Theorem oppgmndb 19264

Description: Bidirectional form of oppgmnd 19263. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppgmndb	⊢ (𝑅 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)

Proof of Theorem oppgmndb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
2	1	oppgmnd 19263	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (oppg‘𝑂) = (oppg‘𝑂)
4	3	oppgmnd 19263	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Mnd → (oppg‘𝑂) ∈ Mnd)
5		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	1, 5	oppgbas 19258	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
7	3, 6	oppgbas 19258	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg‘𝑂))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg‘𝑂)))
9		eqidd 2732	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
10		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
11		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(oppg‘𝑂)) = (+g‘(oppg‘𝑂))
12	10, 3, 11	oppgplus 19255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(+g‘(oppg‘𝑂))𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥)
13		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	13, 1, 10	oppgplus 19255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
15	12, 14	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘(oppg‘𝑂))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘(oppg‘𝑂))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
17	8, 9, 16	mndpropd 18685	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((oppg‘𝑂) ∈ Mnd ↔ 𝑅 ∈ Mnd))
18	17	mptru 1547	. . 3 ⊢ ((oppg‘𝑂) ∈ Mnd ↔ 𝑅 ∈ Mnd)
19	4, 18	sylib 217	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ Mnd)
20	2, 19	impbii 208	1 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  Mndcmnd 18660  opp_gcoppg 19251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-oppg 19252

This theorem is referenced by:  oppgsubm  19271