MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0opthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0opthlem2 14305
Description: Lemma for nn0opthi 14306. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Revised by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opth.1 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opth.2 𝐵 ∈ ℕ0
nn0opth.3 𝐶 ∈ ℕ0
nn0opth.4 𝐷 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0opthlem2 ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))

Proof of Theorem nn0opthlem2
StepHypRef Expression
1 nn0opth.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 nn0opth.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
31, 2nn0addcli 12561 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0
4 nn0opth.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℕ0
53, 4nn0opthlem1 14304 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
62nn0rei 12535 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
76, 1nn0addge2i 12573 . . . . 5 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)
83, 2nn0lele2xi 12580 . . . . . 6 (𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵) → 𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
9 2re 12338 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
103nn0rei 12535 . . . . . . . 8 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ
119, 10remulcli 11275 . . . . . . 7 (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ
1210, 10remulcli 11275 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ
136, 11, 12leadd2i 11817 . . . . . 6 (𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
148, 13sylib 218 . . . . 5 (𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
157, 14ax-mp 5 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵)))
1612, 6readdcli 11274 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ
1712, 11readdcli 11274 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ
184nn0rei 12535 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
1918, 18remulcli 11275 . . . . 5 (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ
2016, 17, 19lelttri 11386 . . . 4 (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
2115, 20mpan 690 . . 3 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
225, 21sylbi 217 . 2 ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
23 nn0opth.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℕ0
2419, 23nn0addge1i 12572 . . 3 (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷)
2523nn0rei 12535 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
2619, 25readdcli 11274 . . . 4 ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ
2716, 19, 26ltletri 11387 . . 3 (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶) ∧ (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
2824, 27mpan2 691 . 2 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
2916, 26ltnei 11383 . 2 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
3022, 28, 293syl 18 1 ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  2c2 12319  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  nn0opthi  14306
  Copyright terms: Public domain W3C validator