![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > hash2iun1dif1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
hash2iun1dif1.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
hash2iun1dif1.b | โข ๐ต = (๐ด โ {๐ฅ}) |
hash2iun1dif1.c | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ ๐ถ โ Fin) |
hash2iun1dif1.da | โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) |
hash2iun1dif1.db | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ Disj ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) |
hash2iun1dif1.1 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (โฏโ๐ถ) = 1) |
Ref | Expression |
---|---|
hash2iun1dif1 | โข (๐ โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) = ((โฏโ๐ด) ยท ((โฏโ๐ด) โ 1))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | hash2iun1dif1.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
2 | hash2iun1dif1.b | . . . 4 โข ๐ต = (๐ด โ {๐ฅ}) | |
3 | diffi 9130 | . . . . . 6 โข (๐ด โ Fin โ (๐ด โ {๐ฅ}) โ Fin) | |
4 | 1, 3 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด โ {๐ฅ}) โ Fin) |
5 | 4 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (๐ด โ {๐ฅ}) โ Fin) |
6 | 2, 5 | eqeltrid 2842 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) |
7 | hash2iun1dif1.c | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ ๐ถ โ Fin) | |
8 | hash2iun1dif1.da | . . 3 โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) | |
9 | hash2iun1dif1.db | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ Disj ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) | |
10 | 1, 6, 7, 8, 9 | hash2iun 15715 | . 2 โข (๐ โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ฮฃ๐ฆ โ ๐ต (โฏโ๐ถ)) |
11 | hash2iun1dif1.1 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (โฏโ๐ถ) = 1) | |
12 | 11 | 2sumeq2dv 15597 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ฮฃ๐ฆ โ ๐ต (โฏโ๐ถ) = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ฮฃ๐ฆ โ ๐ต 1) |
13 | 1cnd 11157 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 1 โ โ) | |
14 | fsumconst 15682 | . . . . 5 โข ((๐ต โ Fin โง 1 โ โ) โ ฮฃ๐ฆ โ ๐ต 1 = ((โฏโ๐ต) ยท 1)) | |
15 | 6, 13, 14 | syl2anc 585 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ฮฃ๐ฆ โ ๐ต 1 = ((โฏโ๐ต) ยท 1)) |
16 | 15 | sumeq2dv 15595 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ฮฃ๐ฆ โ ๐ต 1 = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ((โฏโ๐ต) ยท 1)) |
17 | 2 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต = (๐ด โ {๐ฅ})) |
18 | 17 | fveq2d 6851 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (โฏโ๐ต) = (โฏโ(๐ด โ {๐ฅ}))) |
19 | hashdifsn 14321 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ Fin โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (โฏโ(๐ด โ {๐ฅ})) = ((โฏโ๐ด) โ 1)) | |
20 | 1, 19 | sylan 581 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (โฏโ(๐ด โ {๐ฅ})) = ((โฏโ๐ด) โ 1)) |
21 | 18, 20 | eqtrd 2777 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (โฏโ๐ต) = ((โฏโ๐ด) โ 1)) |
22 | 21 | oveq1d 7377 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ((โฏโ๐ต) ยท 1) = (((โฏโ๐ด) โ 1) ยท 1)) |
23 | 22 | sumeq2dv 15595 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ((โฏโ๐ต) ยท 1) = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด (((โฏโ๐ด) โ 1) ยท 1)) |
24 | hashcl 14263 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด โ Fin โ (โฏโ๐ด) โ โ0) | |
25 | 1, 24 | syl 17 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (โฏโ๐ด) โ โ0) |
26 | 25 | nn0cnd 12482 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (โฏโ๐ด) โ โ) |
27 | peano2cnm 11474 | . . . . . . 7 โข ((โฏโ๐ด) โ โ โ ((โฏโ๐ด) โ 1) โ โ) | |
28 | 26, 27 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((โฏโ๐ด) โ 1) โ โ) |
29 | 28 | mulid1d 11179 | . . . . 5 โข (๐ โ (((โฏโ๐ด) โ 1) ยท 1) = ((โฏโ๐ด) โ 1)) |
30 | 29 | sumeq2sdv 15596 | . . . 4 โข (๐ โ ฮฃ๐ฅ โ ๐ด (((โฏโ๐ด) โ 1) ยท 1) = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ((โฏโ๐ด) โ 1)) |
31 | fsumconst 15682 | . . . . 5 โข ((๐ด โ Fin โง ((โฏโ๐ด) โ 1) โ โ) โ ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ((โฏโ๐ด) โ 1) = ((โฏโ๐ด) ยท ((โฏโ๐ด) โ 1))) | |
32 | 1, 28, 31 | syl2anc 585 | . . . 4 โข (๐ โ ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ((โฏโ๐ด) โ 1) = ((โฏโ๐ด) ยท ((โฏโ๐ด) โ 1))) |
33 | 30, 32 | eqtrd 2777 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ๐ฅ โ ๐ด (((โฏโ๐ด) โ 1) ยท 1) = ((โฏโ๐ด) ยท ((โฏโ๐ด) โ 1))) |
34 | 16, 23, 33 | 3eqtrd 2781 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ฮฃ๐ฆ โ ๐ต 1 = ((โฏโ๐ด) ยท ((โฏโ๐ด) โ 1))) |
35 | 10, 12, 34 | 3eqtrd 2781 | 1 โข (๐ โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ฆ โ ๐ต ๐ถ) = ((โฏโ๐ด) ยท ((โฏโ๐ด) โ 1))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ cdif 3912 {csn 4591 โช ciun 4959 Disj wdisj 5075 โcfv 6501 (class class class)co 7362 Fincfn 8890 โcc 11056 1c1 11059 ยท cmul 11063 โ cmin 11392 โ0cn0 12420 โฏchash 14237 ฮฃcsu 15577 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-inf2 9584 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 ax-pre-sup 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-int 4913 df-iun 4961 df-disj 5076 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-se 5594 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-isom 6510 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-1o 8417 df-oadd 8421 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-sup 9385 df-oi 9453 df-dju 9844 df-card 9882 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-div 11820 df-nn 12161 df-2 12223 df-3 12224 df-n0 12421 df-z 12507 df-uz 12771 df-rp 12923 df-fz 13432 df-fzo 13575 df-seq 13914 df-exp 13975 df-hash 14238 df-cj 14991 df-re 14992 df-im 14993 df-sqrt 15127 df-abs 15128 df-clim 15377 df-sum 15578 |
This theorem is referenced by: frgrhash2wsp 29318 fusgreghash2wspv 29321 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |