MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmcn 28485
Description: Vector subtraction is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vmcn.c 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
vmcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
vmcn.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
vmcn (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem vmcn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2824 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2824 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 vmcn.m . . 3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
51, 2, 3, 4nvmfval 28430 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
6 vmcn.c . . . . 5 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
71, 6imsxmet 28478 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
8 vmcn.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
98mopntopon 23049 . . . 4 (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
107, 9syl 17 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
1110, 10cnmpt1st 22276 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
12 eqid 2824 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1312cnfldtopon 23391 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
15 neg1cn 11748 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → -1 ∈ ℂ)
1710, 10, 14, 16cnmpt2c 22278 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ -1) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1810, 10cnmpt2nd 22277 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
196, 8, 3, 12smcn 28484 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2010, 10, 17, 18, 19cnmpt22f 22283 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
216, 8, 2vacn 28480 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2210, 10, 11, 20, 21cnmpt22f 22283 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
235, 22eqeltrd 2916 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  (class class class)co 7149  cmpo 7151  cc 10533  1c1 10536  -cneg 10869  TopOpenctopn 16695  ∞Metcxmet 20530  MetOpencmopn 20535  fldccnfld 20545  TopOnctopon 21518   Cn ccn 21832   ×t ctx 22168  NrmCVeccnv 28370   +𝑣 cpv 28371  BaseSetcba 28372   ·𝑠OLD cns 28373  𝑣 cnsb 28375  IndMetcims 28377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ims 28387
This theorem is referenced by:  hmopidmchi  29937
  Copyright terms: Public domain W3C validator