Theorem 2lgslem1a1 27731

Description: Lemma 1 for 2lgslem1a 27733. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a1	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))

Distinct variable group:   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2lgslem1a1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrp 13145	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3		elfzelz 13669	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
4		zre 12710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
5		2re 12430	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
7	4, 6	remulcld 11352	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ∈ ℝ)
8	3, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝑖 · 2) ∈ ℝ)
9	2, 8	anim12ci 626	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
10		elfznn 13700	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℕ)
11		nnre 12355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ)
12		nnnn0 12626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
13	12	nn0ge0d 12683	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑖)
14		0le2 12458	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 2
15	5, 14	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2))
17		mulge0 11847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑖) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
18	11, 13, 16, 17	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑖 · 2))
19	10, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
20	19	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
21		elfz2 13659	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
22	4	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℝ)
23		zre 12710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
24	23	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
25		2pos 12460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
26	5, 25	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
28		lemul1 12182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
29	22, 24, 27, 28	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
30		nncn 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
31		peano2cnm 11637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
33		2cnd 12434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
34		2ne0 12462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
36	32, 33, 35	divcan1d 12107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
38	37	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
39	38	breq2d 5118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
40		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
41		2z 12741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
43	40, 42	zmulcld 12822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
44	43	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
45		nnz 12727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
47		zltlem1 12762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 · 2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 2) < 𝑃 ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
48	44, 46, 47	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) < 𝑃 ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
49	48	biimprd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
50	39, 49	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
51	50	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
52	51	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
53	29, 52	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
54	53	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑖 → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))))
55	54	imp32 424	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
56	21, 55	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
57	56	impcom 413	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) < 𝑃)
58		modid 14049	. . . 4 ⊢ ((((𝑖 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑖 · 2) ∧ (𝑖 · 2) < 𝑃)) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑖 · 2))
59	9, 20, 57, 58	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑖 · 2))
60	59	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
61	60	ralrimiva 3158	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   · cmul 11218   < clt 11356   ≤ cle 11357   − cmin 11554   / cdiv 11986  ℕcn 12348  2c2 12410  ℤcz 12706  ℝ⁺crp 13133  ...cfz 13652   mod cmo 14022   ∥ cdvds 16437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-sup 9447  df-inf 9448  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fl 13945  df-mod 14023

This theorem is used by:  2lgslem1a  27733