MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppggrpb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppggrpb 19326
Description: Bidirectional form of oppggrp 19325. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppggrpb (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)

Proof of Theorem oppggrpb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppgbas.1 . . 3 𝑂 = (oppg𝑅)
21oppggrp 19325 . 2 (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
3 eqid 2728 . . . 4 (oppg𝑂) = (oppg𝑂)
43oppggrp 19325 . . 3 (𝑂 ∈ Grp → (oppg𝑂) ∈ Grp)
5 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
61, 5oppgbas 19317 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
73, 6oppgbas 19317 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg𝑂))
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg𝑂)))
9 eqidd 2729 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
10 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+g𝑂) = (+g𝑂)
11 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+g‘(oppg𝑂)) = (+g‘(oppg𝑂))
1210, 3, 11oppgplus 19314 . . . . . . 7 (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥)
13 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1413, 1, 10oppgplus 19314 . . . . . . 7 (𝑦(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)𝑦)
1512, 14eqtri 2756 . . . . . 6 (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦)
1615a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
178, 9, 16grppropd 18922 . . . 4 (⊤ → ((oppg𝑂) ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp))
1817mptru 1540 . . 3 ((oppg𝑂) ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)
194, 18sylib 217 . 2 (𝑂 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Grp)
202, 19impbii 208 1 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  Grpcgrp 18904  oppgcoppg 19310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-oppg 19311
This theorem is referenced by:  oppgsubg  19331  ogrpaddltrbid  32829
  Copyright terms: Public domain W3C validator