Theorem gcdi 16977

Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdi.1	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
gcdi.2	⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
gcdi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
gcdi.5	⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
gcdi.4	⊢ ((𝐾 · 𝑁) + 𝑅) = 𝑀

Assertion

Ref	Expression
gcdi	⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺

Proof of Theorem gcdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdi.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
2		gcdi.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0mulcli 12411	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12385	. . . . 5 ⊢ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℂ
5		gcdi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12385	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
7		gcdi.4	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 · 𝑁) + 𝑅) = 𝑀
8	4, 6, 7	addcomli 11297	. . . 4 ⊢ (𝑅 + (𝐾 · 𝑁)) = 𝑀
9	8	oveq2i 7352	. . 3 ⊢ (𝑁 gcd (𝑅 + (𝐾 · 𝑁))) = (𝑁 gcd 𝑀)
10	1	nn0zi 12489	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
11	2	nn0zi 12489	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
12	5	nn0zi 12489	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℤ
13		gcdaddm 16428	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑁 gcd (𝑅 + (𝐾 · 𝑁))))
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑁 gcd (𝑅 + (𝐾 · 𝑁)))
15	1, 2, 5	numcl 12593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 · 𝑁) + 𝑅) ∈ ℕ0
16	7, 15	eqeltrri 2826	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
17	16	nn0zi 12489	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
18		gcdcom 16416	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
19	17, 11, 18	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀)
20	9, 14, 19	3eqtr4i 2763	. 2 ⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑀 gcd 𝑁)
21		gcdi.5	. 2 ⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
22	20, 21	eqtr3i 2755	1 ⊢ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7341   + caddc 11001   · cmul 11003  ℕ₀cn0 12373  ℤcz 12460   gcd cgcd 16397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-dvds 16156  df-gcd 16398

This theorem is referenced by:  1259lem5  17038  2503lem3  17042  4001lem4  17047