Theorem djh01 42288

Description: Closed subspace join with zero. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djh01.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djh01.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
djh01.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djh01.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
djh01	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = 𝑋)

Proof of Theorem djh01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
2		djh01.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		djh01.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		djh01.j	. . 3 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
5		djh01.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		djh01.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
7		djh01.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		djh01.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9	2, 3, 7, 8	dih0rn 42160	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran 𝐼)
10	5, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ ran 𝐼)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	djhjlj 42279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 }))))
12		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	2, 12, 3, 7, 8	dih0cnv 42159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡𝐼‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
14	5, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
15	14	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 })) = ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)))
16	5	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
17		hlol 40237	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OL)
19		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 2, 3	dihcnvcl 42147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
21	5, 6, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
22	19, 1, 12	olj01 40101	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = (◡𝐼‘𝑋))
23	18, 21, 22	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = (◡𝐼‘𝑋))
24	15, 23	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 })) = (◡𝐼‘𝑋))
25	24	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 }))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
26	2, 3	dihcnvid2 42149	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
27	5, 6, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
28	11, 25, 27	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ^◡ccnv 5654  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  0_gc0g 17527  joincjn 18402  0.cp0 18512  OLcol 40050  HLchlt 40226  LHypclh 40860  DVecHcdvh 41954  DIsoHcdih 42104  joinHcdjh 42270

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-riotaBAD 39829

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-0g 17529  df-proset 18385  df-poset 18404  df-plt 18419  df-lub 18435  df-glb 18436  df-join 18437  df-meet 18438  df-p0 18514  df-p1 18515  df-lat 18523  df-clat 18590  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-cntz 19447  df-lsm 19766  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-drng 20895  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-lvec 21290  df-lsatoms 39852  df-oposet 40052  df-ol 40054  df-oml 40055  df-covers 40142  df-ats 40143  df-atl 40174  df-cvlat 40198  df-hlat 40227  df-llines 40374  df-lplanes 40375  df-lvols 40376  df-lines 40377  df-psubsp 40379  df-pmap 40380  df-padd 40672  df-lhyp 40864  df-laut 40865  df-ldil 40980  df-ltrn 40981  df-trl 41035  df-tendo 41631  df-edring 41633  df-disoa 41905  df-dvech 41955  df-dib 42015  df-dic 42049  df-dih 42105  df-doch 42224  df-djh 42271

This theorem is used by:  djh02  42289  dihjat1  42305