MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummul2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummul2c 12675
Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
nummul1c.2 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
nummul1c.3 ๐ด โˆˆ โ„•0
nummul1c.4 ๐ต โˆˆ โ„•0
nummul1c.5 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
nummul1c.6 ๐ท โˆˆ โ„•0
nummul1c.7 ๐ธ โˆˆ โ„•0
nummul2c.7 ((๐‘ƒ ยท ๐ด) + ๐ธ) = ๐ถ
nummul2c.8 (๐‘ƒ ยท ๐ต) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐ท)
Assertion
Ref Expression
nummul2c (๐‘ƒ ยท ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)

Proof of Theorem nummul2c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
2 nummul1c.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
3 nummul1c.3 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
4 nummul1c.4 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„•0
52, 3, 4numcl 12638 . . . 4 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) โˆˆ โ„•0
61, 5eqeltri 2834 . . 3 ๐‘ โˆˆ โ„•0
76nn0cni 12432 . 2 ๐‘ โˆˆ โ„‚
8 nummul1c.2 . . 3 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
98nn0cni 12432 . 2 ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚
10 nummul1c.6 . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
11 nummul1c.7 . . 3 ๐ธ โˆˆ โ„•0
123nn0cni 12432 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‚
1312, 9mulcomi 11170 . . . . 5 (๐ด ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ ยท ๐ด)
1413oveq1i 7372 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ธ) = ((๐‘ƒ ยท ๐ด) + ๐ธ)
15 nummul2c.7 . . . 4 ((๐‘ƒ ยท ๐ด) + ๐ธ) = ๐ถ
1614, 15eqtri 2765 . . 3 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ธ) = ๐ถ
174nn0cni 12432 . . . 4 ๐ต โˆˆ โ„‚
18 nummul2c.8 . . . 4 (๐‘ƒ ยท ๐ต) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐ท)
199, 17, 18mulcomli 11171 . . 3 (๐ต ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐ท)
202, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19nummul1c 12674 . 2 (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
217, 9, 20mulcomli 11171 1 (๐‘ƒ ยท ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„•0cn0 12420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-sub 11394  df-nn 12161  df-n0 12421
This theorem is referenced by:  decmul2c  12691
  Copyright terms: Public domain W3C validator