Theorem hashp1i 14310

Description: Size of a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashp1i.1	⊢ 𝐴 ∈ ω
hashp1i.2	⊢ 𝐵 = suc 𝐴
hashp1i.3	⊢ (♯‘𝐴) = 𝑀
hashp1i.4	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
hashp1i	⊢ (♯‘𝐵) = 𝑁

Proof of Theorem hashp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashp1i.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = suc 𝐴
2		df-suc 6313	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
3	1, 2	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ∪ {𝐴})
4	3	fveq2i 6825	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴}))
5		hashp1i.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ω
6		nnfi 9081	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
8		nnord 7807	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
9		ordirr 6325	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
10	5, 8, 9	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
11		hashunsng 14299	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1)))
12	5, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1))
13	7, 10, 12	mp2an 692	. . 3 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1)
14		hashp1i.3	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) = 𝑀
15	14	oveq1i 7359	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) + 1) = (𝑀 + 1)
16		hashp1i.4	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
17	15, 16	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) + 1) = 𝑁
18	13, 17	eqtri 2752	. 2 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = 𝑁
19	4, 18	eqtri 2752	1 ⊢ (♯‘𝐵) = 𝑁

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3901  {csn 4577  Ord word 6306  suc csuc 6309  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ωcom 7799  Fincfn 8872  1c1 11010   + caddc 11012  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  hash1  14311  hash2  14312  hash3  14313  hash4  14314