Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummul1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummul1c 12155
 Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7 𝐸 ∈ ℕ0
nummul1c.8 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
nummul1c.9 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
Assertion
Ref Expression
nummul1c (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul1c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 nummul1c.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
3 nummul1c.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
4 nummul1c.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 12119 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2886 . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
7 nummul1c.2 . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
86, 7num0u 12117 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
9 0nn0 11918 . . 3 0 ∈ ℕ0
102, 9num0h 12118 . . 3 0 = ((𝑇 · 0) + 0)
11 nummul1c.6 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
12 nummul1c.7 . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
1312nn0cni 11915 . . . . . 6 𝐸 ∈ ℂ
1413addid2i 10835 . . . . 5 (0 + 𝐸) = 𝐸
1514oveq2i 7156 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸)
16 nummul1c.8 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
1715, 16eqtri 2821 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = 𝐶
184, 7num0u 12117 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = ((𝐵 · 𝑃) + 0)
19 nummul1c.9 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
2018, 19eqtr3i 2823 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
212, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20nummac 12151 . 2 ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
228, 21eqtri 2821 1 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7145  0cc0 10544   + caddc 10547   · cmul 10549  ℕ0cn0 11903 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-ltxr 10687  df-sub 10879  df-nn 11644  df-n0 11904 This theorem is referenced by:  nummul2c  12156  decmul1c  12171
 Copyright terms: Public domain W3C validator