . . 3 (((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ถ) โˆง (๐ถ ยท ๐ถ) โ‰ค ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท))
2824, 27mpan2 688 . 2 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ถ) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท))
2916, 26ltnei 11335 . 2 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต))
3022, 28, 293syl 18 1 ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11245   โ‰ค cle 11246  2c2 12264  โ„•0cn0 12469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025
This theorem is referenced by:  nn0opthi  14227
  Copyright terms: Public domain W3C validator