Theorem gsumwrev 19235

Description: A sum in an opposite monoid is the regular sum of a reversed word. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumwrev.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumwrev.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumwrev	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem gsumwrev

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg ∅))
2		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = (reverse‘∅))
3		rev0 14716	. . . . . . 7 ⊢ (reverse‘∅) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = ∅)
5	4	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
6	1, 5	eqeq12d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)))
7	6	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))))
8		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑦))
9		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑦))
10	9	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))
11	8, 10	eqeq12d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
13		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
14		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (reverse‘𝑥) = (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
15	14	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
16	13, 15	eqeq12d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
17	16	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
18		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑊))
19		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑊))
20	19	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))
21	18, 20	eqeq12d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
22	21	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))))
23		gsumwrev.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑀)
24		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
25	23, 24	oppgid 19225	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑂)
26	25	gsum0 18605	. . . . 5 ⊢ (𝑂 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
27	24	gsum0 18605	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
28	26, 27	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))
30		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
31	23	oppgmnd 19223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑂 ∈ Mnd)
33		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ Word 𝐵)
34		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35	34	s1cld 14555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵)
36		gsumwrev.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
37	23, 36	oppgbas 19218	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
38		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
39	37, 38	gsumccat 18724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
40	32, 33, 35, 39	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
41	37	gsumws1 18721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
42	41	ad2antll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
43	42	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)𝑧))
44		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
45	44, 23, 38	oppgplus 19215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦))
46	43, 45	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g‘𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
47	40, 46	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
48		revccat 14718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
49	33, 35, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
50		revs1 14717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (reverse‘⟨“𝑧”⟩) = ⟨“𝑧”⟩
51	50	oveq1i 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))
52	49, 51	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦)))
53	52	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))))
54		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ Mnd)
55		revcl 14713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
56	55	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
57	36, 44	gsumccat 18724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
58	54, 35, 56, 57	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
59	36	gsumws1 18721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
60	59	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
61	60	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
62	53, 58, 61	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
63	47, 62	eqeq12d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) ↔ (𝑧(+g‘𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
64	30, 63	imbitrrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
65	64	expcom 414	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ Mnd → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
66	65	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
67	7, 12, 17, 22, 29, 66	wrdind 14674	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
68	67	impcom 408	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4322  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Word cword 14466   ++ cconcat 14522  ⟨“cs1 14547  reversecreverse 14710  Basecbs 17146  +_gcplusg 17199  0_gc0g 17387   Σ_g cgsu 17388  Mndcmnd 18627  opp_gcoppg 19211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-reverse 14711  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-oppg 19212

This theorem is referenced by:  symgtrinv  19342