Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmsnorb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsnorb2 33407
Description: The sumset of a single element with a group is the element's orbit by the group action. See gaorb 19321. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsnorb2.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmsnorb2.2 + = (+g𝐺)
lsmsnorb2.3 = (LSSum‘𝐺)
lsmsnorb2.4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
lsmsnorb2.5 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
lsmsnorb2.6 (𝜑𝐴𝐵)
lsmsnorb2.7 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
lsmsnorb2 (𝜑 → ({𝑋} 𝐴) = [𝑋] )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑔,𝐺,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔)   𝐵(𝑔)   + (𝑥,𝑦,𝑔)   (𝑥,𝑦,𝑔)   (𝑥,𝑦,𝑔)

Proof of Theorem lsmsnorb2
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
2 lsmsnorb2.3 . . 3 = (LSSum‘𝐺)
31, 2oppglsm 19656 . 2 (𝐴(LSSum‘(oppg𝐺)){𝑋}) = ({𝑋} 𝐴)
4 lsmsnorb2.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
51, 4oppgbas 19366 . . 3 𝐵 = (Base‘(oppg𝐺))
6 eqid 2736 . . 3 (+g‘(oppg𝐺)) = (+g‘(oppg𝐺))
7 eqid 2736 . . 3 (LSSum‘(oppg𝐺)) = (LSSum‘(oppg𝐺))
8 lsmsnorb2.4 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
9 lsmsnorb2.2 . . . . . . . . 9 + = (+g𝐺)
109, 1, 6oppgplus 19363 . . . . . . . 8 (𝑔(+g‘(oppg𝐺))𝑥) = (𝑥 + 𝑔)
1110eqeq1i 2741 . . . . . . 7 ((𝑔(+g‘(oppg𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
1211rexbii 3093 . . . . . 6 (∃𝑔𝐴 (𝑔(+g‘(oppg𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑔𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
1312anbi2i 623 . . . . 5 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑔(+g‘(oppg𝐺))𝑥) = 𝑦) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦))
1413opabbii 5208 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑔(+g‘(oppg𝐺))𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
158, 14eqtr4i 2767 . . 3 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑔(+g‘(oppg𝐺))𝑥) = 𝑦)}
16 lsmsnorb2.5 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
171oppgmnd 19369 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (oppg𝐺) ∈ Mnd)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ Mnd)
19 lsmsnorb2.6 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
20 lsmsnorb2.7 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
215, 6, 7, 15, 18, 19, 20lsmsnorb 33406 . 2 (𝜑 → (𝐴(LSSum‘(oppg𝐺)){𝑋}) = [𝑋] )
223, 21eqtr3id 2790 1 (𝜑 → ({𝑋} 𝐴) = [𝑋] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3069  wss 3950  {csn 4624  {cpr 4626  {copab 5203  cfv 6559  (class class class)co 7429  [cec 8739  Basecbs 17243  +gcplusg 17293  Mndcmnd 18743  oppgcoppg 19359  LSSumclsm 19648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-tpos 8247  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-ec 8743  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-plusg 17306  df-0g 17482  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-oppg 19360  df-lsm 19650
This theorem is referenced by:  quslsm  33420
  Copyright terms: Public domain W3C validator