Theorem nummul2c 12791

Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
nummul2c.7	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
nummul2c.8	⊢ (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
nummul2c	⊢ (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		nummul1c.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		nummul1c.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		nummul1c.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 12749	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 12540	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
8		nummul1c.2	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12540	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
10		nummul1c.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
11		nummul1c.7	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
12	3	nn0cni 12540	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
13	12, 9	mulcomi 11241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
14	13	oveq1i 7423	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸)
15		nummul2c.7	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
16	14, 15	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
17	4	nn0cni 12540	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
18		nummul2c.8	. . . 4 ⊢ (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
19	9, 17, 18	mulcomli 11242	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
20	2, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19	nummul1c 12790	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
21	7, 9, 20	mulcomli 11242	1 ⊢ (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413   + caddc 11127   · cmul 11129  ℕ₀cn0 12528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467  df-nn 12258  df-n0 12529

This theorem is used by:  decmul2c  12807