Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqdeccom12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqdeccom12 41690
Description: The square of a number in terms of its digits switched. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sqdeccom12.a ๐ด โˆˆ โ„•0
sqdeccom12.b ๐ต โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
sqdeccom12 ((๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) โˆ’ (๐ต๐ด ยท ๐ต๐ด)) = (99 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))

Proof of Theorem sqdeccom12
StepHypRef Expression
1 sqdeccom12.a . . . . . . . . 9 ๐ด โˆˆ โ„•0
21, 1nn0mulcli 12507 . . . . . . . 8 (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0
3 0nn0 12484 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„•0
42, 3deccl 12689 . . . . . . 7 (๐ด ยท ๐ด)0 โˆˆ โ„•0
54, 3deccl 12689 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)00 โˆˆ โ„•0
65nn0cni 12481 . . . . 5 (๐ด ยท ๐ด)00 โˆˆ โ„‚
7 sqdeccom12.b . . . . . . . . 9 ๐ต โˆˆ โ„•0
87, 7nn0mulcli 12507 . . . . . . . 8 (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„•0
98, 3deccl 12689 . . . . . . 7 (๐ต ยท ๐ต)0 โˆˆ โ„•0
109, 3deccl 12689 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)00 โˆˆ โ„•0
1110nn0cni 12481 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ต)00 โˆˆ โ„‚
121nn0cni 12481 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‚
1312, 12mulcli 11218 . . . . 5 (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
147nn0cni 12481 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‚
1514, 14mulcli 11218 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚
16 subadd4 11501 . . . . 5 ((((๐ด ยท ๐ด)00 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ต)00 โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ด)00 + (๐ต ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ต ยท ๐ต)00 + (๐ด ยท ๐ด))))
176, 11, 13, 15, 16mp4an 690 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ด)00 + (๐ต ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ต ยท ๐ต)00 + (๐ด ยท ๐ด)))
18 eqid 2724 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)00 = (๐ด ยท ๐ด)00
1915addlidi 11399 . . . . . 6 (0 + (๐ต ยท ๐ต)) = (๐ต ยท ๐ต)
204, 3, 8, 18, 19decaddi 12734 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ด)00 + (๐ต ยท ๐ต)) = (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต)
21 eqid 2724 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)00 = (๐ต ยท ๐ต)00
2213addlidi 11399 . . . . . 6 (0 + (๐ด ยท ๐ด)) = (๐ด ยท ๐ด)
239, 3, 2, 21, 22decaddi 12734 . . . . 5 ((๐ต ยท ๐ต)00 + (๐ด ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)
2420, 23oveq12i 7413 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ด)00 + (๐ต ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ต ยท ๐ต)00 + (๐ด ยท ๐ด))) = ((๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด))
2517, 24eqtr2i 2753 . . 3 ((๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)) = (((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))
26 eqid 2724 . . . . 5 ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))(((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))(((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต))
277, 1nn0mulcli 12507 . . . . . . . 8 (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0
281, 7, 27numcl 12687 . . . . . . 7 ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) โˆˆ โ„•0
292, 28deccl 12689 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) โˆˆ โ„•0
30 eqid 2724 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต)
31 eqid 2724 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)
32 eqid 2724 . . . . . . 7 (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) = (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))
33 eqid 2724 . . . . . . 7 (๐ต ยท ๐ต)0 = (๐ต ยท ๐ต)0
3413, 15addcomi 11402 . . . . . . 7 ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))
35 eqid 2724 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0) = (((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)
362, 28, 8, 3, 32, 33, 34, 35decadd 12728 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + (๐ต ยท ๐ต)0) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))(((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)
3715, 13addcomi 11402 . . . . . 6 ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต))
3829, 8, 9, 2, 30, 31, 36, 37decadd 12728 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))(((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต))
398, 28deccl 12689 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) โˆˆ โ„•0
40 eqid 2724 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด)
41 eqid 2724 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต)
42 eqid 2724 . . . . . . 7 (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))
43 eqid 2724 . . . . . . 7 (๐ด ยท ๐ด)0 = (๐ด ยท ๐ด)0
44 eqid 2724 . . . . . . 7 ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))
458, 28, 2, 3, 42, 43, 44, 35decadd 12728 . . . . . 6 ((๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + (๐ด ยท ๐ด)0) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))(((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)
46 eqid 2724 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต))
4739, 2, 4, 8, 40, 41, 45, 46decadd 12728 . . . . 5 ((๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))(((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต))
4826, 38, 473eqtr4i 2762 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต))
4929, 8deccl 12689 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„•0
5049nn0cni 12481 . . . . 5 (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚
519, 2deccl 12689 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0
5251nn0cni 12481 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
5339, 2deccl 12689 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0
5453nn0cni 12481 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
554, 8deccl 12689 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„•0
5655nn0cni 12481 . . . . 5 (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚
57 addsubeq4com 41681 . . . . 5 ((((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต)) โ†” ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด))))
5850, 52, 54, 56, 57mp4an 690 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต)) โ†” ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)))
5948, 58mpbi 229 . . 3 ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด))
60 10nn0 12692 . . . . . . 7 10 โˆˆ โ„•0
6160, 3deccl 12689 . . . . . 6 100 โˆˆ โ„•0
6261nn0cni 12481 . . . . 5 100 โˆˆ โ„‚
63 ax-1cn 11164 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
6413, 15subcli 11533 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚
6562, 63, 64subdiri 11661 . . . 4 ((100 โˆ’ 1) ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = ((100 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) โˆ’ (1 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))))
6662, 13, 15subdii 11660 . . . . . 6 (100 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = ((100 ยท (๐ด ยท ๐ด)) โˆ’ (100 ยท (๐ต ยท ๐ต)))
67 eqid 2724 . . . . . . . 8 100 = 100
682dec0u 12695 . . . . . . . 8 (10 ยท (๐ด ยท ๐ด)) = (๐ด ยท ๐ด)0
6913mul02i 11400 . . . . . . . 8 (0 ยท (๐ด ยท ๐ด)) = 0
702, 60, 3, 67, 68, 69decmul1 12738 . . . . . . 7 (100 ยท (๐ด ยท ๐ด)) = (๐ด ยท ๐ด)00
718dec0u 12695 . . . . . . . 8 (10 ยท (๐ต ยท ๐ต)) = (๐ต ยท ๐ต)0
7215mul02i 11400 . . . . . . . 8 (0 ยท (๐ต ยท ๐ต)) = 0
738, 60, 3, 67, 71, 72decmul1 12738 . . . . . . 7 (100 ยท (๐ต ยท ๐ต)) = (๐ต ยท ๐ต)00
7470, 73oveq12i 7413 . . . . . 6 ((100 ยท (๐ด ยท ๐ด)) โˆ’ (100 ยท (๐ต ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00)
7566, 74eqtri 2752 . . . . 5 (100 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00)
7664mullidi 11216 . . . . 5 (1 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))
7775, 76oveq12i 7413 . . . 4 ((100 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) โˆ’ (1 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))) = (((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))
7865, 77eqtri 2752 . . 3 ((100 โˆ’ 1) ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))
7925, 59, 783eqtr4i 2762 . 2 ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด)) = ((100 โˆ’ 1) ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))
80 eqid 2724 . . . 4 (๐ด ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐ด)
81 eqid 2724 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))
82 eqid 2724 . . . 4 (๐ต ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ต)
831, 7, 1, 7, 80, 81, 82decpmulnc 41688 . . 3 (๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) = (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต)
8414, 12mulcli 11218 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
8512, 14mulcli 11218 . . . . 5 (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚
8684, 85addcomi 11402 . . . 4 ((๐ต ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))
877, 1, 7, 1, 82, 86, 80decpmulnc 41688 . . 3 (๐ต๐ด ยท ๐ต๐ด) = (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด)
8883, 87oveq12i 7413 . 2 ((๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) โˆ’ (๐ต๐ด ยท ๐ต๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด))
89 9nn0 12493 . . . . . 6 9 โˆˆ โ„•0
9089, 89deccl 12689 . . . . 5 99 โˆˆ โ„•0
9190nn0cni 12481 . . . 4 99 โˆˆ โ„‚
92 9p1e10 12676 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
93 eqid 2724 . . . . . 6 99 = 99
9489, 92, 93decsucc 12715 . . . . 5 (99 + 1) = 100
9591, 63, 94addcomli 11403 . . . 4 (1 + 99) = 100
9663, 91, 95mvlladdi 11475 . . 3 99 = (100 โˆ’ 1)
9796oveq1i 7411 . 2 (99 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = ((100 โˆ’ 1) ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))
9879, 88, 973eqtr4i 2762 1 ((๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) โˆ’ (๐ต๐ด ยท ๐ต๐ด)) = (99 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11441  9c9 12271  โ„•0cn0 12469  cdc 12674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-sub 11443  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-dec 12675
This theorem is referenced by:  sq3deccom12  41691
  Copyright terms: Public domain W3C validator