Theorem nummul2c 12777

Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
nummul2c.7	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
nummul2c.8	⊢ (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
nummul2c	⊢ (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		nummul1c.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		nummul1c.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		nummul1c.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 12735	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2861	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 12527	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
8		nummul1c.2	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12527	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
10		nummul1c.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
11		nummul1c.7	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
12	3	nn0cni 12527	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
13	12, 9	mulcomi 11228	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
14	13	oveq1i 7426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸)
15		nummul2c.7	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
16	14, 15	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
17	4	nn0cni 12527	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
18		nummul2c.8	. . . 4 ⊢ (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
19	9, 17, 18	mulcomli 11229	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
20	2, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19	nummul1c 12776	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
21	7, 9, 20	mulcomli 11229	1 ⊢ (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416   + caddc 11114   · cmul 11116  ℕ₀cn0 12515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454  df-nn 12245  df-n0 12516

This theorem is used by:  decmul2c  12793