Theorem hash2iun1dif1 15179

Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hash2iun1dif1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.b	⊢ 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
hash2iun1dif1.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.da	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.db	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Disj 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (♯‘𝐶) = 1)

Assertion

Ref	Expression
hash2iun1dif1	⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hash2iun1dif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2iun1dif1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		hash2iun1dif1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
3		diffi 8750	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
6	2, 5	eqeltrid 2917	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
7		hash2iun1dif1.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
8		hash2iun1dif1.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
9		hash2iun1dif1.db	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Disj 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
10	1, 6, 7, 8, 9	hash2iun 15178	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 (♯‘𝐶))
11		hash2iun1dif1.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (♯‘𝐶) = 1)
12	11	2sumeq2dv 15062	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 (♯‘𝐶) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1)
13		1cnd 10636	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
14		fsumconst 15145	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
15	6, 13, 14	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
16	15	sumeq2dv 15060	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐵) · 1))
17	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥}))
18	17	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})))
19		hashdifsn 13776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((♯‘𝐴) − 1))
20	1, 19	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((♯‘𝐴) − 1))
21	18, 20	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴) − 1))
22	21	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐵) · 1) = (((♯‘𝐴) − 1) · 1))
23	22	sumeq2dv 15060	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐵) · 1) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1))
24		hashcl 13718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
25	1, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
26	25	nn0cnd 11958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
27		peano2cnm 10952	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
29	28	mulid1d 10658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = ((♯‘𝐴) − 1))
30	29	sumeq2sdv 15061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐴) − 1))
31		fsumconst 15145	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐴) − 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
32	1, 28, 31	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐴) − 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
33	30, 32	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
34	16, 23, 33	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
35	10, 12, 34	3eqtrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3933  {csn 4567  ∪ ciun 4919  Disj wdisj 5031  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  ℂcc 10535  1c1 10538   · cmul 10542   − cmin 10870  ℕ₀cn0 11898  ♯chash 13691  Σcsu 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-disj 5032  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043

This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  28111  fusgreghash2wspv  28114