Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqdeccom12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqdeccom12 40832
Description: The square of a number in terms of its digits switched. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sqdeccom12.a ๐ด โˆˆ โ„•0
sqdeccom12.b ๐ต โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
sqdeccom12 ((๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) โˆ’ (๐ต๐ด ยท ๐ต๐ด)) = (99 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))

Proof of Theorem sqdeccom12
StepHypRef Expression
1 sqdeccom12.a . . . . . . . . 9 ๐ด โˆˆ โ„•0
21, 1nn0mulcli 12458 . . . . . . . 8 (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0
3 0nn0 12435 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„•0
42, 3deccl 12640 . . . . . . 7 (๐ด ยท ๐ด)0 โˆˆ โ„•0
54, 3deccl 12640 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)00 โˆˆ โ„•0
65nn0cni 12432 . . . . 5 (๐ด ยท ๐ด)00 โˆˆ โ„‚
7 sqdeccom12.b . . . . . . . . 9 ๐ต โˆˆ โ„•0
87, 7nn0mulcli 12458 . . . . . . . 8 (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„•0
98, 3deccl 12640 . . . . . . 7 (๐ต ยท ๐ต)0 โˆˆ โ„•0
109, 3deccl 12640 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)00 โˆˆ โ„•0
1110nn0cni 12432 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ต)00 โˆˆ โ„‚
121nn0cni 12432 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‚
1312, 12mulcli 11169 . . . . 5 (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
147nn0cni 12432 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‚
1514, 14mulcli 11169 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚
16 subadd4 11452 . . . . 5 ((((๐ด ยท ๐ด)00 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ต)00 โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ด)00 + (๐ต ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ต ยท ๐ต)00 + (๐ด ยท ๐ด))))
176, 11, 13, 15, 16mp4an 692 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ด)00 + (๐ต ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ต ยท ๐ต)00 + (๐ด ยท ๐ด)))
18 eqid 2737 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)00 = (๐ด ยท ๐ด)00
1915addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + (๐ต ยท ๐ต)) = (๐ต ยท ๐ต)
204, 3, 8, 18, 19decaddi 12685 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ด)00 + (๐ต ยท ๐ต)) = (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต)
21 eqid 2737 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)00 = (๐ต ยท ๐ต)00
2213addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + (๐ด ยท ๐ด)) = (๐ด ยท ๐ด)
239, 3, 2, 21, 22decaddi 12685 . . . . 5 ((๐ต ยท ๐ต)00 + (๐ด ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)
2420, 23oveq12i 7374 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ด)00 + (๐ต ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ต ยท ๐ต)00 + (๐ด ยท ๐ด))) = ((๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด))
2517, 24eqtr2i 2766 . . 3 ((๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)) = (((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))
26 eqid 2737 . . . . 5 ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))(((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))(((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต))
277, 1nn0mulcli 12458 . . . . . . . 8 (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0
281, 7, 27numcl 12638 . . . . . . 7 ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) โˆˆ โ„•0
292, 28deccl 12640 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) โˆˆ โ„•0
30 eqid 2737 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต)
31 eqid 2737 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)
32 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) = (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))
33 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐ต ยท ๐ต)0 = (๐ต ยท ๐ต)0
3413, 15addcomi 11353 . . . . . . 7 ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))
35 eqid 2737 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0) = (((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)
362, 28, 8, 3, 32, 33, 34, 35decadd 12679 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + (๐ต ยท ๐ต)0) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))(((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)
3715, 13addcomi 11353 . . . . . 6 ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต))
3829, 8, 9, 2, 30, 31, 36, 37decadd 12679 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))(((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต))
398, 28deccl 12640 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) โˆˆ โ„•0
40 eqid 2737 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด)
41 eqid 2737 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต)
42 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))
43 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐ด ยท ๐ด)0 = (๐ด ยท ๐ด)0
44 eqid 2737 . . . . . . 7 ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))
458, 28, 2, 3, 42, 43, 44, 35decadd 12679 . . . . . 6 ((๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + (๐ด ยท ๐ด)0) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))(((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)
46 eqid 2737 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต))
4739, 2, 4, 8, 40, 41, 45, 46decadd 12679 . . . . 5 ((๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต)) = ((๐ต ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ด))(((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) + 0)((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต))
4826, 38, 473eqtr4i 2775 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต))
4929, 8deccl 12640 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„•0
5049nn0cni 12432 . . . . 5 (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚
519, 2deccl 12640 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0
5251nn0cni 12432 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
5339, 2deccl 12640 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0
5453nn0cni 12432 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
554, 8deccl 12640 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„•0
5655nn0cni 12432 . . . . 5 (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚
57 addsubeq4com 40823 . . . . 5 ((((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต)) โ†” ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด))))
5850, 52, 54, 56, 57mp4an 692 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต)) โ†” ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด)))
5948, 58mpbi 229 . . 3 ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ด)0(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)0(๐ด ยท ๐ด))
60 10nn0 12643 . . . . . . 7 10 โˆˆ โ„•0
6160, 3deccl 12640 . . . . . 6 100 โˆˆ โ„•0
6261nn0cni 12432 . . . . 5 100 โˆˆ โ„‚
63 ax-1cn 11116 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
6413, 15subcli 11484 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚
6562, 63, 64subdiri 11612 . . . 4 ((100 โˆ’ 1) ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = ((100 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) โˆ’ (1 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))))
6662, 13, 15subdii 11611 . . . . . 6 (100 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = ((100 ยท (๐ด ยท ๐ด)) โˆ’ (100 ยท (๐ต ยท ๐ต)))
67 eqid 2737 . . . . . . . 8 100 = 100
682dec0u 12646 . . . . . . . 8 (10 ยท (๐ด ยท ๐ด)) = (๐ด ยท ๐ด)0
6913mul02i 11351 . . . . . . . 8 (0 ยท (๐ด ยท ๐ด)) = 0
702, 60, 3, 67, 68, 69decmul1 12689 . . . . . . 7 (100 ยท (๐ด ยท ๐ด)) = (๐ด ยท ๐ด)00
718dec0u 12646 . . . . . . . 8 (10 ยท (๐ต ยท ๐ต)) = (๐ต ยท ๐ต)0
7215mul02i 11351 . . . . . . . 8 (0 ยท (๐ต ยท ๐ต)) = 0
738, 60, 3, 67, 71, 72decmul1 12689 . . . . . . 7 (100 ยท (๐ต ยท ๐ต)) = (๐ต ยท ๐ต)00
7470, 73oveq12i 7374 . . . . . 6 ((100 ยท (๐ด ยท ๐ด)) โˆ’ (100 ยท (๐ต ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00)
7566, 74eqtri 2765 . . . . 5 (100 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00)
7664mulid2i 11167 . . . . 5 (1 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))
7775, 76oveq12i 7374 . . . 4 ((100 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) โˆ’ (1 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))) = (((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))
7865, 77eqtri 2765 . . 3 ((100 โˆ’ 1) ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ด)00 โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)00) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))
7925, 59, 783eqtr4i 2775 . 2 ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด)) = ((100 โˆ’ 1) ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))
80 eqid 2737 . . . 4 (๐ด ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐ด)
81 eqid 2737 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))
82 eqid 2737 . . . 4 (๐ต ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ต)
831, 7, 1, 7, 80, 81, 82decpmulnc 40830 . . 3 (๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) = (๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต)
8414, 12mulcli 11169 . . . . 5 (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
8512, 14mulcli 11169 . . . . 5 (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚
8684, 85addcomi 11353 . . . 4 ((๐ต ยท ๐ด) + (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))
877, 1, 7, 1, 82, 86, 80decpmulnc 40830 . . 3 (๐ต๐ด ยท ๐ต๐ด) = (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด)
8883, 87oveq12i 7374 . 2 ((๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) โˆ’ (๐ต๐ด ยท ๐ต๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ด)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ต ยท ๐ต) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)((๐ด ยท ๐ต) + (๐ต ยท ๐ด))(๐ด ยท ๐ด))
89 9nn0 12444 . . . . . 6 9 โˆˆ โ„•0
9089, 89deccl 12640 . . . . 5 99 โˆˆ โ„•0
9190nn0cni 12432 . . . 4 99 โˆˆ โ„‚
92 9p1e10 12627 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
93 eqid 2737 . . . . . 6 99 = 99
9489, 92, 93decsucc 12666 . . . . 5 (99 + 1) = 100
9591, 63, 94addcomli 11354 . . . 4 (1 + 99) = 100
9663, 91, 95mvlladdi 11426 . . 3 99 = (100 โˆ’ 1)
9796oveq1i 7372 . 2 (99 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต))) = ((100 โˆ’ 1) ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))
9879, 88, 973eqtr4i 2775 1 ((๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) โˆ’ (๐ต๐ด ยท ๐ต๐ด)) = (99 ยท ((๐ด ยท ๐ด) โˆ’ (๐ต ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  9c9 12222  โ„•0cn0 12420  cdc 12625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-sub 11394  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-dec 12626
This theorem is referenced by:  sq3deccom12  40833
  Copyright terms: Public domain W3C validator