MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2iun1dif1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2iun1dif1 15177
Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hash2iun1dif1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.b 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
hash2iun1dif1.c ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.da (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.db ((𝜑𝑥𝐴) → Disj 𝑦𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.1 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → (♯‘𝐶) = 1)
Assertion
Ref Expression
hash2iun1dif1 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hash2iun1dif1
StepHypRef Expression
1 hash2iun1dif1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 hash2iun1dif1.b . . . 4 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
3 diffi 8743 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
54adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
62, 5eqeltrid 2920 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
7 hash2iun1dif1.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
8 hash2iun1dif1.da . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶)
9 hash2iun1dif1.db . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → Disj 𝑦𝐵 𝐶)
101, 6, 7, 8, 9hash2iun 15176 . 2 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶) = Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 (♯‘𝐶))
11 hash2iun1dif1.1 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → (♯‘𝐶) = 1)
12112sumeq2dv 15060 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 (♯‘𝐶) = Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 1)
13 1cnd 10630 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℂ)
14 fsumconst 15143 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑦𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
156, 13, 14syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑦𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
1615sumeq2dv 15058 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 1 = Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐵) · 1))
172a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥}))
1817fveq2d 6663 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})))
19 hashdifsn 13778 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((♯‘𝐴) − 1))
201, 19sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((♯‘𝐴) − 1))
2118, 20eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴) − 1))
2221oveq1d 7161 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((♯‘𝐵) · 1) = (((♯‘𝐴) − 1) · 1))
2322sumeq2dv 15058 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐵) · 1) = Σ𝑥𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1))
24 hashcl 13720 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
251, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2625nn0cnd 11952 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
27 peano2cnm 10946 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
2928mulid1d 10652 . . . . 5 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = ((♯‘𝐴) − 1))
3029sumeq2sdv 15059 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐴) − 1))
31 fsumconst 15143 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ) → Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐴) − 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
321, 28, 31syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐴) − 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
3330, 32eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
3416, 23, 333eqtrd 2863 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 1 = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
3510, 12, 343eqtrd 2863 1 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3916  {csn 4550   ciun 4906  Disj wdisj 5018  cfv 6344  (class class class)co 7146  Fincfn 8501  cc 10529  1c1 10532   · cmul 10536  cmin 10864  0cn0 11892  chash 13693  Σcsu 15040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-oi 8967  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-sum 15041
This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  28115  fusgreghash2wspv  28118
  Copyright terms: Public domain W3C validator