Theorem lsmsnorb2 33339

Description: The sumset of a single element with a group is the element's orbit by the group action. See gaorb 19204. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnorb2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmsnorb2.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
lsmsnorb2.3	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmsnorb2.4	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
lsmsnorb2.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
lsmsnorb2.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
lsmsnorb2.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnorb2	⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = [𝑋] ∼ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑔,𝐺,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔)   𝐵(𝑔)   + (𝑥,𝑦,𝑔)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑔)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑔)

Proof of Theorem lsmsnorb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
2		lsmsnorb2.3	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3	1, 2	oppglsm 19539	. 2 ⊢ (𝐴(LSSum‘(oppg‘𝐺)){𝑋}) = ({𝑋} ⊕ 𝐴)
4		lsmsnorb2.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	1, 4	oppgbas 19248	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (LSSum‘(oppg‘𝐺)) = (LSSum‘(oppg‘𝐺))
8		lsmsnorb2.4	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
9		lsmsnorb2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10	9, 1, 6	oppgplus 19246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = (𝑥 + 𝑔)
11	10	eqeq1i 2734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
12	11	rexbii 3076	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
13	12	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦))
14	13	opabbii 5162	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
15	8, 14	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦)}
16		lsmsnorb2.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
17	1	oppgmnd 19251	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
19		lsmsnorb2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
20		lsmsnorb2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	5, 6, 7, 15, 18, 19, 20	lsmsnorb 33338	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(LSSum‘(oppg‘𝐺)){𝑋}) = [𝑋] ∼ )
22	3, 21	eqtr3id 2778	1 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = [𝑋] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905  {csn 4579  {cpr 4581  {copab 5157  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  [cec 8630  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  Mndcmnd 18626  opp_gcoppg 19242  LSSumclsm 19531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-ec 8634  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-oppg 19243  df-lsm 19533

This theorem is referenced by:  quslsm  33352