MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1a1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1a1 25647
Description: Lemma 1 for 2lgslem1a 25649. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1a1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
Distinct variable group:   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2lgslem1a1
StepHypRef Expression
1 nnrp 12250 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3 elfzelz 12758 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
4 zre 11833 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
5 2re 11559 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
74, 6remulcld 10517 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ∈ ℝ)
83, 7syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝑖 · 2) ∈ ℝ)
92, 8anim12ci 613 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
10 elfznn 12786 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℕ)
11 nnre 11493 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ)
12 nnnn0 11752 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 11806 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑖)
14 0le2 11587 . . . . . . . . 9 0 ≤ 2
155, 14pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2))
17 mulge0 11006 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑖) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
1811, 13, 16, 17syl21anc 834 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑖 · 2))
1910, 18syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
2019adantl 482 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
21 elfz2 12749 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
2243ad2ant3 1128 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℝ)
23 zre 11833 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
24233ad2ant2 1127 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
25 2pos 11588 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
265, 25pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
28 lemul1 11340 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
2922, 24, 27, 28syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
30 nncn 11494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
31 peano2cnm 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
33 2cnd 11563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
34 2ne0 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
3632, 33, 35divcan1d 11265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3938breq2d 4974 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
41 2z 11863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4340, 42zmulcld 11942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
44433ad2ant3 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
45 nnz 11853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
47 zltlem1 11884 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 · 2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 2) < 𝑃 ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
4844, 46, 47syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) < 𝑃 ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
4948biimprd 249 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5039, 49sylbid 241 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5150ex 413 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
5251com23 86 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
5329, 52sylbid 241 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
5453a1d 25 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑖 → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))))
5554imp32 419 . . . . . 6 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5621, 55sylbi 218 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5756impcom 408 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) < 𝑃)
58 modid 13114 . . . 4 ((((𝑖 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑖 · 2) ∧ (𝑖 · 2) < 𝑃)) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑖 · 2))
599, 20, 57, 58syl12anc 833 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑖 · 2))
6059eqcomd 2801 . 2 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
6160ralrimiva 3149 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717   / cdiv 11145  cn 11486  2c2 11540  cz 11829  +crp 12239  ...cfz 12742   mod cmo 13087  cdvds 15440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fl 13012  df-mod 13088
This theorem is referenced by:  2lgslem1a  25649
  Copyright terms: Public domain W3C validator