MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmcn 28126
Description: Vector subtraction is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vmcn.c 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
vmcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
vmcn.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
vmcn (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem vmcn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2778 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2778 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 vmcn.m . . 3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
51, 2, 3, 4nvmfval 28071 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
6 vmcn.c . . . . 5 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
71, 6imsxmet 28119 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
8 vmcn.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
98mopntopon 22652 . . . 4 (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
107, 9syl 17 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
1110, 10cnmpt1st 21880 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
12 eqid 2778 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1312cnfldtopon 22994 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
15 neg1cn 11496 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → -1 ∈ ℂ)
1710, 10, 14, 16cnmpt2c 21882 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ -1) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1810, 10cnmpt2nd 21881 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
196, 8, 3, 12smcn 28125 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2010, 10, 17, 18, 19cnmpt22f 21887 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
216, 8, 2vacn 28121 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2210, 10, 11, 20, 21cnmpt22f 21887 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
235, 22eqeltrd 2859 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  cc 10270  1c1 10273  -cneg 10607  TopOpenctopn 16468  ∞Metcxmet 20127  MetOpencmopn 20132  fldccnfld 20142  TopOnctopon 21122   Cn ccn 21436   ×t ctx 21772  NrmCVeccnv 28011   +𝑣 cpv 28012  BaseSetcba 28013   ·𝑠OLD cns 28014  𝑣 cnsb 28016  IndMetcims 28018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028
This theorem is referenced by:  hmopidmchi  29582
  Copyright terms: Public domain W3C validator