MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdi 17070
Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gcdi.1 𝐾 ∈ ℕ0
gcdi.2 𝑅 ∈ ℕ0
gcdi.3 𝑁 ∈ ℕ0
gcdi.5 (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
gcdi.4 ((𝐾 · 𝑁) + 𝑅) = 𝑀
Assertion
Ref Expression
gcdi (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺

Proof of Theorem gcdi
StepHypRef Expression
1 gcdi.1 . . . . . . 7 𝐾 ∈ ℕ0
2 gcdi.3 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ0
31, 2nn0mulcli 12556 . . . . . 6 (𝐾 · 𝑁) ∈ ℕ0
43nn0cni 12530 . . . . 5 (𝐾 · 𝑁) ∈ ℂ
5 gcdi.2 . . . . . 6 𝑅 ∈ ℕ0
65nn0cni 12530 . . . . 5 𝑅 ∈ ℂ
7 gcdi.4 . . . . 5 ((𝐾 · 𝑁) + 𝑅) = 𝑀
84, 6, 7addcomli 11447 . . . 4 (𝑅 + (𝐾 · 𝑁)) = 𝑀
98oveq2i 7427 . . 3 (𝑁 gcd (𝑅 + (𝐾 · 𝑁))) = (𝑁 gcd 𝑀)
101nn0zi 12633 . . . 4 𝐾 ∈ ℤ
112nn0zi 12633 . . . 4 𝑁 ∈ ℤ
125nn0zi 12633 . . . 4 𝑅 ∈ ℤ
13 gcdaddm 16520 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑁 gcd (𝑅 + (𝐾 · 𝑁))))
1410, 11, 12, 13mp3an 1458 . . 3 (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑁 gcd (𝑅 + (𝐾 · 𝑁)))
151, 2, 5numcl 12736 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑁) + 𝑅) ∈ ℕ0
167, 15eqeltrri 2823 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
1716nn0zi 12633 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ
18 gcdcom 16508 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
1917, 11, 18mp2an 690 . . 3 (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀)
209, 14, 193eqtr4i 2764 . 2 (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑀 gcd 𝑁)
21 gcdi.5 . 2 (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
2220, 21eqtr3i 2756 1 (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  (class class class)co 7416   + caddc 11152   · cmul 11154  0cn0 12518  cz 12604   gcd cgcd 16489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-dvds 16252  df-gcd 16490
This theorem is referenced by:  1259lem5  17132  2503lem3  17136  4001lem4  17141
  Copyright terms: Public domain W3C validator