MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgid 18476
Description: Zero in a monoid is a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
oppgid.2 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppgid 0 = (0g𝑂)

Proof of Theorem oppgid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 464 . . . . . 6 (((𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦))
2 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 oppgbas.1 . . . . . . . . 9 𝑂 = (oppg𝑅)
4 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (+g𝑂) = (+g𝑂)
52, 3, 4oppgplus 18469 . . . . . . . 8 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑅)𝑥)
65eqeq1i 2803 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦)
72, 3, 4oppgplus 18469 . . . . . . . 8 (𝑦(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)𝑦)
87eqeq1i 2803 . . . . . . 7 ((𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦)
96, 8anbi12i 629 . . . . . 6 (((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦))
101, 9bitr4i 281 . . . . 5 (((𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦))
1110ralbii 3133 . . . 4 (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦))
1211anbi2i 625 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦)))
1312iotabii 6309 . 2 (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦))) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦)))
14 eqid 2798 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15 oppgid.2 . . 3 0 = (0g𝑅)
1614, 2, 15grpidval 17863 . 2 0 = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦)))
173, 14oppgbas 18471 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
18 eqid 2798 . . 3 (0g𝑂) = (0g𝑂)
1917, 4, 18grpidval 17863 . 2 (0g𝑂) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦)))
2013, 16, 193eqtr4i 2831 1 0 = (0g𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  cio 6281  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  oppgcoppg 18465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-oppg 18466
This theorem is referenced by:  oppggrp  18477  oppginv  18479  oppgsubm  18482  gsumwrev  18486  lsmdisj2r  18803  gsumzoppg  19057  tgpconncomp  22718
  Copyright terms: Public domain W3C validator