Theorem oppggrpb 18486

Description: Bidirectional form of oppggrp 18485. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppggrpb	⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)

Proof of Theorem oppggrpb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
2	1	oppggrp 18485	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (oppg‘𝑂) = (oppg‘𝑂)
4	3	oppggrp 18485	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → (oppg‘𝑂) ∈ Grp)
5		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	1, 5	oppgbas 18479	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
7	3, 6	oppgbas 18479	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg‘𝑂))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg‘𝑂)))
9		eqidd 2822	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
10		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
11		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(oppg‘𝑂)) = (+g‘(oppg‘𝑂))
12	10, 3, 11	oppgplus 18477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(+g‘(oppg‘𝑂))𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥)
13		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	13, 1, 10	oppgplus 18477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
15	12, 14	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘(oppg‘𝑂))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘(oppg‘𝑂))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
17	8, 9, 16	grppropd 18118	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((oppg‘𝑂) ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp))
18	17	mptru 1544	. . 3 ⊢ ((oppg‘𝑂) ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)
19	4, 18	sylib 220	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Grp)
20	2, 19	impbii 211	1 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  Grpcgrp 18103  opp_gcoppg 18473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-oppg 18474

This theorem is referenced by:  oppgsubg  18491  ogrpaddltrbid  30721