Theorem nnsrecgt0d 28671

Description: The reciprocal of a positive surreal integer is positive. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnsrecgt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕs)

Assertion

Ref	Expression
nnsrecgt0d	⊢ (𝜑 → 0s <s ( 1s /su 𝐴))

Proof of Theorem nnsrecgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsrecgt0d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕs)
2	1	nnnod 28646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		muls02 28461	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s ·s 𝐴) = 0s )
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 0s ·s 𝐴) = 0s )
5		0lt1s 28132	. . 3 ⊢ 0s <s 1s
6	4, 5	eqbrtrdi 5143	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ·s 𝐴) <s 1s )
7		0no 28129	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
9		1no 28130	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No )
11		nnsgt0 28659	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 0s <s 𝐴)
12	1, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)
13	8, 10, 2, 12	ltmuldivsd 28549	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 0s ·s 𝐴) <s 1s ↔ 0s <s ( 1s /su 𝐴)))
14	6, 13	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 0s <s ( 1s /su 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408   No csur 27931   <s clts 27932   0_s c0s 28125   1_s c1s 28126   ·_s cmuls 28426   /_su cdivs 28507  ℕ_scnns 28633

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-dc 10496

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-nadd 8653  df-no 27934  df-lts 27935  df-bday 27936  df-les 28036  df-slts 28078  df-cuts 28080  df-0s 28127  df-1s 28128  df-made 28147  df-old 28148  df-left 28150  df-right 28151  df-norec 28258  df-norec2 28269  df-adds 28280  df-negs 28341  df-subs 28342  df-muls 28427  df-divs 28508  df-n0s 28634  df-nns 28635

This theorem is used by:  recut  28814  elreno2  28815