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Theorem sqdeccom12 39427
Description: The square of a number in terms of its digits switched. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sqdeccom12.a 𝐴 ∈ ℕ0
sqdeccom12.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
sqdeccom12 ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐵𝐴 · 𝐵𝐴)) = (99 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))

Proof of Theorem sqdeccom12
StepHypRef Expression
1 sqdeccom12.a . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℕ0
21, 1nn0mulcli 11923 . . . . . . . 8 (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0
3 0nn0 11900 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12101 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐴)0 ∈ ℕ0
54, 3deccl 12101 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)00 ∈ ℕ0
65nn0cni 11897 . . . . 5 (𝐴 · 𝐴)00 ∈ ℂ
7 sqdeccom12.b . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ ℕ0
87, 7nn0mulcli 11923 . . . . . . . 8 (𝐵 · 𝐵) ∈ ℕ0
98, 3deccl 12101 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝐵)0 ∈ ℕ0
109, 3deccl 12101 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)00 ∈ ℕ0
1110nn0cni 11897 . . . . 5 (𝐵 · 𝐵)00 ∈ ℂ
121nn0cni 11897 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1312, 12mulcli 10637 . . . . 5 (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
147nn0cni 11897 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
1514, 14mulcli 10637 . . . . 5 (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ
16 subadd4 10919 . . . . 5 ((((𝐴 · 𝐴)00 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐵)00 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00) − ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐴)00 + (𝐵 · 𝐵)) − ((𝐵 · 𝐵)00 + (𝐴 · 𝐴))))
176, 11, 13, 15, 16mp4an 692 . . . 4 (((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00) − ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐴)00 + (𝐵 · 𝐵)) − ((𝐵 · 𝐵)00 + (𝐴 · 𝐴)))
18 eqid 2822 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)00 = (𝐴 · 𝐴)00
1915addid2i 10817 . . . . . 6 (0 + (𝐵 · 𝐵)) = (𝐵 · 𝐵)
204, 3, 8, 18, 19decaddi 12146 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐴)00 + (𝐵 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵)
21 eqid 2822 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)00 = (𝐵 · 𝐵)00
2213addid2i 10817 . . . . . 6 (0 + (𝐴 · 𝐴)) = (𝐴 · 𝐴)
239, 3, 2, 21, 22decaddi 12146 . . . . 5 ((𝐵 · 𝐵)00 + (𝐴 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)
2420, 23oveq12i 7152 . . . 4 (((𝐴 · 𝐴)00 + (𝐵 · 𝐵)) − ((𝐵 · 𝐵)00 + (𝐴 · 𝐴))) = ((𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴))
2517, 24eqtr2i 2846 . . 3 ((𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)) = (((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00) − ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
26 eqid 2822 . . . . 5 ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))(((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))(((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))
277, 1nn0mulcli 11923 . . . . . . . 8 (𝐵 · 𝐴) ∈ ℕ0
281, 7, 27numcl 12099 . . . . . . 7 ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) ∈ ℕ0
292, 28deccl 12101 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) ∈ ℕ0
30 eqid 2822 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵)
31 eqid 2822 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)
32 eqid 2822 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) = (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))
33 eqid 2822 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝐵)0 = (𝐵 · 𝐵)0
3413, 15addcomi 10820 . . . . . . 7 ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))
35 eqid 2822 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)
362, 28, 8, 3, 32, 33, 34, 35decadd 12140 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + (𝐵 · 𝐵)0) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))(((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)
3715, 13addcomi 10820 . . . . . 6 ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))
3829, 8, 9, 2, 30, 31, 36, 37decadd 12140 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))(((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))
398, 28deccl 12101 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) ∈ ℕ0
40 eqid 2822 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴)
41 eqid 2822 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵)
42 eqid 2822 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))
43 eqid 2822 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐴)0 = (𝐴 · 𝐴)0
44 eqid 2822 . . . . . . 7 ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))
458, 28, 2, 3, 42, 43, 44, 35decadd 12140 . . . . . 6 ((𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + (𝐴 · 𝐴)0) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))(((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)
46 eqid 2822 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))
4739, 2, 4, 8, 40, 41, 45, 46decadd 12140 . . . . 5 ((𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐴))(((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) + 0)((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))
4826, 38, 473eqtr4i 2855 . . . 4 ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵))
4929, 8deccl 12101 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) ∈ ℕ0
5049nn0cni 11897 . . . . 5 (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ
519, 2deccl 12101 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0
5251nn0cni 11897 . . . . 5 (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
5339, 2deccl 12101 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0
5453nn0cni 11897 . . . . 5 (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
554, 8deccl 12101 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) ∈ ℕ0
5655nn0cni 11897 . . . . 5 (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ
57 addsubeq4com 39418 . . . . 5 ((((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵)) ↔ ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴))))
5850, 52, 54, 56, 57mp4an 692 . . . 4 (((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵)) ↔ ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴)))
5948, 58mpbi 233 . . 3 ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴)0(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)0(𝐴 · 𝐴))
60 10nn0 12104 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
6160, 3deccl 12101 . . . . . 6 100 ∈ ℕ0
6261nn0cni 11897 . . . . 5 100 ∈ ℂ
63 ax-1cn 10584 . . . . 5 1 ∈ ℂ
6413, 15subcli 10951 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)) ∈ ℂ
6562, 63, 64subdiri 11079 . . . 4 ((100 − 1) · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = ((100 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) − (1 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))))
6662, 13, 15subdii 11078 . . . . . 6 (100 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = ((100 · (𝐴 · 𝐴)) − (100 · (𝐵 · 𝐵)))
67 eqid 2822 . . . . . . . 8 100 = 100
682dec0u 12107 . . . . . . . 8 (10 · (𝐴 · 𝐴)) = (𝐴 · 𝐴)0
6913mul02i 10818 . . . . . . . 8 (0 · (𝐴 · 𝐴)) = 0
702, 60, 3, 67, 68, 69decmul1 12150 . . . . . . 7 (100 · (𝐴 · 𝐴)) = (𝐴 · 𝐴)00
718dec0u 12107 . . . . . . . 8 (10 · (𝐵 · 𝐵)) = (𝐵 · 𝐵)0
7215mul02i 10818 . . . . . . . 8 (0 · (𝐵 · 𝐵)) = 0
738, 60, 3, 67, 71, 72decmul1 12150 . . . . . . 7 (100 · (𝐵 · 𝐵)) = (𝐵 · 𝐵)00
7470, 73oveq12i 7152 . . . . . 6 ((100 · (𝐴 · 𝐴)) − (100 · (𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00)
7566, 74eqtri 2845 . . . . 5 (100 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00)
7664mulid2i 10635 . . . . 5 (1 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))
7775, 76oveq12i 7152 . . . 4 ((100 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) − (1 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))) = (((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00) − ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
7865, 77eqtri 2845 . . 3 ((100 − 1) · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐴)00 − (𝐵 · 𝐵)00) − ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
7925, 59, 783eqtr4i 2855 . 2 ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴)) = ((100 − 1) · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
80 eqid 2822 . . . 4 (𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐴)
81 eqid 2822 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))
82 eqid 2822 . . . 4 (𝐵 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐵)
831, 7, 1, 7, 80, 81, 82decpmulnc 39425 . . 3 (𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) = (𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵)
8414, 12mulcli 10637 . . . . 5 (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ
8512, 14mulcli 10637 . . . . 5 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ
8684, 85addcomi 10820 . . . 4 ((𝐵 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))
877, 1, 7, 1, 82, 86, 80decpmulnc 39425 . . 3 (𝐵𝐴 · 𝐵𝐴) = (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴)
8883, 87oveq12i 7152 . 2 ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐵𝐴 · 𝐵𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐵 · 𝐵) − (𝐵 · 𝐵)((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐴))(𝐴 · 𝐴))
89 9nn0 11909 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
9089, 89deccl 12101 . . . . 5 99 ∈ ℕ0
9190nn0cni 11897 . . . 4 99 ∈ ℂ
92 9p1e10 12088 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
93 eqid 2822 . . . . . 6 99 = 99
9489, 92, 93decsucc 12127 . . . . 5 (99 + 1) = 100
9591, 63, 94addcomli 10821 . . . 4 (1 + 99) = 100
9663, 91, 95mvlladdi 10893 . . 3 99 = (100 − 1)
9796oveq1i 7150 . 2 (99 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵))) = ((100 − 1) · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
9879, 88, 973eqtr4i 2855 1 ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐵𝐴 · 𝐵𝐴)) = (99 · ((𝐴 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209   = wceq 1538  wcel 2114  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  9c9 11687  0cn0 11885  cdc 12086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087
This theorem is referenced by:  sq3deccom12  39428
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