MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk7 27776
Description: Statement 14 in [Huneke] p. 2: "The total number of closed walks of length p [in a friendship graph] is (k(k-1)+1)f(p)=1 (mod p)", since the number of vertices in a friendship graph is (k(k-1)+1), see frrusgrord0 27689 or frrusgrord 27690, and p divides (k-1), i.e. (k-1) mod p = 0 => k(k-1) mod p = 0 => k(k-1)+1 mod p = 1. Since the null graph is a friendship graph, see frgr0 27613, as well as k-regular (for any k), see 0vtxrgr 26826, but has no closed walk, see 0clwlk0 27476, this theorem would be false for a null graph: ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0 ≠ 1, so this case must be excluded (by assuming 𝑉 ≠ ∅). (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk6.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk7 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem numclwwlk7
StepHypRef Expression
1 simpll 784 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
2 simplr 786 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
3 simprr 790 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ∈ Fin)
41, 2, 33jca 1159 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
5 numclwwlk6.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
65numclwwlk6 27775 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
74, 6stoic3 1872 . 2 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
8 simp2 1168 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
98ancomd 454 . . . . 5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
10 simp1 1167 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
1110ancomd 454 . . . . 5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾))
125frrusgrord 27690 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
139, 11, 12sylc 65 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
1413oveq1d 6893 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘𝑉) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
155numclwwlk7lem 27774 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
16 nn0cn 11591 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
17 peano2cnm 10639 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
1916, 18mulcomd 10350 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 − 1) · 𝐾))
2019oveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
2120adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
22 prmnn 15722 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2322ad2antrl 720 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
24 nn0z 11690 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
25 peano2zm 11710 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
2726adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
2824adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
2923, 27, 283jca 1159 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
30 simprr 790 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
31 mulmoddvds 15390 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0))
3229, 30, 31sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0)
3321, 32eqtrd 2833 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = 0)
3422nnred 11329 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
35 prmgt1 15743 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
3634, 35jca 508 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
3736ad2antrl 720 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
38 1mod 12957 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
4033, 39oveq12d 6896 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) = (0 + 1))
4140oveq1d 6893 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
42 nn0re 11590 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
43 peano2rem 10640 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 10359 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
4645adantr 473 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47 1red 10329 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
4822nnrpd 12115 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
4948ad2antrl 720 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
50 modaddabs 12963 . . . . . 6 (((𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1491 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
52 0p1e1 11442 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
5352oveq1i 6888 . . . . . 6 ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
5434, 35, 38syl2anc 580 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
5554ad2antrl 720 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
5653, 55syl5eq 2845 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
5741, 51, 563eqtr3d 2841 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
5815, 57stoic3 1872 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
5914, 58eqtrd 2833 . 2 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘𝑉) mod 𝑃) = 1)
607, 59eqtrd 2833 1 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  c0 4115   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10363  cmin 10556  cn 11312  0cn0 11580  cz 11666  +crp 12074   mod cmo 12923  chash 13370  cdvds 15319  cprime 15719  Vtxcvtx 26231  RegUSGraphcrusgr 26806   ClWWalksN cclwwlkn 27326   FriendGraph cfrgr 27605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-ac2 9573  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-ifp 1087  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-disj 4812  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-ac 9225  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-xadd 12194  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-word 13535  df-lsw 13583  df-concat 13591  df-s1 13616  df-substr 13665  df-pfx 13714  df-s2 13933  df-s3 13934  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-sum 14758  df-dvds 15320  df-gcd 15552  df-prm 15720  df-phi 15804  df-vtx 26233  df-iedg 26234  df-edg 26283  df-uhgr 26293  df-ushgr 26294  df-upgr 26317  df-umgr 26318  df-uspgr 26386  df-usgr 26387  df-fusgr 26551  df-nbgr 26567  df-vtxdg 26716  df-rgr 26807  df-rusgr 26808  df-wlks 26849  df-wlkson 26850  df-trls 26945  df-trlson 26946  df-pths 26970  df-spths 26971  df-pthson 26972  df-spthson 26973  df-wwlks 27081  df-wwlksn 27082  df-wwlksnon 27083  df-wspthsn 27084  df-wspthsnon 27085  df-clwwlk 27275  df-clwwlkn 27328  df-clwwlknon 27424  df-frgr 27606
This theorem is referenced by:  frgrreggt1  27778
  Copyright terms: Public domain W3C validator