MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummul2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummul2c 12722
Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7 𝐸 ∈ ℕ0
nummul2c.7 ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
nummul2c.8 (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
Assertion
Ref Expression
nummul2c (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul2c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 nummul1c.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
3 nummul1c.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
4 nummul1c.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 12685 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2830 . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
76nn0cni 12479 . 2 𝑁 ∈ ℂ
8 nummul1c.2 . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
98nn0cni 12479 . 2 𝑃 ∈ ℂ
10 nummul1c.6 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
11 nummul1c.7 . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
123nn0cni 12479 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1312, 9mulcomi 11217 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
1413oveq1i 7413 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸)
15 nummul2c.7 . . . 4 ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
1614, 15eqtri 2761 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
174nn0cni 12479 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
18 nummul2c.8 . . . 4 (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
199, 17, 18mulcomli 11218 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
202, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19nummul1c 12721 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
217, 9, 20mulcomli 11218 1 (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7403   + caddc 11108   · cmul 11110  0cn0 12467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11441  df-nn 12208  df-n0 12468
This theorem is referenced by:  decmul2c  12738
  Copyright terms: Public domain W3C validator