Theorem decma2c 12662

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplier 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decma2c.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decma2c.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
decma2c.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decma2c.e	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
decma2c.2	⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ;𝐺𝐹

Assertion

Ref	Expression
decma2c	⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decma2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12627	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 12612	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 12612	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decma2c.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
13		decma2c.f	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
14		decma2c.g	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
15		decma2c.e	. . 3 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
16		decma2c.2	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ;𝐺𝐹
17		dfdec10 12612	. . . 4 ⊢ ;𝐺𝐹 = ((;10 · 𝐺) + 𝐹)
18	16, 17	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((;10 · 𝐺) + 𝐹)
19	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18	numma2c 12655	. 2 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
20		dfdec10 12612	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
21	19, 20	eqtr4i 2755	1 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  ℕ₀cn0 12402  ;cdc 12609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-dec 12610

This theorem is referenced by:  2exp16  17020  43prm  17051  83prm  17052  139prm  17053  163prm  17054  317prm  17055  631prm  17056  1259lem1  17060  1259lem2  17061  1259lem3  17062  1259lem4  17063  1259lem5  17064  2503lem1  17066  2503lem2  17067  2503lem3  17068  2503prm  17069  4001lem1  17070  4001lem2  17071  4001lem3  17072  4001lem4  17073  4001prm  17074  log2ublem3  26874  log2ub  26875  3exp7  42026  3lexlogpow5ineq1  42027  3lexlogpow5ineq5  42033  aks4d1p1  42049  235t711  42278  fmtno4nprmfac193  47559  139prmALT  47581  127prm  47584  m11nprm  47586