Theorem nummul2c 12722

Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
nummul2c.7	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
nummul2c.8	⊢ (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
nummul2c	⊢ (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		nummul1c.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		nummul1c.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		nummul1c.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 12685	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 12479	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
8		nummul1c.2	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12479	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
10		nummul1c.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
11		nummul1c.7	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
12	3	nn0cni 12479	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
13	12, 9	mulcomi 11217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
14	13	oveq1i 7413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸)
15		nummul2c.7	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
16	14, 15	eqtri 2761	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
17	4	nn0cni 12479	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
18		nummul2c.8	. . . 4 ⊢ (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
19	9, 17, 18	mulcomli 11218	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
20	2, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19	nummul1c 12721	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
21	7, 9, 20	mulcomli 11218	1 ⊢ (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7403   + caddc 11108   · cmul 11110  ℕ₀cn0 12467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11441  df-nn 12208  df-n0 12468

This theorem is referenced by:  decmul2c  12738