MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1a1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1a1 26740
Description: Lemma 1 for 2lgslem1a 26742. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1a1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘– ยท 2) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ))
Distinct variable group:   ๐‘ƒ,๐‘–

Proof of Theorem 2lgslem1a1
StepHypRef Expression
1 nnrp 12927 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
21adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
3 elfzelz 13442 . . . . . 6 (๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
4 zre 12504 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„)
5 2re 12228 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
65a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„)
74, 6remulcld 11186 . . . . . 6 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„)
83, 7syl 17 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„)
92, 8anim12ci 615 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+))
10 elfznn 13471 . . . . . 6 (๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
11 nnre 12161 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„)
12 nnnn0 12421 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
1312nn0ge0d 12477 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–)
14 0le2 12256 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 2
155, 14pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2)
1615a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2))
17 mulge0 11674 . . . . . . 7 (((๐‘– โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘–) โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘– ยท 2))
1811, 13, 16, 17syl21anc 837 . . . . . 6 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (๐‘– ยท 2))
1910, 18syl 17 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘– ยท 2))
2019adantl 483 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘– ยท 2))
21 elfz2 13432 . . . . . 6 (๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง (1 โ‰ค ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
2243ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„)
23 zre 12504 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
24233ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
25 2pos 12257 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
265, 25pm3.2i 472 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
28 lemul1 12008 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†” (๐‘– ยท 2) โ‰ค (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2)))
2922, 24, 27, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†” (๐‘– ยท 2) โ‰ค (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2)))
30 nncn 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
31 peano2cnm 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
33 2cnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
34 2ne0 12258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โ‰  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
3632, 33, 35divcan1d 11933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3837adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3938breq2d 5118 . . . . . . . . . . . 12 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘– ยท 2) โ‰ค (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) โ†” (๐‘– ยท 2) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
41 2z 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„ค
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
4340, 42zmulcld 12614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ค)
44433ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ค)
45 nnz 12521 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
47 zltlem1 12557 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘– ยท 2) < ๐‘ƒ โ†” (๐‘– ยท 2) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
4844, 46, 47syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘– ยท 2) < ๐‘ƒ โ†” (๐‘– ยท 2) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
4948biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘– ยท 2) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘– ยท 2) < ๐‘ƒ))
5039, 49sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘– ยท 2) โ‰ค (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) โ†’ (๐‘– ยท 2) < ๐‘ƒ))
5150ex 414 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘– ยท 2) โ‰ค (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) โ†’ (๐‘– ยท 2) < ๐‘ƒ)))
5251com23 86 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘– ยท 2) โ‰ค (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘– ยท 2) < ๐‘ƒ)))
5329, 52sylbid 239 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘– ยท 2) < ๐‘ƒ)))
5453a1d 25 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘– โ†’ (๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘– ยท 2) < ๐‘ƒ))))
5554imp32 420 . . . . . 6 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง (1 โ‰ค ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘– ยท 2) < ๐‘ƒ))
5621, 55sylbi 216 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘– ยท 2) < ๐‘ƒ))
5756impcom 409 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– ยท 2) < ๐‘ƒ)
58 modid 13802 . . . 4 ((((๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘– ยท 2) < ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ) = (๐‘– ยท 2))
599, 20, 57, 58syl12anc 836 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ) = (๐‘– ยท 2))
6059eqcomd 2743 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– ยท 2) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ))
6160ralrimiva 3144 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘– ยท 2) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„คcz 12500  โ„+crp 12916  ...cfz 13425   mod cmo 13775   โˆฅ cdvds 16137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fl 13698  df-mod 13776
This theorem is referenced by:  2lgslem1a  26742
  Copyright terms: Public domain W3C validator