MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwrev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumwrev 18490
Description: A sum in an opposite monoid is the regular sum of a reversed word. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumwrev.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumwrev.o 𝑂 = (oppg𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsumwrev ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem gsumwrev
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg ∅))
2 fveq2 6649 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = (reverse‘∅))
3 rev0 14121 . . . . . . 7 (reverse‘∅) = ∅
42, 3eqtrdi 2852 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = ∅)
54oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
61, 5eqeq12d 2817 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)))
76imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))))
8 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑦))
9 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑦))
109oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))
118, 10eqeq12d 2817 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
1211imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
13 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
14 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (reverse‘𝑥) = (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1514oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
1613, 15eqeq12d 2817 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
1716imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
18 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑊))
19 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑊 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑊))
2019oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))
2118, 20eqeq12d 2817 . . . 4 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
2221imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))))
23 gsumwrev.o . . . . . . 7 𝑂 = (oppg𝑀)
24 eqid 2801 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
2523, 24oppgid 18480 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑂)
2625gsum0 17890 . . . . 5 (𝑂 Σg ∅) = (0g𝑀)
2724gsum0 17890 . . . . 5 (𝑀 Σg ∅) = (0g𝑀)
2826, 27eqtr4i 2827 . . . 4 (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)
2928a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))
30 oveq2 7147 . . . . . 6 ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
3123oppgmnd 18478 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
3231adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → 𝑂 ∈ Mnd)
33 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ Word 𝐵)
34 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
3534s1cld 13952 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵)
36 gsumwrev.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑀)
3723, 36oppgbas 18475 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑂)
38 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (+g𝑂) = (+g𝑂)
3937, 38gsumccat 18002 . . . . . . . . 9 ((𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
4032, 33, 35, 39syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
4137gsumws1 17998 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐵 → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
4241ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
4342oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)𝑧))
44 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4544, 23, 38oppgplus 18473 . . . . . . . . 9 ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)𝑧) = (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦))
4643, 45eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
4740, 46eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
48 revccat 14123 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
4933, 35, 48syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
50 revs1 14122 . . . . . . . . . . 11 (reverse‘⟨“𝑧”⟩) = ⟨“𝑧”⟩
5150oveq1i 7149 . . . . . . . . . 10 ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))
5249, 51eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦)))
5352oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))))
54 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → 𝑀 ∈ Mnd)
55 revcl 14118 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
5655ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
5736, 44gsumccat 18002 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
5854, 35, 56, 57syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
5936gsumws1 17998 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
6059ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
6160oveq1d 7154 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) = (𝑧(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
6253, 58, 613eqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑧(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
6347, 62eqeq12d 2817 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) ↔ (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
6430, 63syl5ibr 249 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
6564expcom 417 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (𝑀 ∈ Mnd → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
6665a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
677, 12, 17, 22, 29, 66wrdind 14079 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
6867impcom 411 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  c0 4246  cfv 6328  (class class class)co 7139  Word cword 13861   ++ cconcat 13917  ⟨“cs1 13944  reversecreverse 14115  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  0gc0g 16709   Σg cgsu 16710  Mndcmnd 17907  oppgcoppg 18469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-reverse 14116  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-oppg 18470
This theorem is referenced by:  symgtrinv  18596
  Copyright terms: Public domain W3C validator