Theorem gsumwrev 19580

Description: A sum in an opposite monoid is the regular sum of a reversed word. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumwrev.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumwrev.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumwrev	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem gsumwrev

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg ∅))
2		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = (reverse‘∅))
3		rev0 14913	. . . . . . 7 ⊢ (reverse‘∅) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = ∅)
5	4	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
6	1, 5	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)))
7	6	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))))
8		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑦))
9		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑦))
10	9	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))
11	8, 10	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
13		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
14		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (reverse‘𝑥) = (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
15	14	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
16	13, 15	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
17	16	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
18		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑊))
19		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑊))
20	19	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))
21	18, 20	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
22	21	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))))
23		gsumwrev.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑀)
24		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
25	23, 24	oppgid 19570	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑂)
26	25	gsum0 18873	. . . . 5 ⊢ (𝑂 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
27	24	gsum0 18873	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
28	26, 27	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))
30		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
31	23	oppgmnd 19568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
32	31	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑂 ∈ Mnd)
33		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ Word 𝐵)
34		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35	34	s1cld 14750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵)
36		gsumwrev.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
37	23, 36	oppgbas 19565	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
38		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
39	37, 38	gsumccat 19037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
40	32, 33, 35, 39	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
41	37	gsumws1 19034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
42	41	ad2antll 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
43	42	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)𝑧))
44		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
45	44, 23, 38	oppgplus 19563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦))
46	43, 45	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
47	40, 46	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
48		revccat 14915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
49	33, 35, 48	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
50		revs1 14914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (reverse‘⟨“𝑧”⟩) = ⟨“𝑧”⟩
51	50	oveq1i 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))
52	49, 51	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦)))
53	52	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))))
54		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ Mnd)
55		revcl 14910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
56	55	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
57	36, 44	gsumccat 19037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
58	54, 35, 56, 57	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
59	36	gsumws1 19034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
60	59	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
61	60	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
62	53, 58, 61	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
63	47, 62	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) ↔ (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
64	30, 63	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
65	64	expcom 419	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ Mnd → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
66	65	a2d 30	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
67	7, 12, 17, 22, 29, 66	wrdind 14871	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
68	67	impcom 413	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Word cword 14658   ++ cconcat 14715  ⟨“cs1 14742  reversecreverse 14907  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923  opp_gcoppg 19559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-reverse 14908  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-oppg 19560

This theorem is used by:  symgtrinv  19686