Theorem djh01 38022

Description: Closed subspace join with zero. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djh01.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djh01.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
djh01.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djh01.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djh01.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
djh01	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = 𝑋)

Proof of Theorem djh01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2772	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
2		djh01.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		djh01.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		djh01.j	. . 3 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
5		djh01.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		djh01.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
7		djh01.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		djh01.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9	2, 3, 7, 8	dih0rn 37894	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran 𝐼)
10	5, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ ran 𝐼)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	djhjlj 38013	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 }))))
12		eqid 2772	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	2, 12, 3, 7, 8	dih0cnv 37893	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡𝐼‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
14	5, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
15	14	oveq2d 6990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 })) = ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)))
16	5	simpld 487	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
17		hlol 35971	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OL)
19		eqid 2772	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 2, 3	dihcnvcl 37881	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
21	5, 6, 20	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
22	19, 1, 12	olj01 35835	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = (◡𝐼‘𝑋))
23	18, 21, 22	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = (◡𝐼‘𝑋))
24	15, 23	eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 })) = (◡𝐼‘𝑋))
25	24	fveq2d 6500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(join‘𝐾)(◡𝐼‘{ 0 }))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
26	2, 3	dihcnvid2 37883	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
27	5, 6, 26	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
28	11, 25, 27	3eqtrd 2812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ { 0 }) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {csn 4435  ^◡ccnv 5402  ran crn 5404  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  0_gc0g 16567  joincjn 17424  0.cp0 17517  OLcol 35784  HLchlt 35960  LHypclh 36594  DVecHcdvh 37688  DIsoHcdih 37838  joinHcdjh 38004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-riotaBAD 35563

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-tpos 7693  df-undef 7740  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-0g 16569  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-clat 17588  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-cntz 18230  df-lsm 18534  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-dvr 19168  df-drng 19239  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lsp 19478  df-lvec 19609  df-lsatoms 35586  df-oposet 35786  df-ol 35788  df-oml 35789  df-covers 35876  df-ats 35877  df-atl 35908  df-cvlat 35932  df-hlat 35961  df-llines 36108  df-lplanes 36109  df-lvols 36110  df-lines 36111  df-psubsp 36113  df-pmap 36114  df-padd 36406  df-lhyp 36598  df-laut 36599  df-ldil 36714  df-ltrn 36715  df-trl 36769  df-tendo 37365  df-edring 37367  df-disoa 37639  df-dvech 37689  df-dib 37749  df-dic 37783  df-dih 37839  df-doch 37958  df-djh 38005

This theorem is referenced by:  djh02  38023  dihjat1  38039