MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decma2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decma2c 11815
Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplier 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decma.n 𝑁 = 𝐶𝐷
decma2c.p 𝑃 ∈ ℕ0
decma2c.f 𝐹 ∈ ℕ0
decma2c.g 𝐺 ∈ ℕ0
decma2c.e ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
decma2c.2 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = 𝐺𝐹
Assertion
Ref Expression
decma2c ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decma2c
StepHypRef Expression
1 10nn0 11780 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decma.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 decma.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 decma.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 decma.d . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
6 decma.m . . . 4 𝑀 = 𝐴𝐵
7 dfdec10 11765 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7eqtri 2835 . . 3 𝑀 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
9 decma.n . . . 4 𝑁 = 𝐶𝐷
10 dfdec10 11765 . . . 4 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
119, 10eqtri 2835 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
12 decma2c.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
13 decma2c.f . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
14 decma2c.g . . 3 𝐺 ∈ ℕ0
15 decma2c.e . . 3 ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
16 decma2c.2 . . . 4 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = 𝐺𝐹
17 dfdec10 11765 . . . 4 𝐺𝐹 = ((10 · 𝐺) + 𝐹)
1816, 17eqtri 2835 . . 3 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((10 · 𝐺) + 𝐹)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18numma2c 11808 . 2 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
20 dfdec10 11765 . 2 𝐸𝐹 = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
2119, 20eqtr4i 2838 1 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = 𝐸𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2157  (class class class)co 6877  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  0cn0 11562  cdc 11762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-ltxr 10367  df-sub 10556  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-dec 11763
This theorem is referenced by:  2exp16  16012  43prm  16043  83prm  16044  139prm  16045  163prm  16046  317prm  16047  631prm  16048  1259lem1  16052  1259lem2  16053  1259lem3  16054  1259lem4  16055  1259lem5  16056  2503lem1  16058  2503lem2  16059  2503lem3  16060  2503prm  16061  4001lem1  16062  4001lem2  16063  4001lem3  16064  4001lem4  16065  4001prm  16066  log2ublem3  24895  log2ub  24896  fmtno4nprmfac193  42062  139prmALT  42087  127prm  42091  m11nprm  42094
  Copyright terms: Public domain W3C validator