![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > gcdi | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
gcdi.1 | โข ๐พ โ โ0 |
gcdi.2 | โข ๐ โ โ0 |
gcdi.3 | โข ๐ โ โ0 |
gcdi.5 | โข (๐ gcd ๐ ) = ๐บ |
gcdi.4 | โข ((๐พ ยท ๐) + ๐ ) = ๐ |
Ref | Expression |
---|---|
gcdi | โข (๐ gcd ๐) = ๐บ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | gcdi.1 | . . . . . . 7 โข ๐พ โ โ0 | |
2 | gcdi.3 | . . . . . . 7 โข ๐ โ โ0 | |
3 | 1, 2 | nn0mulcli 12458 | . . . . . 6 โข (๐พ ยท ๐) โ โ0 |
4 | 3 | nn0cni 12432 | . . . . 5 โข (๐พ ยท ๐) โ โ |
5 | gcdi.2 | . . . . . 6 โข ๐ โ โ0 | |
6 | 5 | nn0cni 12432 | . . . . 5 โข ๐ โ โ |
7 | gcdi.4 | . . . . 5 โข ((๐พ ยท ๐) + ๐ ) = ๐ | |
8 | 4, 6, 7 | addcomli 11354 | . . . 4 โข (๐ + (๐พ ยท ๐)) = ๐ |
9 | 8 | oveq2i 7373 | . . 3 โข (๐ gcd (๐ + (๐พ ยท ๐))) = (๐ gcd ๐) |
10 | 1 | nn0zi 12535 | . . . 4 โข ๐พ โ โค |
11 | 2 | nn0zi 12535 | . . . 4 โข ๐ โ โค |
12 | 5 | nn0zi 12535 | . . . 4 โข ๐ โ โค |
13 | gcdaddm 16412 | . . . 4 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ gcd ๐ ) = (๐ gcd (๐ + (๐พ ยท ๐)))) | |
14 | 10, 11, 12, 13 | mp3an 1462 | . . 3 โข (๐ gcd ๐ ) = (๐ gcd (๐ + (๐พ ยท ๐))) |
15 | 1, 2, 5 | numcl 12638 | . . . . . 6 โข ((๐พ ยท ๐) + ๐ ) โ โ0 |
16 | 7, 15 | eqeltrri 2835 | . . . . 5 โข ๐ โ โ0 |
17 | 16 | nn0zi 12535 | . . . 4 โข ๐ โ โค |
18 | gcdcom 16400 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ gcd ๐) = (๐ gcd ๐)) | |
19 | 17, 11, 18 | mp2an 691 | . . 3 โข (๐ gcd ๐) = (๐ gcd ๐) |
20 | 9, 14, 19 | 3eqtr4i 2775 | . 2 โข (๐ gcd ๐ ) = (๐ gcd ๐) |
21 | gcdi.5 | . 2 โข (๐ gcd ๐ ) = ๐บ | |
22 | 20, 21 | eqtr3i 2767 | 1 โข (๐ gcd ๐) = ๐บ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7362 + caddc 11061 ยท cmul 11063 โ0cn0 12420 โคcz 12506 gcd cgcd 16381 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 ax-pre-sup 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-sup 9385 df-inf 9386 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-div 11820 df-nn 12161 df-2 12223 df-3 12224 df-n0 12421 df-z 12507 df-uz 12771 df-rp 12923 df-seq 13914 df-exp 13975 df-cj 14991 df-re 14992 df-im 14993 df-sqrt 15127 df-abs 15128 df-dvds 16144 df-gcd 16382 |
This theorem is referenced by: 1259lem5 17014 2503lem3 17018 4001lem4 17023 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |