Theorem oppgid 19326

Description: Zero in a monoid is a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgid.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppgid	⊢ 0 = (0g‘𝑂)

Proof of Theorem oppgid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
2		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		oppgbas.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
5	2, 3, 4	oppgplus 19319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑥)
6	5	eqeq1i 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)
7	2, 3, 4	oppgplus 19319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
8	7	eqeq1i 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
9	6, 8	anbi12i 629	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
10	1, 9	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦))
11	10	ralbii 3084	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦))
12	11	anbi2i 624	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
13	12	iotabii 6479	. 2 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦))) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		oppgid.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	14, 2, 15	grpidval 18624	. 2 ⊢ 0 = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
17	3, 14	oppgbas 19321	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑂) = (0g‘𝑂)
19	17, 4, 18	grpidval 18624	. 2 ⊢ (0g‘𝑂) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
20	13, 16, 19	3eqtr4i 2770	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑂)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ℩cio 6448  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  0_gc0g 17397  opp_gcoppg 19315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-oppg 19316

This theorem is referenced by:  oppggrp  19327  oppginv  19329  oppgsubm  19332  gsumwrev  19336  lsmdisj2r  19655  gsumzoppg  19914  tgpconncomp  24092  oppgoppcid  50083