Theorem lsmsnorb2 33477

Description: The sumset of a single element with a group is the element's orbit by the group action. See gaorb 19276. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnorb2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmsnorb2.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
lsmsnorb2.3	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmsnorb2.4	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
lsmsnorb2.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
lsmsnorb2.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
lsmsnorb2.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnorb2	⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = [𝑋] ∼ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑔,𝐺,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔)   𝐵(𝑔)   + (𝑥,𝑦,𝑔)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑔)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑔)

Proof of Theorem lsmsnorb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . 3 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
2		lsmsnorb2.3	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3	1, 2	oppglsm 19611	. 2 ⊢ (𝐴(LSSum‘(oppg‘𝐺)){𝑋}) = ({𝑋} ⊕ 𝐴)
4		lsmsnorb2.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	1, 4	oppgbas 19320	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
6		eqid 2741	. . 3 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
7		eqid 2741	. . 3 ⊢ (LSSum‘(oppg‘𝐺)) = (LSSum‘(oppg‘𝐺))
8		lsmsnorb2.4	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
9		lsmsnorb2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10	9, 1, 6	oppgplus 19318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = (𝑥 + 𝑔)
11	10	eqeq1i 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
12	11	rexbii 3088	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
13	12	anbi2i 630	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦))
14	13	opabbii 5141	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
15	8, 14	eqtr4i 2767	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦)}
16		lsmsnorb2.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
17	1	oppgmnd 19323	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
19		lsmsnorb2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
20		lsmsnorb2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	5, 6, 7, 15, 18, 19, 20	lsmsnorb 33476	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(LSSum‘(oppg‘𝐺)){𝑋}) = [𝑋] ∼ )
22	3, 21	eqtr3id 2790	1 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = [𝑋] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3884  {csn 4557  {cpr 4559  {copab 5136  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  [cec 8635  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  Mndcmnd 18697  opp_gcoppg 19314  LSSumclsm 19603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-ec 8639  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-oppg 19315  df-lsm 19605

This theorem is referenced by:  quslsm  33490