Theorem oppgid 19266

Description: Zero in a monoid is a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgid.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppgid	⊢ 0 = (0g‘𝑂)

Proof of Theorem oppgid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
2		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		oppgbas.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
4		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
5	2, 3, 4	oppgplus 19256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑥)
6	5	eqeq1i 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)
7	2, 3, 4	oppgplus 19256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
8	7	eqeq1i 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
9	6, 8	anbi12i 625	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
10	1, 9	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦))
11	10	ralbii 3091	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦))
12	11	anbi2i 621	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
13	12	iotabii 6529	. 2 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦))) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
14		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		oppgid.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	14, 2, 15	grpidval 18588	. 2 ⊢ 0 = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
17	3, 14	oppgbas 19259	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
18		eqid 2730	. . 3 ⊢ (0g‘𝑂) = (0g‘𝑂)
19	17, 4, 18	grpidval 18588	. 2 ⊢ (0g‘𝑂) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
20	13, 16, 19	3eqtr4i 2768	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑂)

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ℩cio 6494  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203  0_gc0g 17391  opp_gcoppg 19252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-oppg 19253

This theorem is referenced by:  oppggrp  19267  oppginv  19269  oppgsubm  19272  gsumwrev  19276  lsmdisj2r  19596  gsumzoppg  19855  tgpconncomp  23839