Theorem lsmsnorb2 33994

Description: The sumset of a single element with a group is the element's orbit by the group action. See gaorb 19527. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnorb2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmsnorb2.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
lsmsnorb2.3	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmsnorb2.4	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
lsmsnorb2.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
lsmsnorb2.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
lsmsnorb2.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnorb2	⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = [𝑋] ∼ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑔,𝐺,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑔)   𝐵(𝑔)   + (𝑥, 𝑦, 𝑔)   ⊕ (𝑥, 𝑦, 𝑔)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑔)

Proof of Theorem lsmsnorb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
2		lsmsnorb2.3	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3	1, 2	oppglsm 19862	. 2 ⊢ (𝐴(LSSum‘(oppg‘𝐺)){𝑋}) = ({𝑋} ⊕ 𝐴)
4		lsmsnorb2.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	1, 4	oppgbas 19571	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LSSum‘(oppg‘𝐺)) = (LSSum‘(oppg‘𝐺))
8		lsmsnorb2.4	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
9		lsmsnorb2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10	9, 1, 6	oppgplus 19569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = (𝑥 + 𝑔)
11	10	eqeq1i 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
12	11	rexbii 3109	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)
13	12	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦))
14	13	opabbii 5171	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑔) = 𝑦)}
15	8, 14	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔(+g‘(oppg‘𝐺))𝑥) = 𝑦)}
16		lsmsnorb2.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
17	1	oppgmnd 19574	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
19		lsmsnorb2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
20		lsmsnorb2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	5, 6, 7, 15, 18, 19, 20	lsmsnorb 33993	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(LSSum‘(oppg‘𝐺)){𝑋}) = [𝑋] ∼ )
22	3, 21	eqtr3id 2809	1 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = [𝑋] ∼ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  {csn 4584  {cpr 4586  {copab 5166  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  [cec 8719  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  Mndcmnd 18929  opp_gcoppg 19565  LSSumclsm 19854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-ec 8723  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-oppg 19566  df-lsm 19856

This theorem is used by:  quslsm  34003