Theorem numclwwlk7 29644

Description: Statement 14 in [Huneke] p. 2: "The total number of closed walks of length p [in a friendship graph] is (k(k-1)+1)f(p)=1 (mod p)", since the number of vertices in a friendship graph is (k(k-1)+1), see frrusgrord0 29593 or frrusgrord 29594, and p divides (k-1), i.e., (k-1) mod p = 0 => k(k-1) mod p = 0 => k(k-1)+1 mod p = 1. Since the null graph is a friendship graph, see frgr0 29518, as well as k-regular (for any k), see 0vtxrgr 28833, but has no closed walk, see 0clwlk0 29385, this theorem would be false for a null graph: ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0 ≠ 1, so this case must be excluded (by assuming 𝑉 ≠ ∅). (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk6.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk7	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem numclwwlk7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
3		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ∈ Fin)
4	1, 2, 3	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
5		numclwwlk6.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6	5	numclwwlk6 29643	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
7	4, 6	stoic3 1779	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
8		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
9	8	ancomd 463	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
10		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
11	10	ancomd 463	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))
12	5	frrusgrord 29594	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
13	9, 11, 12	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
14	13	oveq1d 7424	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘𝑉) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
15	5	numclwwlk7lem 29642	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
16		nn0cn 12482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
17		peano2cnm 11526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
19	16, 18	mulcomd 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 − 1) · 𝐾))
20	19	oveq1d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
21	20	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
22		prmnn 16611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
23	22	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
24		nn0z 12583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		peano2zm 12605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
27	26	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
28	24	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
29	23, 27, 28	3jca 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
30		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
31		mulmoddvds 16273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0))
32	29, 30, 31	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0)
33	21, 32	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = 0)
34	22	nnred 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
35		prmgt1 16634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
36	34, 35	jca 513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
37	36	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
38		1mod 13868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
40	33, 39	oveq12d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) = (0 + 1))
41	40	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
42		nn0re 12481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
43		peano2rem 11527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 11244	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
46	45	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47		1red 11215	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
48	22	nnrpd 13014	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
49	48	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
50		modaddabs 13874	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
52		0p1e1 12334	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
53	52	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
54	34, 35, 38	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
55	54	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
56	53, 55	eqtrid 2785	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
57	41, 51, 56	3eqtr3d 2781	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
58	15, 57	stoic3 1779	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
59	7, 14, 58	3eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248   − cmin 11444  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12974   mod cmo 13834  ♯chash 14290   ∥ cdvds 16197  ℙcprime 16608  Vtxcvtx 28256   RegUSGraph crusgr 28813   ClWWalksN cclwwlkn 29277   FriendGraph cfrgr 29511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-s2 14799  df-s3 14800  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-vtx 28258  df-iedg 28259  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-ushgr 28319  df-upgr 28342  df-umgr 28343  df-uspgr 28410  df-usgr 28411  df-fusgr 28574  df-nbgr 28590  df-vtxdg 28723  df-rgr 28814  df-rusgr 28815  df-wlks 28856  df-wlkson 28857  df-trls 28949  df-trlson 28950  df-pths 28973  df-spths 28974  df-pthson 28975  df-spthson 28976  df-wwlks 29084  df-wwlksn 29085  df-wwlksnon 29086  df-wspthsn 29087  df-wspthsnon 29088  df-clwwlk 29235  df-clwwlkn 29278  df-clwwlknon 29341  df-frgr 29512

This theorem is referenced by:  frgrreggt1  29646