Theorem chj0 31412

Description: Join with Hilbert lattice zero. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chj0	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 0ℋ) = 𝐴)

Proof of Theorem chj0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7407	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 0ℋ) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∨ℋ 0ℋ))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))
3	1, 2	eqeq12d 2750	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ∨ℋ 0ℋ) = 𝐴 ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∨ℋ 0ℋ) = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)))
4		h0elch 31170	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
5	4	elimel 4568	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
6	5	chj0i 31370	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∨ℋ 0ℋ) = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)
7	3, 6	dedth 4557	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 0ℋ) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ifcif 4498  (class class class)co 7400   C_ℋ cch 30844   ∨_ℋ chj 30848  0_ℋc0h 30850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-inf2 9648  ax-cc 10442  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199  ax-pre-sup 11200  ax-addf 11201  ax-mulf 11202  ax-hilex 30914  ax-hfvadd 30915  ax-hvcom 30916  ax-hvass 30917  ax-hv0cl 30918  ax-hvaddid 30919  ax-hfvmul 30920  ax-hvmulid 30921  ax-hvmulass 30922  ax-hvdistr1 30923  ax-hvdistr2 30924  ax-hvmul0 30925  ax-hfi 30994  ax-his1 30997  ax-his2 30998  ax-his3 30999  ax-his4 31000  ax-hcompl 31117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-iin 4968  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-2o 8476  df-oadd 8479  df-omul 8480  df-er 8714  df-map 8837  df-pm 8838  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-fi 9418  df-sup 9449  df-inf 9450  df-oi 9517  df-card 9946  df-acn 9949  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11888  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-n0 12495  df-z 12582  df-uz 12846  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13121  df-xadd 13122  df-xmul 13123  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fl 13799  df-seq 14010  df-exp 14070  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-clim 15493  df-rlim 15494  df-rest 17423  df-topgen 17444  df-psmet 21294  df-xmet 21295  df-met 21296  df-bl 21297  df-mopn 21298  df-fbas 21299  df-fg 21300  df-top 22819  df-topon 22836  df-bases 22871  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-nei 23023  df-lm 23154  df-haus 23240  df-fil 23771  df-fm 23863  df-flim 23864  df-flf 23865  df-cfil 25194  df-cau 25195  df-cmet 25196  df-grpo 30408  df-gid 30409  df-ginv 30410  df-gdiv 30411  df-ablo 30460  df-vc 30474  df-nv 30507  df-va 30510  df-ba 30511  df-sm 30512  df-0v 30513  df-vs 30514  df-nmcv 30515  df-ims 30516  df-ssp 30637  df-ph 30728  df-cbn 30778  df-hnorm 30883  df-hba 30884  df-hvsub 30886  df-hlim 30887  df-hcau 30888  df-sh 31122  df-ch 31136  df-oc 31167  df-ch0 31168  df-chj 31225

This theorem is referenced by:  mdsl0  32225  atordi  32299  chirredlem2  32306  chirredlem3  32307