Theorem decma2c 12726

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplier 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decma2c.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decma2c.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
decma2c.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decma2c.e	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
decma2c.2	⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ;𝐺𝐹

Assertion

Ref	Expression
decma2c	⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decma2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12691	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 12676	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 12676	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decma2c.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
13		decma2c.f	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
14		decma2c.g	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
15		decma2c.e	. . 3 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
16		decma2c.2	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ;𝐺𝐹
17		dfdec10 12676	. . . 4 ⊢ ;𝐺𝐹 = ((;10 · 𝐺) + 𝐹)
18	16, 17	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((;10 · 𝐺) + 𝐹)
19	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18	numma2c 12719	. 2 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
20		dfdec10 12676	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
21	19, 20	eqtr4i 2755	1 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7401  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110  ℕ₀cn0 12468  ;cdc 12673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-dec 12674

This theorem is referenced by:  2exp16  17022  43prm  17053  83prm  17054  139prm  17055  163prm  17056  317prm  17057  631prm  17058  1259lem1  17062  1259lem2  17063  1259lem3  17064  1259lem4  17065  1259lem5  17066  2503lem1  17068  2503lem2  17069  2503lem3  17070  2503prm  17071  4001lem1  17072  4001lem2  17073  4001lem3  17074  4001lem4  17075  4001prm  17076  log2ublem3  26795  log2ub  26796  3exp7  41377  3lexlogpow5ineq1  41378  3lexlogpow5ineq5  41384  aks4d1p1  41400  235t711  41660  fmtno4nprmfac193  46693  139prmALT  46715  127prm  46718  m11nprm  46720