MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmcn 30502
Description: Vector subtraction is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vmcn.c 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
vmcn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
vmcn.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
vmcn (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑀 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem vmcn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2728 . . 3 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 eqid 2728 . . 3 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 vmcn.m . . 3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
51, 2, 3, 4nvmfval 30447 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑀 = (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))))
6 vmcn.c . . . . 5 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
71, 6imsxmet 30495 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
8 vmcn.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
98mopntopon 24338 . . . 4 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
107, 9syl 17 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
1110, 10cnmpt1st 23565 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ π‘₯) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
12 eqid 2728 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1312cnfldtopon 24692 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1413a1i 11 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
15 neg1cn 12350 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
1615a1i 11 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ -1 ∈ β„‚)
1710, 10, 14, 16cnmpt2c 23567 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ -1) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
1810, 10cnmpt2nd 23566 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
196, 8, 3, 12smcn 30501 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2010, 10, 17, 18, 19cnmpt22f 23572 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
216, 8, 2vacn 30497 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2210, 10, 11, 20, 21cnmpt22f 23572 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
235, 22eqeltrd 2829 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑀 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  β„‚cc 11130  1c1 11133  -cneg 11469  TopOpenctopn 17396  βˆžMetcxmet 21257  MetOpencmopn 21262  β„‚fldccnfld 21272  TopOnctopon 22805   Cn ccn 23121   Γ—t ctx 23457  NrmCVeccnv 30387   +𝑣 cpv 30388  BaseSetcba 30389   ·𝑠OLD cns 30390   βˆ’π‘£ cnsb 30392  IndMetcims 30394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211  ax-mulf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-grpo 30296  df-gid 30297  df-ginv 30298  df-gdiv 30299  df-ablo 30348  df-vc 30362  df-nv 30395  df-va 30398  df-ba 30399  df-sm 30400  df-0v 30401  df-vs 30402  df-nmcv 30403  df-ims 30404
This theorem is referenced by:  hmopidmchi  31954
  Copyright terms: Public domain W3C validator