MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwrev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumwrev 19154
Description: A sum in an opposite monoid is the regular sum of a reversed word. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumwrev.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
gsumwrev.o 𝑂 = (oppgβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
gsumwrev ((𝑀 ∈ Mnd ∧ π‘Š ∈ Word 𝐡) β†’ (𝑂 Ξ£g π‘Š) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘Š)))

Proof of Theorem gsumwrev
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 Ξ£g π‘₯) = (𝑂 Ξ£g βˆ…))
2 fveq2 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (reverseβ€˜π‘₯) = (reverseβ€˜βˆ…))
3 rev0 14659 . . . . . . 7 (reverseβ€˜βˆ…) = βˆ…
42, 3eqtrdi 2793 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (reverseβ€˜π‘₯) = βˆ…)
54oveq2d 7378 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g βˆ…))
61, 5eqeq12d 2753 . . . 4 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝑂 Ξ£g π‘₯) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑂 Ξ£g βˆ…) = (𝑀 Ξ£g βˆ…)))
76imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑂 Ξ£g π‘₯) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑂 Ξ£g βˆ…) = (𝑀 Ξ£g βˆ…))))
8 oveq2 7370 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑂 Ξ£g π‘₯) = (𝑂 Ξ£g 𝑦))
9 fveq2 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (reverseβ€˜π‘₯) = (reverseβ€˜π‘¦))
109oveq2d 7378 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦)))
118, 10eqeq12d 2753 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑂 Ξ£g π‘₯) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑂 Ξ£g 𝑦) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦))))
1211imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑂 Ξ£g π‘₯) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑂 Ξ£g 𝑦) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦)))))
13 oveq2 7370 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (𝑂 Ξ£g π‘₯) = (𝑂 Ξ£g (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
14 fveq2 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (reverseβ€˜π‘₯) = (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
1514oveq2d 7378 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
1613, 15eqeq12d 2753 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((𝑂 Ξ£g π‘₯) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑂 Ξ£g (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))))
1716imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑂 Ξ£g π‘₯) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑂 Ξ£g (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))))
18 oveq2 7370 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Š β†’ (𝑂 Ξ£g π‘₯) = (𝑂 Ξ£g π‘Š))
19 fveq2 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘Š β†’ (reverseβ€˜π‘₯) = (reverseβ€˜π‘Š))
2019oveq2d 7378 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Š β†’ (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘Š)))
2118, 20eqeq12d 2753 . . . 4 (π‘₯ = π‘Š β†’ ((𝑂 Ξ£g π‘₯) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑂 Ξ£g π‘Š) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘Š))))
2221imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = π‘Š β†’ ((𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑂 Ξ£g π‘₯) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑂 Ξ£g π‘Š) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘Š)))))
23 gsumwrev.o . . . . . . 7 𝑂 = (oppgβ€˜π‘€)
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
2523, 24oppgid 19144 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘‚)
2625gsum0 18546 . . . . 5 (𝑂 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)
2724gsum0 18546 . . . . 5 (𝑀 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)
2826, 27eqtr4i 2768 . . . 4 (𝑂 Ξ£g βˆ…) = (𝑀 Ξ£g βˆ…)
2928a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑂 Ξ£g βˆ…) = (𝑀 Ξ£g βˆ…))
30 oveq2 7370 . . . . . 6 ((𝑂 Ξ£g 𝑦) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦)) β†’ (𝑧(+gβ€˜π‘€)(𝑂 Ξ£g 𝑦)) = (𝑧(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦))))
3123oppgmnd 19142 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Mnd β†’ 𝑂 ∈ Mnd)
3231adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑂 ∈ Mnd)
33 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐡)
34 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3534s1cld 14498 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word 𝐡)
36 gsumwrev.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
3723, 36oppgbas 19137 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‚)
38 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘‚) = (+gβ€˜π‘‚)
3937, 38gsumccat 18658 . . . . . . . . 9 ((𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word 𝐡) β†’ (𝑂 Ξ£g (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((𝑂 Ξ£g 𝑦)(+gβ€˜π‘‚)(𝑂 Ξ£g βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
4032, 33, 35, 39syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑂 Ξ£g (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((𝑂 Ξ£g 𝑦)(+gβ€˜π‘‚)(𝑂 Ξ£g βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
4137gsumws1 18655 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (𝑂 Ξ£g βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = 𝑧)
4241ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑂 Ξ£g βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = 𝑧)
4342oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑂 Ξ£g 𝑦)(+gβ€˜π‘‚)(𝑂 Ξ£g βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((𝑂 Ξ£g 𝑦)(+gβ€˜π‘‚)𝑧))
44 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
4544, 23, 38oppgplus 19134 . . . . . . . . 9 ((𝑂 Ξ£g 𝑦)(+gβ€˜π‘‚)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘€)(𝑂 Ξ£g 𝑦))
4643, 45eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑂 Ξ£g 𝑦)(+gβ€˜π‘‚)(𝑂 Ξ£g βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (𝑧(+gβ€˜π‘€)(𝑂 Ξ£g 𝑦)))
4740, 46eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑂 Ξ£g (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (𝑧(+gβ€˜π‘€)(𝑂 Ξ£g 𝑦)))
48 revccat 14661 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word 𝐡) β†’ (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ++ (reverseβ€˜π‘¦)))
4933, 35, 48syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ++ (reverseβ€˜π‘¦)))
50 revs1 14660 . . . . . . . . . . 11 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©
5150oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ++ (reverseβ€˜π‘¦)) = (βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘¦))
5249, 51eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘¦)))
5352oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑀 Ξ£g (βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘¦))))
54 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
55 revcl 14656 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Word 𝐡 β†’ (reverseβ€˜π‘¦) ∈ Word 𝐡)
5655ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (reverseβ€˜π‘¦) ∈ Word 𝐡)
5736, 44gsumccat 18658 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word 𝐡 ∧ (reverseβ€˜π‘¦) ∈ Word 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘¦))) = ((𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦))))
5854, 35, 56, 57syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 Ξ£g (βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘¦))) = ((𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦))))
5936gsumws1 18655 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = 𝑧)
6059ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = 𝑧)
6160oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦))) = (𝑧(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦))))
6253, 58, 613eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑧(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦))))
6347, 62eqeq12d 2753 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑂 Ξ£g (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) ↔ (𝑧(+gβ€˜π‘€)(𝑂 Ξ£g 𝑦)) = (𝑧(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦)))))
6430, 63syl5ibr 246 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑂 Ξ£g 𝑦) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦)) β†’ (𝑂 Ξ£g (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))))
6564expcom 415 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 ∈ Mnd β†’ ((𝑂 Ξ£g 𝑦) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦)) β†’ (𝑂 Ξ£g (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))))
6665a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑂 Ξ£g 𝑦) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘¦))) β†’ (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑂 Ξ£g (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))))
677, 12, 17, 22, 29, 66wrdind 14617 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐡 β†’ (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑂 Ξ£g π‘Š) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘Š))))
6867impcom 409 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ π‘Š ∈ Word 𝐡) β†’ (𝑂 Ξ£g π‘Š) = (𝑀 Ξ£g (reverseβ€˜π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ…c0 4287  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Word cword 14409   ++ cconcat 14465  βŸ¨β€œcs1 14490  reversecreverse 14653  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328   Ξ£g cgsu 17329  Mndcmnd 18563  oppgcoppg 19130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-reverse 14654  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-oppg 19131
This theorem is referenced by:  symgtrinv  19261
  Copyright terms: Public domain W3C validator