Theorem lsmsnorb2 34031

Description: The sumset of a single element with a group is the element's orbit by the group action. See gaorb 19554. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnorb2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmsnorb2.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
lsmsnorb2.3	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmsnorb2.4	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
lsmsnorb2.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
lsmsnorb2.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
lsmsnorb2.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnorb2	⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = [𝑋] ∼ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑔,𝐺,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑔)   𝐵(𝑔)   + (𝑥, 𝑦, 𝑔)   ⊕ (𝑥, 𝑦, 𝑔)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑔)

Proof of Theorem lsmsnorb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
2		lsmsnorb2.3	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3	1, 2	oppglsm 19889	. 2 ⊢ (𝐴(LSSum‘(oppg‘𝐺)){𝑋}) = ({𝑋} ⊕ 𝐴)
4		lsmsnorb2.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	1, 4	oppgbas 19598	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LSSum‘(oppg‘𝐺)) = (LSSum‘(oppg‘𝐺))
8		lsmsnorb2.4	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
9		lsmsnorb2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10	9, 1, 6	oppgplus 19596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = (𝑥 + 𝑔)
11	10	eqeq1i 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
12	11	rexbii 3113	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
13	12	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦))
14	13	opabbii 5176	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
15	8, 14	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦)}
16		lsmsnorb2.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
17	1	oppgmnd 19601	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
19		lsmsnorb2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
20		lsmsnorb2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	5, 6, 7, 15, 18, 19, 20	lsmsnorb 34030	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(LSSum‘(oppg‘𝐺)){𝑋}) = [𝑋] ∼ )
22	3, 21	eqtr3id 2812	1 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = [𝑋] ∼ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  {csn 4588  {cpr 4590  {copab 5171  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  [cec 8746  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  Mndcmnd 18955  opp_gcoppg 19592  LSSumclsm 19881

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-ec 8750  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-oppg 19593  df-lsm 19883

This theorem is used by:  quslsm  34040