Theorem gsumwrev 19336

Description: A sum in an opposite monoid is the regular sum of a reversed word. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumwrev.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumwrev.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumwrev	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem gsumwrev

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg ∅))
2		fveq2 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = (reverse‘∅))
3		rev0 14721	. . . . . . 7 ⊢ (reverse‘∅) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = ∅)
5	4	oveq2d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
6	1, 5	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)))
7	6	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))))
8		oveq2 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑦))
9		fveq2 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑦))
10	9	oveq2d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))
11	8, 10	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
13		oveq2 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
14		fveq2 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (reverse‘𝑥) = (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
15	14	oveq2d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
16	13, 15	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
17	16	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
18		oveq2 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑊))
19		fveq2 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑊))
20	19	oveq2d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))
21	18, 20	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
22	21	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))))
23		gsumwrev.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑀)
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
25	23, 24	oppgid 19326	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑂)
26	25	gsum0 18647	. . . . 5 ⊢ (𝑂 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
27	24	gsum0 18647	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
28	26, 27	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))
30		oveq2 7370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
31	23	oppgmnd 19324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑂 ∈ Mnd)
33		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ Word 𝐵)
34		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35	34	s1cld 14561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵)
36		gsumwrev.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
37	23, 36	oppgbas 19321	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
38		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
39	37, 38	gsumccat 18804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
40	32, 33, 35, 39	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
41	37	gsumws1 18801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
42	41	ad2antll 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
43	42	oveq2d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)𝑧))
44		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
45	44, 23, 38	oppgplus 19319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦))
46	43, 45	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
47	40, 46	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
48		revccat 14723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
49	33, 35, 48	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
50		revs1 14722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (reverse‘⟨“𝑧”⟩) = ⟨“𝑧”⟩
51	50	oveq1i 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))
52	49, 51	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦)))
53	52	oveq2d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))))
54		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ Mnd)
55		revcl 14718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
56	55	ad2antrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
57	36, 44	gsumccat 18804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
58	54, 35, 56, 57	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
59	36	gsumws1 18801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
60	59	ad2antll 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
61	60	oveq1d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
62	53, 58, 61	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
63	47, 62	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) ↔ (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
64	30, 63	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
65	64	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ Mnd → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
66	65	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
67	7, 12, 17, 22, 29, 66	wrdind 14679	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
68	67	impcom 407	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Word cword 14470   ++ cconcat 14527  ⟨“cs1 14553  reversecreverse 14715  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  0_gc0g 17397   Σ_g cgsu 17398  Mndcmnd 18697  opp_gcoppg 19315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-word 14471  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14554  df-substr 14599  df-pfx 14629  df-reverse 14716  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-oppg 19316

This theorem is referenced by:  symgtrinv  19442