Theorem oppgid 19432

Description: Zero in a monoid is a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgid.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppgid	⊢ 0 = (0g‘𝑂)

Proof of Theorem oppgid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
2		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		oppgbas.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
4		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
5	2, 3, 4	oppgplus 19425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑥)
6	5	eqeq1i 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)
7	2, 3, 4	oppgplus 19425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
8	7	eqeq1i 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
9	6, 8	anbi12i 639	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
10	1, 9	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦))
11	10	ralbii 3110	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦))
12	11	anbi2i 634	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
13	12	iotabii 6521	. 2 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦))) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
14		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		oppgid.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	14, 2, 15	grpidval 18725	. 2 ⊢ 0 = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
17	3, 14	oppgbas 19427	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
18		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑂) = (0g‘𝑂)
19	17, 4, 18	grpidval 18725	. 2 ⊢ (0g‘𝑂) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
20	13, 16, 19	3eqtr4i 2795	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ℩cio 6490  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  0_gc0g 17498  opp_gcoppg 19421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-oppg 19422

This theorem is used by:  oppggrp  19433  oppginv  19435  oppgsubm  19438  gsumwrev  19442  lsmdisj2r  19761  gsumzoppg  20020  tgpconncomp  24281  oppgoppcid  50398