MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2iun1dif1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2iun1dif1 15794
Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hash2iun1dif1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
hash2iun1dif1.b ๐ต = (๐ด โˆ– {๐‘ฅ})
hash2iun1dif1.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ Fin)
hash2iun1dif1.da (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
hash2iun1dif1.db ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ Disj ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
hash2iun1dif1.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ถ) = 1)
Assertion
Ref Expression
hash2iun1dif1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ต   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem hash2iun1dif1
StepHypRef Expression
1 hash2iun1dif1.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2 hash2iun1dif1.b . . . 4 ๐ต = (๐ด โˆ– {๐‘ฅ})
3 diffi 9195 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐ด โˆ– {๐‘ฅ}) โˆˆ Fin)
41, 3syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– {๐‘ฅ}) โˆˆ Fin)
54adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ– {๐‘ฅ}) โˆˆ Fin)
62, 5eqeltrid 2832 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
7 hash2iun1dif1.c . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ Fin)
8 hash2iun1dif1.da . . 3 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
9 hash2iun1dif1.db . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ Disj ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
101, 6, 7, 8, 9hash2iun 15793 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โ™ฏโ€˜๐ถ))
11 hash2iun1dif1.1 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ถ) = 1)
12112sumeq2dv 15675 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โ™ฏโ€˜๐ถ) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต 1)
13 1cnd 11231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
14 fsumconst 15760 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต 1 = ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1))
156, 13, 14syl2anc 583 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต 1 = ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1))
1615sumeq2dv 15673 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต 1 = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1))
172a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต = (๐ด โˆ– {๐‘ฅ}))
1817fveq2d 6895 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (โ™ฏโ€˜(๐ด โˆ– {๐‘ฅ})))
19 hashdifsn 14397 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โˆ– {๐‘ฅ})) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
201, 19sylan 579 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด โˆ– {๐‘ฅ})) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
2118, 20eqtrd 2767 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
2221oveq1d 7429 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1) = (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท 1))
2322sumeq2dv 15673 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท 1))
24 hashcl 14339 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
251, 24syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
2625nn0cnd 12556 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
27 peano2cnm 11548 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2928mulridd 11253 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
3029sumeq2sdv 15674 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
31 fsumconst 15760 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
321, 28, 31syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
3330, 32eqtrd 2767 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
3416, 23, 333eqtrd 2771 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต 1 = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
3510, 12, 343eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โˆ– cdif 3941  {csn 4624  โˆช ciun 4991  Disj wdisj 5107  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  โ„‚cc 11128  1c1 11131   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466  โ„•0cn0 12494  โ™ฏchash 14313  ฮฃcsu 15656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657
This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  30129  fusgreghash2wspv  30132
  Copyright terms: Public domain W3C validator