Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppggrpb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppggrpb 18477
 Description: Bidirectional form of oppggrp 18476. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppggrpb (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)

Proof of Theorem oppggrpb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppgbas.1 . . 3 𝑂 = (oppg𝑅)
21oppggrp 18476 . 2 (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
3 eqid 2822 . . . 4 (oppg𝑂) = (oppg𝑂)
43oppggrp 18476 . . 3 (𝑂 ∈ Grp → (oppg𝑂) ∈ Grp)
5 eqid 2822 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
61, 5oppgbas 18470 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
73, 6oppgbas 18470 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg𝑂))
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg𝑂)))
9 eqidd 2823 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
10 eqid 2822 . . . . . . . 8 (+g𝑂) = (+g𝑂)
11 eqid 2822 . . . . . . . 8 (+g‘(oppg𝑂)) = (+g‘(oppg𝑂))
1210, 3, 11oppgplus 18468 . . . . . . 7 (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥)
13 eqid 2822 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1413, 1, 10oppgplus 18468 . . . . . . 7 (𝑦(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)𝑦)
1512, 14eqtri 2845 . . . . . 6 (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦)
1615a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
178, 9, 16grppropd 18109 . . . 4 (⊤ → ((oppg𝑂) ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp))
1817mptru 1545 . . 3 ((oppg𝑂) ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)
194, 18sylib 221 . 2 (𝑂 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Grp)
202, 19impbii 212 1 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Grpcgrp 18094  oppgcoppg 18464 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-oppg 18465 This theorem is referenced by:  oppgsubg  18482  ogrpaddltrbid  30752
 Copyright terms: Public domain W3C validator