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Theorem sqdeccom12 40789
Description: The square of a number in terms of its digits switched. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sqdeccom12.a 𝐴 ∈ ℕ0
sqdeccom12.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
sqdeccom12 ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐵𝐴 · 𝐵𝐴)) = (99 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))

Proof of Theorem sqdeccom12
StepHypRef Expression
1 sqdeccom12.a . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℕ0
21, 1nn0mulcli 12451 . . . . . . . 8 (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0
3 0nn0 12428 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12633 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐴)0 ∈ ℕ0
54, 3deccl 12633 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)00 ∈ ℕ0
65nn0cni 12425 . . . . 5 (𝐴 · 𝐴)00 ∈ ℂ
7 sqdeccom12.b . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ ℕ0
87, 7nn0mulcli 12451 . . . . . . . 8 (𝐵 · 𝐵) ∈ ℕ0
98, 3deccl 12633 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝐵)0 ∈ ℕ0
109, 3deccl 12633 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)00 ∈ ℕ0
1110nn0cni 12425 . . . . 5 (𝐵 · 𝐵)00 ∈ ℂ
121nn0cni 12425 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1312, 12mulcli 11162 . . . . 5 (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
147nn0cni 12425 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
1514, 14mulcli 11162 . . . . 5 (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ
16 subadd4 11445 . . . . 5 ((((𝐴 · 𝐴)00 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐵)00 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00) − ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐴)00 + (𝐵 · 𝐵)) − ((𝐵 · 𝐵)00 + (𝐴 · 𝐴))))
176, 11, 13, 15, 16mp4an 691 . . . 4 (((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00) − ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐴)00 + (𝐵 · 𝐵)) − ((𝐵 · 𝐵)00 + (𝐴 · 𝐴)))
18 eqid 2736 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)00 = (𝐴 · 𝐴)00
1915addid2i 11343 . . . . . 6 (0 + (𝐵 · 𝐵)) = (𝐵 · 𝐵)
204, 3, 8, 18, 19decaddi 12678 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐴)00 + (𝐵 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵)
21 eqid 2736 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)00 = (𝐵 · 𝐵)00
2213addid2i 11343 . . . . . 6 (0 + (𝐴 · 𝐴)) = (𝐴 · 𝐴)
239, 3, 2, 21, 22decaddi 12678 . . . . 5 ((𝐵 · 𝐵)00 + (𝐴 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)
2420, 23oveq12i 7369 . . . 4 (((𝐴 · 𝐴)00 + (𝐵 · 𝐵)) − ((𝐵 · 𝐵)00 + (𝐴 · 𝐴))) = ((𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴))
2517, 24eqtr2i 2765 . . 3 ((𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)) = (((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00) − ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
26 eqid 2736 . . . . 5 ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))(((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))(((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))
277, 1nn0mulcli 12451 . . . . . . . 8 (𝐵 · 𝐴) ∈ ℕ0
281, 7, 27numcl 12631 . . . . . . 7 ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) ∈ ℕ0
292, 28deccl 12633 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) ∈ ℕ0
30 eqid 2736 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵)
31 eqid 2736 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)
32 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) = (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))
33 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝐵)0 = (𝐵 · 𝐵)0
3413, 15addcomi 11346 . . . . . . 7 ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))
35 eqid 2736 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)
362, 28, 8, 3, 32, 33, 34, 35decadd 12672 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + (𝐵 · 𝐵)0) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))(((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)
3715, 13addcomi 11346 . . . . . 6 ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))
3829, 8, 9, 2, 30, 31, 36, 37decadd 12672 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))(((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))
398, 28deccl 12633 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) ∈ ℕ0
40 eqid 2736 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴)
41 eqid 2736 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵)
42 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))
43 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐴)0 = (𝐴 · 𝐴)0
44 eqid 2736 . . . . . . 7 ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))
458, 28, 2, 3, 42, 43, 44, 35decadd 12672 . . . . . 6 ((𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + (𝐴 · 𝐴)0) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))(((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)
46 eqid 2736 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))
4739, 2, 4, 8, 40, 41, 45, 46decadd 12672 . . . . 5 ((𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))(((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))
4826, 38, 473eqtr4i 2774 . . . 4 ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵))
4929, 8deccl 12633 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) ∈ ℕ0
5049nn0cni 12425 . . . . 5 (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ
519, 2deccl 12633 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0
5251nn0cni 12425 . . . . 5 (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
5339, 2deccl 12633 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0
5453nn0cni 12425 . . . . 5 (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
554, 8deccl 12633 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) ∈ ℕ0
5655nn0cni 12425 . . . . 5 (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ
57 addsubeq4com 40780 . . . . 5 ((((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵)) ↔ ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴))))
5850, 52, 54, 56, 57mp4an 691 . . . 4 (((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵)) ↔ ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)))
5948, 58mpbi 229 . . 3 ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴))
60 10nn0 12636 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
6160, 3deccl 12633 . . . . . 6 100 ∈ ℕ0
6261nn0cni 12425 . . . . 5 100 ∈ ℂ
63 ax-1cn 11109 . . . . 5 1 ∈ ℂ
6413, 15subcli 11477 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)) ∈ ℂ
6562, 63, 64subdiri 11605 . . . 4 ((100 − 1) · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = ((100 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) − (1 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))))
6662, 13, 15subdii 11604 . . . . . 6 (100 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = ((100 · (𝐴 · 𝐴)) − (100 · (𝐵 · 𝐵)))
67 eqid 2736 . . . . . . . 8 100 = 100
682dec0u 12639 . . . . . . . 8 (10 · (𝐴 · 𝐴)) = (𝐴 · 𝐴)0
6913mul02i 11344 . . . . . . . 8 (0 · (𝐴 · 𝐴)) = 0
702, 60, 3, 67, 68, 69decmul1 12682 . . . . . . 7 (100 · (𝐴 · 𝐴)) = (𝐴 · 𝐴)00
718dec0u 12639 . . . . . . . 8 (10 · (𝐵 · 𝐵)) = (𝐵 · 𝐵)0
7215mul02i 11344 . . . . . . . 8 (0 · (𝐵 · 𝐵)) = 0
738, 60, 3, 67, 71, 72decmul1 12682 . . . . . . 7 (100 · (𝐵 · 𝐵)) = (𝐵 · 𝐵)00
7470, 73oveq12i 7369 . . . . . 6 ((100 · (𝐴 · 𝐴)) − (100 · (𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00)
7566, 74eqtri 2764 . . . . 5 (100 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00)
7664mulid2i 11160 . . . . 5 (1 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))
7775, 76oveq12i 7369 . . . 4 ((100 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) − (1 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))) = (((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00) − ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
7865, 77eqtri 2764 . . 3 ((100 − 1) · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00) − ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
7925, 59, 783eqtr4i 2774 . 2 ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴)) = ((100 − 1) · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
80 eqid 2736 . . . 4 (𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐴)
81 eqid 2736 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))
82 eqid 2736 . . . 4 (𝐵 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐵)
831, 7, 1, 7, 80, 81, 82decpmulnc 40787 . . 3 (𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) = (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵)
8414, 12mulcli 11162 . . . . 5 (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ
8512, 14mulcli 11162 . . . . 5 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ
8684, 85addcomi 11346 . . . 4 ((𝐵 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))
877, 1, 7, 1, 82, 86, 80decpmulnc 40787 . . 3 (𝐵𝐴 · 𝐵𝐴) = (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴)
8883, 87oveq12i 7369 . 2 ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐵𝐴 · 𝐵𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴))
89 9nn0 12437 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
9089, 89deccl 12633 . . . . 5 99 ∈ ℕ0
9190nn0cni 12425 . . . 4 99 ∈ ℂ
92 9p1e10 12620 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
93 eqid 2736 . . . . . 6 99 = 99
9489, 92, 93decsucc 12659 . . . . 5 (99 + 1) = 100
9591, 63, 94addcomli 11347 . . . 4 (1 + 99) = 100
9663, 91, 95mvlladdi 11419 . . 3 99 = (100 − 1)
9796oveq1i 7367 . 2 (99 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = ((100 − 1) · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
9879, 88, 973eqtr4i 2774 1 ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐵𝐴 · 𝐵𝐴)) = (99 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  9c9 12215  0cn0 12413  cdc 12618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-sub 11387  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-dec 12619
This theorem is referenced by:  sq3deccom12  40790
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