MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummul1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummul1c 12733
Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7 𝐸 ∈ ℕ0
nummul1c.8 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
nummul1c.9 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
Assertion
Ref Expression
nummul1c (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul1c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 nummul1c.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
3 nummul1c.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
4 nummul1c.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 12697 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2828 . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
7 nummul1c.2 . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
86, 7num0u 12695 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
9 0nn0 12494 . . 3 0 ∈ ℕ0
102, 9num0h 12696 . . 3 0 = ((𝑇 · 0) + 0)
11 nummul1c.6 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
12 nummul1c.7 . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
1312nn0cni 12491 . . . . . 6 𝐸 ∈ ℂ
1413addlidi 11409 . . . . 5 (0 + 𝐸) = 𝐸
1514oveq2i 7423 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸)
16 nummul1c.8 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
1715, 16eqtri 2759 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = 𝐶
184, 7num0u 12695 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = ((𝐵 · 𝑃) + 0)
19 nummul1c.9 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
2018, 19eqtr3i 2761 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
212, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20nummac 12729 . 2 ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
228, 21eqtri 2759 1 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2105  (class class class)co 7412  0cc0 11116   + caddc 11119   · cmul 11121  0cn0 12479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453  df-nn 12220  df-n0 12480
This theorem is referenced by:  nummul2c  12734  decmul1c  12749
  Copyright terms: Public domain W3C validator