Theorem oppgid 18098

Description: Zero in a monoid is a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgid.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppgid	⊢ 0 = (0g‘𝑂)

Proof of Theorem oppgid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 453	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
2		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		oppgbas.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
4		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
5	2, 3, 4	oppgplus 18091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑥)
6	5	eqeq1i 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)
7	2, 3, 4	oppgplus 18091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
8	7	eqeq1i 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
9	6, 8	anbi12i 621	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
10	1, 9	bitr4i 270	. . . . 5 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦))
11	10	ralbii 3161	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦))
12	11	anbi2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
13	12	iotabii 6086	. 2 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦))) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
14		eqid 2799	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		oppgid.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	14, 2, 15	grpidval 17575	. 2 ⊢ 0 = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
17	3, 14	oppgbas 18093	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
18		eqid 2799	. . 3 ⊢ (0g‘𝑂) = (0g‘𝑂)
19	17, 4, 18	grpidval 17575	. 2 ⊢ (0g‘𝑂) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
20	13, 16, 19	3eqtr4i 2831	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑂)

Syntax hints:   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  ℩cio 6062  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  +_gcplusg 16267  0_gc0g 16415  opp_gcoppg 18087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-oppg 18088

This theorem is referenced by:  oppggrp  18099  oppginv  18101  oppgsubm  18104  gsumwrev  18108  lsmdisj2r  18411  gsumzoppg  18659  tgpconncomp  22244