MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummul1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummul1c 12727
Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
nummul1c.2 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
nummul1c.3 ๐ด โˆˆ โ„•0
nummul1c.4 ๐ต โˆˆ โ„•0
nummul1c.5 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
nummul1c.6 ๐ท โˆˆ โ„•0
nummul1c.7 ๐ธ โˆˆ โ„•0
nummul1c.8 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ธ) = ๐ถ
nummul1c.9 (๐ต ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐ท)
Assertion
Ref Expression
nummul1c (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)

Proof of Theorem nummul1c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
2 nummul1c.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
3 nummul1c.3 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
4 nummul1c.4 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„•0
52, 3, 4numcl 12691 . . . 4 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) โˆˆ โ„•0
61, 5eqeltri 2823 . . 3 ๐‘ โˆˆ โ„•0
7 nummul1c.2 . . 3 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
86, 7num0u 12689 . 2 (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) + 0)
9 0nn0 12488 . . 3 0 โˆˆ โ„•0
102, 9num0h 12690 . . 3 0 = ((๐‘‡ ยท 0) + 0)
11 nummul1c.6 . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
12 nummul1c.7 . . 3 ๐ธ โˆˆ โ„•0
1312nn0cni 12485 . . . . . 6 ๐ธ โˆˆ โ„‚
1413addlidi 11403 . . . . 5 (0 + ๐ธ) = ๐ธ
1514oveq2i 7415 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (0 + ๐ธ)) = ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ธ)
16 nummul1c.8 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ธ) = ๐ถ
1715, 16eqtri 2754 . . 3 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (0 + ๐ธ)) = ๐ถ
184, 7num0u 12689 . . . 4 (๐ต ยท ๐‘ƒ) = ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + 0)
19 nummul1c.9 . . . 4 (๐ต ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐ท)
2018, 19eqtr3i 2756 . . 3 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + 0) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐ท)
212, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20nummac 12723 . 2 ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) + 0) = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
228, 21eqtri 2754 1 (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  0cc0 11109   + caddc 11112   ยท cmul 11114  โ„•0cn0 12473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-nn 12214  df-n0 12474
This theorem is referenced by:  nummul2c  12728  decmul1c  12743
  Copyright terms: Public domain W3C validator