MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummul1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummul1c 12764
Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
nummul1c.2 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
nummul1c.3 ๐ด โˆˆ โ„•0
nummul1c.4 ๐ต โˆˆ โ„•0
nummul1c.5 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
nummul1c.6 ๐ท โˆˆ โ„•0
nummul1c.7 ๐ธ โˆˆ โ„•0
nummul1c.8 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ธ) = ๐ถ
nummul1c.9 (๐ต ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐ท)
Assertion
Ref Expression
nummul1c (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)

Proof of Theorem nummul1c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
2 nummul1c.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
3 nummul1c.3 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
4 nummul1c.4 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„•0
52, 3, 4numcl 12728 . . . 4 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) โˆˆ โ„•0
61, 5eqeltri 2825 . . 3 ๐‘ โˆˆ โ„•0
7 nummul1c.2 . . 3 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
86, 7num0u 12726 . 2 (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) + 0)
9 0nn0 12525 . . 3 0 โˆˆ โ„•0
102, 9num0h 12727 . . 3 0 = ((๐‘‡ ยท 0) + 0)
11 nummul1c.6 . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
12 nummul1c.7 . . 3 ๐ธ โˆˆ โ„•0
1312nn0cni 12522 . . . . . 6 ๐ธ โˆˆ โ„‚
1413addlidi 11440 . . . . 5 (0 + ๐ธ) = ๐ธ
1514oveq2i 7437 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (0 + ๐ธ)) = ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ธ)
16 nummul1c.8 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ธ) = ๐ถ
1715, 16eqtri 2756 . . 3 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (0 + ๐ธ)) = ๐ถ
184, 7num0u 12726 . . . 4 (๐ต ยท ๐‘ƒ) = ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + 0)
19 nummul1c.9 . . . 4 (๐ต ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐ท)
2018, 19eqtr3i 2758 . . 3 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + 0) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐ท)
212, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20nummac 12760 . 2 ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) + 0) = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
228, 21eqtri 2756 1 (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7426  0cc0 11146   + caddc 11149   ยท cmul 11151  โ„•0cn0 12510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-nn 12251  df-n0 12511
This theorem is referenced by:  nummul2c  12765  decmul1c  12780
  Copyright terms: Public domain W3C validator