Theorem gsumwrev 19299

Description: A sum in an opposite monoid is the regular sum of a reversed word. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumwrev.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumwrev.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumwrev	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem gsumwrev

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg ∅))
2		fveq2 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = (reverse‘∅))
3		rev0 14691	. . . . . . 7 ⊢ (reverse‘∅) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = ∅)
5	4	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
6	1, 5	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)))
7	6	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))))
8		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑦))
9		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑦))
10	9	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))
11	8, 10	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
13		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
14		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (reverse‘𝑥) = (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
15	14	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
16	13, 15	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
17	16	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
18		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑊))
19		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑊))
20	19	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))
21	18, 20	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
22	21	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))))
23		gsumwrev.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑀)
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
25	23, 24	oppgid 19289	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑂)
26	25	gsum0 18613	. . . . 5 ⊢ (𝑂 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
27	24	gsum0 18613	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
28	26, 27	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))
30		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
31	23	oppgmnd 19287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑂 ∈ Mnd)
33		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ Word 𝐵)
34		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35	34	s1cld 14531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵)
36		gsumwrev.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
37	23, 36	oppgbas 19284	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
38		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
39	37, 38	gsumccat 18770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
40	32, 33, 35, 39	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
41	37	gsumws1 18767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
42	41	ad2antll 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
43	42	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)𝑧))
44		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
45	44, 23, 38	oppgplus 19282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦))
46	43, 45	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
47	40, 46	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
48		revccat 14693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
49	33, 35, 48	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
50		revs1 14692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (reverse‘⟨“𝑧”⟩) = ⟨“𝑧”⟩
51	50	oveq1i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))
52	49, 51	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦)))
53	52	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))))
54		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ Mnd)
55		revcl 14688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
56	55	ad2antrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
57	36, 44	gsumccat 18770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
58	54, 35, 56, 57	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
59	36	gsumws1 18767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
60	59	ad2antll 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
61	60	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
62	53, 58, 61	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
63	47, 62	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) ↔ (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
64	30, 63	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
65	64	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ Mnd → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
66	65	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
67	7, 12, 17, 22, 29, 66	wrdind 14649	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
68	67	impcom 407	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4286  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Word cword 14440   ++ cconcat 14497  ⟨“cs1 14523  reversecreverse 14685  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  0_gc0g 17363   Σ_g cgsu 17364  Mndcmnd 18663  opp_gcoppg 19278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-word 14441  df-lsw 14490  df-concat 14498  df-s1 14524  df-substr 14569  df-pfx 14599  df-reverse 14686  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-oppg 19279

This theorem is referenced by:  symgtrinv  19405