Theorem gsumwrev 19227

Description: A sum in an opposite monoid is the regular sum of a reversed word. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumwrev.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumwrev.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumwrev	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem gsumwrev

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg ∅))
2		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = (reverse‘∅))
3		rev0 14710	. . . . . . 7 ⊢ (reverse‘∅) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = ∅)
5	4	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
6	1, 5	eqeq12d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)))
7	6	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))))
8		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑦))
9		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑦))
10	9	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))
11	8, 10	eqeq12d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
13		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
14		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (reverse‘𝑥) = (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
15	14	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
16	13, 15	eqeq12d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
17	16	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
18		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑊))
19		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑊))
20	19	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))
21	18, 20	eqeq12d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
22	21	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))))
23		gsumwrev.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑀)
24		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
25	23, 24	oppgid 19217	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑂)
26	25	gsum0 18599	. . . . 5 ⊢ (𝑂 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
27	24	gsum0 18599	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
28	26, 27	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))
30		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
31	23	oppgmnd 19215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑂 ∈ Mnd)
33		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ Word 𝐵)
34		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35	34	s1cld 14549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵)
36		gsumwrev.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
37	23, 36	oppgbas 19210	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
38		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
39	37, 38	gsumccat 18718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
40	32, 33, 35, 39	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
41	37	gsumws1 18715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
42	41	ad2antll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
43	42	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)𝑧))
44		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
45	44, 23, 38	oppgplus 19207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦))
46	43, 45	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
47	40, 46	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
48		revccat 14712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
49	33, 35, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
50		revs1 14711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (reverse‘⟨“𝑧”⟩) = ⟨“𝑧”⟩
51	50	oveq1i 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))
52	49, 51	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦)))
53	52	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))))
54		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ Mnd)
55		revcl 14707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
56	55	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
57	36, 44	gsumccat 18718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
58	54, 35, 56, 57	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
59	36	gsumws1 18715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
60	59	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
61	60	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
62	53, 58, 61	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
63	47, 62	eqeq12d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) ↔ (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
64	30, 63	imbitrrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
65	64	expcom 414	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ Mnd → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
66	65	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
67	7, 12, 17, 22, 29, 66	wrdind 14668	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
68	67	impcom 408	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4321  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Word cword 14460   ++ cconcat 14516  ⟨“cs1 14541  reversecreverse 14704  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  opp_gcoppg 19203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-reverse 14705  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-oppg 19204

This theorem is referenced by:  symgtrinv  19334