Theorem decma2c 12731

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplier 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decma2c.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decma2c.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
decma2c.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decma2c.e	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
decma2c.2	⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ;𝐺𝐹

Assertion

Ref	Expression
decma2c	⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decma2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12696	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 12681	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 12681	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decma2c.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
13		decma2c.f	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
14		decma2c.g	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
15		decma2c.e	. . 3 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
16		decma2c.2	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ;𝐺𝐹
17		dfdec10 12681	. . . 4 ⊢ ;𝐺𝐹 = ((;10 · 𝐺) + 𝐹)
18	16, 17	eqtri 2754	. . 3 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((;10 · 𝐺) + 𝐹)
19	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18	numma2c 12724	. 2 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
20		dfdec10 12681	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
21	19, 20	eqtr4i 2757	1 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  ℕ₀cn0 12473  ;cdc 12678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-dec 12679

This theorem is referenced by:  2exp16  17031  43prm  17062  83prm  17063  139prm  17064  163prm  17065  317prm  17066  631prm  17067  1259lem1  17071  1259lem2  17072  1259lem3  17073  1259lem4  17074  1259lem5  17075  2503lem1  17077  2503lem2  17078  2503lem3  17079  2503prm  17080  4001lem1  17081  4001lem2  17082  4001lem3  17083  4001lem4  17084  4001prm  17085  log2ublem3  26831  log2ub  26832  3exp7  41432  3lexlogpow5ineq1  41433  3lexlogpow5ineq5  41439  aks4d1p1  41455  235t711  41744  fmtno4nprmfac193  46795  139prmALT  46817  127prm  46820  m11nprm  46822