Theorem djh01 38550

Description: Closed subspace join with zero. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djh01.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djh01.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
djh01.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djh01.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
djh01	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = 𝑋)

Proof of Theorem djh01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
2		djh01.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		djh01.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		djh01.j	. . 3 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
5		djh01.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		djh01.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
7		djh01.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		djh01.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9	2, 3, 7, 8	dih0rn 38422	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran 𝐼)
10	5, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ ran 𝐼)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	djhjlj 38541	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 }))))
12		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	2, 12, 3, 7, 8	dih0cnv 38421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡𝐼‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
14	5, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
15	14	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 })) = ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)))
16	5	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
17		hlol 36499	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OL)
19		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 2, 3	dihcnvcl 38409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
21	5, 6, 20	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
22	19, 1, 12	olj01 36363	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = (◡𝐼‘𝑋))
23	18, 21, 22	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = (◡𝐼‘𝑋))
24	15, 23	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 })) = (◡𝐼‘𝑋))
25	24	fveq2d 6676	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 }))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
26	2, 3	dihcnvid2 38411	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
27	5, 6, 26	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
28	11, 25, 27	3eqtrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {csn 4569  ^◡ccnv 5556  ran crn 5558  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  0_gc0g 16715  joincjn 17556  0.cp0 17649  OLcol 36312  HLchlt 36488  LHypclh 37122  DVecHcdvh 38216  DIsoHcdih 38366  joinHcdjh 38532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-undef 7941  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877  df-lsatoms 36114  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638  df-lines 36639  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126  df-laut 37127  df-ldil 37242  df-ltrn 37243  df-trl 37297  df-tendo 37893  df-edring 37895  df-disoa 38167  df-dvech 38217  df-dib 38277  df-dic 38311  df-dih 38367  df-doch 38486  df-djh 38533

This theorem is referenced by:  djh02  38551  dihjat1  38567