MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1a1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1a1 27418
Description: Lemma 1 for 2lgslem1a 27420. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1a1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
Distinct variable group:   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2lgslem1a1
StepHypRef Expression
1 nnrp 13039 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
21adantr 479 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3 elfzelz 13555 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
4 zre 12614 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
5 2re 12338 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
74, 6remulcld 11294 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ∈ ℝ)
83, 7syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝑖 · 2) ∈ ℝ)
92, 8anim12ci 612 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
10 elfznn 13584 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℕ)
11 nnre 12271 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ)
12 nnnn0 12531 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 12587 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑖)
14 0le2 12366 . . . . . . . . 9 0 ≤ 2
155, 14pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2))
17 mulge0 11782 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑖) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
1811, 13, 16, 17syl21anc 836 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑖 · 2))
1910, 18syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
2019adantl 480 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
21 elfz2 13545 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
2243ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℝ)
23 zre 12614 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
24233ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
25 2pos 12367 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
265, 25pm3.2i 469 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
28 lemul1 12117 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
2922, 24, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
30 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
31 peano2cnm 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
33 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
34 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
3632, 33, 35divcan1d 12042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3736adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3837adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3938breq2d 5165 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
41 2z 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4340, 42zmulcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
44433ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
45 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
47 zltlem1 12667 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 · 2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 2) < 𝑃 ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
4844, 46, 47syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) < 𝑃 ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
4948biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5039, 49sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5150ex 411 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
5251com23 86 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
5329, 52sylbid 239 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
5453a1d 25 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑖 → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))))
5554imp32 417 . . . . . 6 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5621, 55sylbi 216 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5756impcom 406 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) < 𝑃)
58 modid 13916 . . . 4 ((((𝑖 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑖 · 2) ∧ (𝑖 · 2) < 𝑃)) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑖 · 2))
599, 20, 57, 58syl12anc 835 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑖 · 2))
6059eqcomd 2732 . 2 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
6160ralrimiva 3136 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494   / cdiv 11921  cn 12264  2c2 12319  cz 12610  +crp 13028  ...cfz 13538   mod cmo 13889  cdvds 16256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fl 13812  df-mod 13890
This theorem is referenced by:  2lgslem1a  27420
  Copyright terms: Public domain W3C validator