![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > gcdi | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
gcdi.1 | โข ๐พ โ โ0 |
gcdi.2 | โข ๐ โ โ0 |
gcdi.3 | โข ๐ โ โ0 |
gcdi.5 | โข (๐ gcd ๐ ) = ๐บ |
gcdi.4 | โข ((๐พ ยท ๐) + ๐ ) = ๐ |
Ref | Expression |
---|---|
gcdi | โข (๐ gcd ๐) = ๐บ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | gcdi.1 | . . . . . . 7 โข ๐พ โ โ0 | |
2 | gcdi.3 | . . . . . . 7 โข ๐ โ โ0 | |
3 | 1, 2 | nn0mulcli 12535 | . . . . . 6 โข (๐พ ยท ๐) โ โ0 |
4 | 3 | nn0cni 12509 | . . . . 5 โข (๐พ ยท ๐) โ โ |
5 | gcdi.2 | . . . . . 6 โข ๐ โ โ0 | |
6 | 5 | nn0cni 12509 | . . . . 5 โข ๐ โ โ |
7 | gcdi.4 | . . . . 5 โข ((๐พ ยท ๐) + ๐ ) = ๐ | |
8 | 4, 6, 7 | addcomli 11431 | . . . 4 โข (๐ + (๐พ ยท ๐)) = ๐ |
9 | 8 | oveq2i 7426 | . . 3 โข (๐ gcd (๐ + (๐พ ยท ๐))) = (๐ gcd ๐) |
10 | 1 | nn0zi 12612 | . . . 4 โข ๐พ โ โค |
11 | 2 | nn0zi 12612 | . . . 4 โข ๐ โ โค |
12 | 5 | nn0zi 12612 | . . . 4 โข ๐ โ โค |
13 | gcdaddm 16494 | . . . 4 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ gcd ๐ ) = (๐ gcd (๐ + (๐พ ยท ๐)))) | |
14 | 10, 11, 12, 13 | mp3an 1458 | . . 3 โข (๐ gcd ๐ ) = (๐ gcd (๐ + (๐พ ยท ๐))) |
15 | 1, 2, 5 | numcl 12715 | . . . . . 6 โข ((๐พ ยท ๐) + ๐ ) โ โ0 |
16 | 7, 15 | eqeltrri 2826 | . . . . 5 โข ๐ โ โ0 |
17 | 16 | nn0zi 12612 | . . . 4 โข ๐ โ โค |
18 | gcdcom 16482 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ gcd ๐) = (๐ gcd ๐)) | |
19 | 17, 11, 18 | mp2an 691 | . . 3 โข (๐ gcd ๐) = (๐ gcd ๐) |
20 | 9, 14, 19 | 3eqtr4i 2766 | . 2 โข (๐ gcd ๐ ) = (๐ gcd ๐) |
21 | gcdi.5 | . 2 โข (๐ gcd ๐ ) = ๐บ | |
22 | 20, 21 | eqtr3i 2758 | 1 โข (๐ gcd ๐) = ๐บ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1534 โ wcel 2099 (class class class)co 7415 + caddc 11136 ยท cmul 11138 โ0cn0 12497 โคcz 12583 gcd cgcd 16463 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-pre-sup 11211 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-iun 4994 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-om 7866 df-2nd 7989 df-frecs 8281 df-wrecs 8312 df-recs 8386 df-rdg 8425 df-er 8719 df-en 8959 df-dom 8960 df-sdom 8961 df-sup 9460 df-inf 9461 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-n0 12498 df-z 12584 df-uz 12848 df-rp 13002 df-seq 13994 df-exp 14054 df-cj 15073 df-re 15074 df-im 15075 df-sqrt 15209 df-abs 15210 df-dvds 16226 df-gcd 16464 |
This theorem is referenced by: 1259lem5 17098 2503lem3 17102 4001lem4 17107 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |