MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2iun1dif1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2iun1dif1 15716
Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hash2iun1dif1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
hash2iun1dif1.b ๐ต = (๐ด โˆ– {๐‘ฅ})
hash2iun1dif1.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ Fin)
hash2iun1dif1.da (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
hash2iun1dif1.db ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ Disj ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
hash2iun1dif1.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ถ) = 1)
Assertion
Ref Expression
hash2iun1dif1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ต   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem hash2iun1dif1
StepHypRef Expression
1 hash2iun1dif1.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2 hash2iun1dif1.b . . . 4 ๐ต = (๐ด โˆ– {๐‘ฅ})
3 diffi 9130 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐ด โˆ– {๐‘ฅ}) โˆˆ Fin)
41, 3syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– {๐‘ฅ}) โˆˆ Fin)
54adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ– {๐‘ฅ}) โˆˆ Fin)
62, 5eqeltrid 2842 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
7 hash2iun1dif1.c . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ Fin)
8 hash2iun1dif1.da . . 3 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
9 hash2iun1dif1.db . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ Disj ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
101, 6, 7, 8, 9hash2iun 15715 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โ™ฏโ€˜๐ถ))
11 hash2iun1dif1.1 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ถ) = 1)
12112sumeq2dv 15597 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โ™ฏโ€˜๐ถ) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต 1)
13 1cnd 11157 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
14 fsumconst 15682 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต 1 = ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1))
156, 13, 14syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต 1 = ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1))
1615sumeq2dv 15595 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต 1 = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1))
172a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต = (๐ด โˆ– {๐‘ฅ}))
1817fveq2d 6851 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (โ™ฏโ€˜(๐ด โˆ– {๐‘ฅ})))
19 hashdifsn 14321 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โˆ– {๐‘ฅ})) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
201, 19sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โˆ– {๐‘ฅ})) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
2118, 20eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
2221oveq1d 7377 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1) = (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท 1))
2322sumeq2dv 15595 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท 1))
24 hashcl 14263 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
251, 24syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
2625nn0cnd 12482 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
27 peano2cnm 11474 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2928mulid1d 11179 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
3029sumeq2sdv 15596 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
31 fsumconst 15682 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
321, 28, 31syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
3330, 32eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
3416, 23, 333eqtrd 2781 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต 1 = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
3510, 12, 343eqtrd 2781 1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3912  {csn 4591  โˆช ciun 4959  Disj wdisj 5075  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  1c1 11059   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  โ„•0cn0 12420  โ™ฏchash 14237  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  29318  fusgreghash2wspv  29321
  Copyright terms: Public domain W3C validator