Theorem oppggrpb 19274

Description: Bidirectional form of oppggrp 19273. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppggrpb	⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)

Proof of Theorem oppggrpb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
2	1	oppggrp 19273	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (oppg‘𝑂) = (oppg‘𝑂)
4	3	oppggrp 19273	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → (oppg‘𝑂) ∈ Grp)
5		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	1, 5	oppgbas 19267	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
7	3, 6	oppgbas 19267	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg‘𝑂))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg‘𝑂)))
9		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
10		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
11		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(oppg‘𝑂)) = (+g‘(oppg‘𝑂))
12	10, 3, 11	oppgplus 19265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(+g‘(oppg‘𝑂))𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥)
13		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	13, 1, 10	oppgplus 19265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
15	12, 14	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘(oppg‘𝑂))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘(oppg‘𝑂))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
17	8, 9, 16	grppropd 18867	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((oppg‘𝑂) ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp))
18	17	mptru 1547	. . 3 ⊢ ((oppg‘𝑂) ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)
19	4, 18	sylib 218	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Grp)
20	2, 19	impbii 209	1 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370  Basecbs 17157  +_gcplusg 17198  Grpcgrp 18849  opp_gcoppg 19261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-2nd 7949  df-tpos 8183  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-er 8649  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-2 12228  df-sets 17112  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-base 17158  df-plusg 17211  df-0g 17382  df-mgm 18551  df-sgrp 18630  df-mnd 18646  df-grp 18852  df-minusg 18853  df-oppg 19262

This theorem is referenced by:  oppgsubg  19279  ogrpaddltrbid  20057