Theorem djh01 41399

Description: Closed subspace join with zero. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djh01.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djh01.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
djh01.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djh01.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
djh01	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = 𝑋)

Proof of Theorem djh01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
2		djh01.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		djh01.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		djh01.j	. . 3 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
5		djh01.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		djh01.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
7		djh01.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		djh01.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9	2, 3, 7, 8	dih0rn 41271	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran 𝐼)
10	5, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ ran 𝐼)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	djhjlj 41390	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 }))))
12		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	2, 12, 3, 7, 8	dih0cnv 41270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡𝐼‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
14	5, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
15	14	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 })) = ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)))
16	5	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
17		hlol 39347	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OL)
19		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 2, 3	dihcnvcl 41258	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
21	5, 6, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
22	19, 1, 12	olj01 39211	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = (◡𝐼‘𝑋))
23	18, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = (◡𝐼‘𝑋))
24	15, 23	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 })) = (◡𝐼‘𝑋))
25	24	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 }))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
26	2, 3	dihcnvid2 41260	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
27	5, 6, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
28	11, 25, 27	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  0_gc0g 17378  joincjn 18252  0.cp0 18362  OLcol 39160  HLchlt 39336  LHypclh 39971  DVecHcdvh 41065  DIsoHcdih 41215  joinHcdjh 41381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-riotaBAD 38939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-undef 8229  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17380  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-drng 20651  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lvec 21042  df-lsatoms 38962  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-llines 39485  df-lplanes 39486  df-lvols 39487  df-lines 39488  df-psubsp 39490  df-pmap 39491  df-padd 39783  df-lhyp 39975  df-laut 39976  df-ldil 40091  df-ltrn 40092  df-trl 40146  df-tendo 40742  df-edring 40744  df-disoa 41016  df-dvech 41066  df-dib 41126  df-dic 41160  df-dih 41216  df-doch 41335  df-djh 41382

This theorem is referenced by:  djh02  41400  dihjat1  41416