Theorem vmcn 31307

Description: Vector subtraction is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vmcn.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
vmcn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
vmcn.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
vmcn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem vmcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		vmcn.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	nvmfval 31252	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))))
6		vmcn.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
7	1, 6	imsxmet 31300	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
8		vmcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
9	8	mopntopon 24764	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
10	7, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
11	10, 10	cnmpt1st 23993	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
12		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13	12	cnfldtopon 25107	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
15		neg1cn 12309	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → -1 ∈ ℂ)
17	10, 10, 14, 16	cnmpt2c 23995	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ -1) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18	10, 10	cnmpt2nd 23994	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
19	6, 8, 3, 12	smcn 31306	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
20	10, 10, 17, 18, 19	cnmpt22f 24000	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
21	6, 8, 2	vacn 31302	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
22	10, 10, 11, 20, 21	cnmpt22f 24000	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
23	5, 22	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  ℂcc 11202  1c1 11205   -cneg 11546  TopOpenctopn 17598  ∞Metcxmet 21669  MetOpencmopn 21674  ℂ_fldccnfld 21684  TopOnctopon 23234   Cn ccn 23548   ×_t ctx 23885  NrmCVeccnv 31192   +_𝑣 cpv 31193  BaseSetcba 31194   ·_𝑠OLD cns 31195   −_𝑣 cnsb 31197  IndMetcims 31199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283  ax-mulf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-grpo 31101  df-gid 31102  df-ginv 31103  df-gdiv 31104  df-ablo 31153  df-vc 31167  df-nv 31200  df-va 31203  df-ba 31204  df-sm 31205  df-0v 31206  df-vs 31207  df-nmcv 31208  df-ims 31209

This theorem is used by:  hmopidmchi  32759