![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > nummul1c | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
nummul1c.1 | โข ๐ โ โ0 |
nummul1c.2 | โข ๐ โ โ0 |
nummul1c.3 | โข ๐ด โ โ0 |
nummul1c.4 | โข ๐ต โ โ0 |
nummul1c.5 | โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) |
nummul1c.6 | โข ๐ท โ โ0 |
nummul1c.7 | โข ๐ธ โ โ0 |
nummul1c.8 | โข ((๐ด ยท ๐) + ๐ธ) = ๐ถ |
nummul1c.9 | โข (๐ต ยท ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐ท) |
Ref | Expression |
---|---|
nummul1c | โข (๐ ยท ๐) = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nummul1c.5 | . . . 4 โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) | |
2 | nummul1c.1 | . . . . 5 โข ๐ โ โ0 | |
3 | nummul1c.3 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ0 | |
4 | nummul1c.4 | . . . . 5 โข ๐ต โ โ0 | |
5 | 2, 3, 4 | numcl 12728 | . . . 4 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) โ โ0 |
6 | 1, 5 | eqeltri 2825 | . . 3 โข ๐ โ โ0 |
7 | nummul1c.2 | . . 3 โข ๐ โ โ0 | |
8 | 6, 7 | num0u 12726 | . 2 โข (๐ ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + 0) |
9 | 0nn0 12525 | . . 3 โข 0 โ โ0 | |
10 | 2, 9 | num0h 12727 | . . 3 โข 0 = ((๐ ยท 0) + 0) |
11 | nummul1c.6 | . . 3 โข ๐ท โ โ0 | |
12 | nummul1c.7 | . . 3 โข ๐ธ โ โ0 | |
13 | 12 | nn0cni 12522 | . . . . . 6 โข ๐ธ โ โ |
14 | 13 | addlidi 11440 | . . . . 5 โข (0 + ๐ธ) = ๐ธ |
15 | 14 | oveq2i 7437 | . . . 4 โข ((๐ด ยท ๐) + (0 + ๐ธ)) = ((๐ด ยท ๐) + ๐ธ) |
16 | nummul1c.8 | . . . 4 โข ((๐ด ยท ๐) + ๐ธ) = ๐ถ | |
17 | 15, 16 | eqtri 2756 | . . 3 โข ((๐ด ยท ๐) + (0 + ๐ธ)) = ๐ถ |
18 | 4, 7 | num0u 12726 | . . . 4 โข (๐ต ยท ๐) = ((๐ต ยท ๐) + 0) |
19 | nummul1c.9 | . . . 4 โข (๐ต ยท ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐ท) | |
20 | 18, 19 | eqtr3i 2758 | . . 3 โข ((๐ต ยท ๐) + 0) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐ท) |
21 | 2, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20 | nummac 12760 | . 2 โข ((๐ ยท ๐) + 0) = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) |
22 | 8, 21 | eqtri 2756 | 1 โข (๐ ยท ๐) = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7426 0cc0 11146 + caddc 11149 ยท cmul 11151 โ0cn0 12510 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-ltxr 11291 df-sub 11484 df-nn 12251 df-n0 12511 |
This theorem is referenced by: nummul2c 12765 decmul1c 12780 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |