Theorem lsmsnorb2 33473

Description: The sumset of a single element with a group is the element's orbit by the group action. See gaorb 19236. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnorb2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmsnorb2.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
lsmsnorb2.3	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmsnorb2.4	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
lsmsnorb2.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
lsmsnorb2.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
lsmsnorb2.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnorb2	⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = [𝑋] ∼ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑔,𝐺,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔)   𝐵(𝑔)   + (𝑥,𝑦,𝑔)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑔)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑔)

Proof of Theorem lsmsnorb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
2		lsmsnorb2.3	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3	1, 2	oppglsm 19571	. 2 ⊢ (𝐴(LSSum‘(oppg‘𝐺)){𝑋}) = ({𝑋} ⊕ 𝐴)
4		lsmsnorb2.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	1, 4	oppgbas 19280	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSSum‘(oppg‘𝐺)) = (LSSum‘(oppg‘𝐺))
8		lsmsnorb2.4	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
9		lsmsnorb2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10	9, 1, 6	oppgplus 19278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = (𝑥 + 𝑔)
11	10	eqeq1i 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
12	11	rexbii 3083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
13	12	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦))
14	13	opabbii 5165	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
15	8, 14	eqtr4i 2762	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦)}
16		lsmsnorb2.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
17	1	oppgmnd 19283	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
19		lsmsnorb2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
20		lsmsnorb2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	5, 6, 7, 15, 18, 19, 20	lsmsnorb 33472	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(LSSum‘(oppg‘𝐺)){𝑋}) = [𝑋] ∼ )
22	3, 21	eqtr3id 2785	1 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = [𝑋] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  {csn 4580  {cpr 4582  {copab 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  [cec 8633  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Mndcmnd 18659  opp_gcoppg 19274  LSSumclsm 19563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-ec 8637  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-oppg 19275  df-lsm 19565

This theorem is referenced by:  quslsm  33486