Theorem hash2iun1dif1 15751

Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hash2iun1dif1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.b	⊢ 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
hash2iun1dif1.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.da	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.db	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Disj 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (♯‘𝐶) = 1)

Assertion

Ref	Expression
hash2iun1dif1	⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hash2iun1dif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2iun1dif1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		hash2iun1dif1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
3		diffi 9103	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
6	2, 5	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
7		hash2iun1dif1.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
8		hash2iun1dif1.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
9		hash2iun1dif1.db	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Disj 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
10	1, 6, 7, 8, 9	hash2iun 15750	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 (♯‘𝐶))
11		hash2iun1dif1.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (♯‘𝐶) = 1)
12	11	2sumeq2dv 15632	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 (♯‘𝐶) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1)
13		1cnd 11131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
14		fsumconst 15717	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
15	6, 13, 14	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
16	15	sumeq2dv 15629	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐵) · 1))
17	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥}))
18	17	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})))
19		hashdifsn 14341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((♯‘𝐴) − 1))
20	1, 19	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((♯‘𝐴) − 1))
21	18, 20	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴) − 1))
22	21	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐵) · 1) = (((♯‘𝐴) − 1) · 1))
23	22	sumeq2dv 15629	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐵) · 1) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1))
24		hashcl 14283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
25	1, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
26	25	nn0cnd 12468	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
27		peano2cnm 11451	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
29	28	mulridd 11153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = ((♯‘𝐴) − 1))
30	29	sumeq2sdv 15630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐴) − 1))
31		fsumconst 15717	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐴) − 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
32	1, 28, 31	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐴) − 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
33	30, 32	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
34	16, 23, 33	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
35	10, 12, 34	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3899  {csn 4581  ∪ ciun 4947  Disj wdisj 5066  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  ℂcc 11028  1c1 11031   · cmul 11035   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12405  ♯chash 14257  Σcsu 15613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614

This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  30411  fusgreghash2wspv  30414