Theorem 2lgslem1a1 27519

Description: Lemma 1 for 2lgslem1a 27521. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a1	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))

Distinct variable group:   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2lgslem1a1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrp 13028	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3		elfzelz 13552	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
4		zre 12595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
5		2re 12315	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
7	4, 6	remulcld 11239	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ∈ ℝ)
8	3, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝑖 · 2) ∈ ℝ)
9	2, 8	anim12ci 625	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
10		elfznn 13581	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℕ)
11		nnre 12240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ)
12		nnnn0 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
13	12	nn0ge0d 12568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑖)
14		0le2 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 2
15	5, 14	pm3.2i 475	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2))
17		mulge0 11732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑖) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
18	11, 13, 16, 17	syl21anc 850	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑖 · 2))
19	10, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
20	19	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
21		elfz2 13542	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
22	4	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℝ)
23		zre 12595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
24	23	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
25		2pos 12345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
26	5, 25	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
28		lemul1 12067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
29	22, 24, 27, 28	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
30		nncn 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
31		peano2cnm 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
33		2cnd 12319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
34		2ne0 12347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
36	32, 33, 35	divcan1d 11992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
37	36	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
38	37	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
39	38	breq2d 5125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
40		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
41		2z 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
43	40, 42	zmulcld 12706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
44	43	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
45		nnz 12612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
46	45	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
47		zltlem1 12647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 · 2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 2) < 𝑃 ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
48	44, 46, 47	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) < 𝑃 ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
49	48	biimprd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
50	39, 49	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
51	50	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
52	51	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
53	29, 52	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
54	53	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑖 → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))))
55	54	imp32 423	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
56	21, 55	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
57	56	impcom 412	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) < 𝑃)
58		modid 13929	. . . 4 ⊢ ((((𝑖 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑖 · 2) ∧ (𝑖 · 2) < 𝑃)) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑖 · 2))
59	9, 20, 57, 58	syl12anc 849	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑖 · 2))
60	59	eqcomd 2775	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
61	60	ralrimiva 3163	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441   / cdiv 11871  ℕcn 12233  2c2 12295  ℤcz 12591  ℝ⁺crp 13016  ...cfz 13535   mod cmo 13902   ∥ cdvds 16310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fl 13825  df-mod 13903

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  27521