Theorem oppgmndb 18485

Description: Bidirectional form of oppgmnd 18484. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppgmndb	⊢ (𝑅 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)

Proof of Theorem oppgmndb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
2	1	oppgmnd 18484	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
3		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (oppg‘𝑂) = (oppg‘𝑂)
4	3	oppgmnd 18484	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Mnd → (oppg‘𝑂) ∈ Mnd)
5		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	1, 5	oppgbas 18481	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
7	3, 6	oppgbas 18481	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg‘𝑂))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg‘𝑂)))
9		eqidd 2824	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
10		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
11		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(oppg‘𝑂)) = (+g‘(oppg‘𝑂))
12	10, 3, 11	oppgplus 18479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(+g‘(oppg‘𝑂))𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥)
13		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	13, 1, 10	oppgplus 18479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
15	12, 14	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘(oppg‘𝑂))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘(oppg‘𝑂))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
17	8, 9, 16	mndpropd 17938	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((oppg‘𝑂) ∈ Mnd ↔ 𝑅 ∈ Mnd))
18	17	mptru 1544	. . 3 ⊢ ((oppg‘𝑂) ∈ Mnd ↔ 𝑅 ∈ Mnd)
19	4, 18	sylib 220	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ Mnd)
20	2, 19	impbii 211	1 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  Mndcmnd 17913  opp_gcoppg 18475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-oppg 18476

This theorem is referenced by:  oppgsubm  18492