MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdi 17012
Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gcdi.1 ๐พ โˆˆ โ„•0
gcdi.2 ๐‘… โˆˆ โ„•0
gcdi.3 ๐‘ โˆˆ โ„•0
gcdi.5 (๐‘ gcd ๐‘…) = ๐บ
gcdi.4 ((๐พ ยท ๐‘) + ๐‘…) = ๐‘€
Assertion
Ref Expression
gcdi (๐‘€ gcd ๐‘) = ๐บ

Proof of Theorem gcdi
StepHypRef Expression
1 gcdi.1 . . . . . . 7 ๐พ โˆˆ โ„•0
2 gcdi.3 . . . . . . 7 ๐‘ โˆˆ โ„•0
31, 2nn0mulcli 12511 . . . . . 6 (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0
43nn0cni 12485 . . . . 5 (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚
5 gcdi.2 . . . . . 6 ๐‘… โˆˆ โ„•0
65nn0cni 12485 . . . . 5 ๐‘… โˆˆ โ„‚
7 gcdi.4 . . . . 5 ((๐พ ยท ๐‘) + ๐‘…) = ๐‘€
84, 6, 7addcomli 11407 . . . 4 (๐‘… + (๐พ ยท ๐‘)) = ๐‘€
98oveq2i 7415 . . 3 (๐‘ gcd (๐‘… + (๐พ ยท ๐‘))) = (๐‘ gcd ๐‘€)
101nn0zi 12588 . . . 4 ๐พ โˆˆ โ„ค
112nn0zi 12588 . . . 4 ๐‘ โˆˆ โ„ค
125nn0zi 12588 . . . 4 ๐‘… โˆˆ โ„ค
13 gcdaddm 16470 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = (๐‘ gcd (๐‘… + (๐พ ยท ๐‘))))
1410, 11, 12, 13mp3an 1457 . . 3 (๐‘ gcd ๐‘…) = (๐‘ gcd (๐‘… + (๐พ ยท ๐‘)))
151, 2, 5numcl 12691 . . . . . 6 ((๐พ ยท ๐‘) + ๐‘…) โˆˆ โ„•0
167, 15eqeltrri 2824 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
1716nn0zi 12588 . . . 4 ๐‘€ โˆˆ โ„ค
18 gcdcom 16458 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐‘€))
1917, 11, 18mp2an 689 . . 3 (๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐‘€)
209, 14, 193eqtr4i 2764 . 2 (๐‘ gcd ๐‘…) = (๐‘€ gcd ๐‘)
21 gcdi.5 . 2 (๐‘ gcd ๐‘…) = ๐บ
2220, 21eqtr3i 2756 1 (๐‘€ gcd ๐‘) = ๐บ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404   + caddc 11112   ยท cmul 11114  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559   gcd cgcd 16439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202  df-gcd 16440
This theorem is referenced by:  1259lem5  17074  2503lem3  17078  4001lem4  17083
  Copyright terms: Public domain W3C validator