MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decma2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decma2c 12672
Description: Perform a multiply-add of two numerals ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplier ๐‘ƒ (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a ๐ด โˆˆ โ„•0
decma.b ๐ต โˆˆ โ„•0
decma.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
decma.d ๐ท โˆˆ โ„•0
decma.m ๐‘€ = ๐ด๐ต
decma.n ๐‘ = ๐ถ๐ท
decma2c.p ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
decma2c.f ๐น โˆˆ โ„•0
decma2c.g ๐บ โˆˆ โ„•0
decma2c.e ((๐‘ƒ ยท ๐ด) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
decma2c.2 ((๐‘ƒ ยท ๐ต) + ๐ท) = ๐บ๐น
Assertion
Ref Expression
decma2c ((๐‘ƒ ยท ๐‘€) + ๐‘) = ๐ธ๐น

Proof of Theorem decma2c
StepHypRef Expression
1 10nn0 12637 . . 3 10 โˆˆ โ„•0
2 decma.a . . 3 ๐ด โˆˆ โ„•0
3 decma.b . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
4 decma.c . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
5 decma.d . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
6 decma.m . . . 4 ๐‘€ = ๐ด๐ต
7 dfdec10 12622 . . . 4 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
86, 7eqtri 2765 . . 3 ๐‘€ = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
9 decma.n . . . 4 ๐‘ = ๐ถ๐ท
10 dfdec10 12622 . . . 4 ๐ถ๐ท = ((10 ยท ๐ถ) + ๐ท)
119, 10eqtri 2765 . . 3 ๐‘ = ((10 ยท ๐ถ) + ๐ท)
12 decma2c.p . . 3 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
13 decma2c.f . . 3 ๐น โˆˆ โ„•0
14 decma2c.g . . 3 ๐บ โˆˆ โ„•0
15 decma2c.e . . 3 ((๐‘ƒ ยท ๐ด) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
16 decma2c.2 . . . 4 ((๐‘ƒ ยท ๐ต) + ๐ท) = ๐บ๐น
17 dfdec10 12622 . . . 4 ๐บ๐น = ((10 ยท ๐บ) + ๐น)
1816, 17eqtri 2765 . . 3 ((๐‘ƒ ยท ๐ต) + ๐ท) = ((10 ยท ๐บ) + ๐น)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18numma2c 12665 . 2 ((๐‘ƒ ยท ๐‘€) + ๐‘) = ((10 ยท ๐ธ) + ๐น)
20 dfdec10 12622 . 2 ๐ธ๐น = ((10 ยท ๐ธ) + ๐น)
2119, 20eqtr4i 2768 1 ((๐‘ƒ ยท ๐‘€) + ๐‘) = ๐ธ๐น
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057  โ„•0cn0 12414  cdc 12619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-dec 12620
This theorem is referenced by:  2exp16  16964  43prm  16995  83prm  16996  139prm  16997  163prm  16998  317prm  16999  631prm  17000  1259lem1  17004  1259lem2  17005  1259lem3  17006  1259lem4  17007  1259lem5  17008  2503lem1  17010  2503lem2  17011  2503lem3  17012  2503prm  17013  4001lem1  17014  4001lem2  17015  4001lem3  17016  4001lem4  17017  4001prm  17018  log2ublem3  26301  log2ub  26302  3exp7  40513  3lexlogpow5ineq1  40514  3lexlogpow5ineq5  40520  aks4d1p1  40536  235t711  40808  fmtno4nprmfac193  45773  139prmALT  45795  127prm  45798  m11nprm  45800
  Copyright terms: Public domain W3C validator