Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmsnorb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsnorb2 31101
 Description: The sumset of a single element with a group is the element's orbit by the group action. See gaorb 18504. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsnorb2.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmsnorb2.2 + = (+g𝐺)
lsmsnorb2.3 = (LSSum‘𝐺)
lsmsnorb2.4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
lsmsnorb2.5 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
lsmsnorb2.6 (𝜑𝐴𝐵)
lsmsnorb2.7 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
lsmsnorb2 (𝜑 → ({𝑋} 𝐴) = [𝑋] )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑔,𝐺,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑔)   𝐵(𝑔)   + (𝑥,𝑦,𝑔)   (𝑥,𝑦,𝑔)   (𝑥,𝑦,𝑔)

Proof of Theorem lsmsnorb2
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . 3 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
2 lsmsnorb2.3 . . 3 = (LSSum‘𝐺)
31, 2oppglsm 18834 . 2 (𝐴(LSSum‘(oppg𝐺)){𝑋}) = ({𝑋} 𝐴)
4 lsmsnorb2.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
51, 4oppgbas 18546 . . 3 𝐵 = (Base‘(oppg𝐺))
6 eqid 2758 . . 3 (+g‘(oppg𝐺)) = (+g‘(oppg𝐺))
7 eqid 2758 . . 3 (LSSum‘(oppg𝐺)) = (LSSum‘(oppg𝐺))
8 lsmsnorb2.4 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
9 lsmsnorb2.2 . . . . . . . . 9 + = (+g𝐺)
109, 1, 6oppgplus 18544 . . . . . . . 8 (𝑔(+g‘(oppg𝐺))𝑥) = (𝑥 + 𝑔)
1110eqeq1i 2763 . . . . . . 7 ((𝑔(+g‘(oppg𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
1211rexbii 3175 . . . . . 6 (∃𝑔𝐴 (𝑔(+g‘(oppg𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑔𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
1312anbi2i 625 . . . . 5 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑔(+g‘(oppg𝐺))𝑥) = 𝑦) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦))
1413opabbii 5099 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑔(+g‘(oppg𝐺))𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
158, 14eqtr4i 2784 . . 3 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔𝐴 (𝑔(+g‘(oppg𝐺))𝑥) = 𝑦)}
16 lsmsnorb2.5 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
171oppgmnd 18549 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (oppg𝐺) ∈ Mnd)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ Mnd)
19 lsmsnorb2.6 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
20 lsmsnorb2.7 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
215, 6, 7, 15, 18, 19, 20lsmsnorb 31100 . 2 (𝜑 → (𝐴(LSSum‘(oppg𝐺)){𝑋}) = [𝑋] )
223, 21syl5eqr 2807 1 (𝜑 → ({𝑋} 𝐴) = [𝑋] )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3858  {csn 4522  {cpr 4524  {copab 5094  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  [cec 8297  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  Mndcmnd 17977  oppgcoppg 18540  LSSumclsm 18826 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-ec 8301  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-plusg 16636  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-oppg 18541  df-lsm 18828 This theorem is referenced by:  quslsm  31114
 Copyright terms: Public domain W3C validator