Theorem nummul1c 12761

Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
nummul1c.8	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
nummul1c.9	⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
nummul1c	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		nummul1c.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		nummul1c.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		nummul1c.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 12720	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2865	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
7		nummul1c.2	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
8	6, 7	num0u 12718	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
9		0nn0 12515	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	2, 9	num0h 12719	. . 3 ⊢ 0 = ((𝑇 · 0) + 0)
11		nummul1c.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12		nummul1c.7	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
13	12	nn0cni 12512	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ ℂ
14	13	addlidi 11394	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐸) = 𝐸
15	14	oveq2i 7419	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸)
16		nummul1c.8	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
17	15, 16	eqtri 2792	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = 𝐶
18	4, 7	num0u 12718	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝐵 · 𝑃) + 0)
19		nummul1c.9	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
20	18, 19	eqtr3i 2794	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
21	2, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20	nummac 12757	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
22	8, 21	eqtri 2792	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  0cc0 11096   + caddc 11099   · cmul 11101  ℕ₀cn0 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439  df-nn 12230  df-n0 12501

This theorem is referenced by:  nummul2c  12762  decmul1c  12777