Theorem djh01 40586

Description: Closed subspace join with zero. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djh01.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djh01.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
djh01.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djh01.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
djh01	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = 𝑋)

Proof of Theorem djh01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
2		djh01.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		djh01.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		djh01.j	. . 3 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
5		djh01.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		djh01.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
7		djh01.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		djh01.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9	2, 3, 7, 8	dih0rn 40458	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran 𝐼)
10	5, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ ran 𝐼)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	djhjlj 40577	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 }))))
12		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	2, 12, 3, 7, 8	dih0cnv 40457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡𝐼‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
14	5, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
15	14	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 })) = ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)))
16	5	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
17		hlol 38534	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OL)
19		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 2, 3	dihcnvcl 40445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
21	5, 6, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
22	19, 1, 12	olj01 38398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = (◡𝐼‘𝑋))
23	18, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = (◡𝐼‘𝑋))
24	15, 23	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 })) = (◡𝐼‘𝑋))
25	24	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 }))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
26	2, 3	dihcnvid2 40447	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
27	5, 6, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
28	11, 25, 27	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4628  ^◡ccnv 5675  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  0_gc0g 17389  joincjn 18268  0.cp0 18380  OLcol 38347  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  DIsoHcdih 40402  joinHcdjh 40568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569

This theorem is referenced by:  djh02  40587  dihjat1  40603