MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk7 29911
Description: Statement 14 in [Huneke] p. 2: "The total number of closed walks of length p [in a friendship graph] is (k(k-1)+1)f(p)=1 (mod p)", since the number of vertices in a friendship graph is (k(k-1)+1), see frrusgrord0 29860 or frrusgrord 29861, and p divides (k-1), i.e., (k-1) mod p = 0 => k(k-1) mod p = 0 => k(k-1)+1 mod p = 1. Since the null graph is a friendship graph, see frgr0 29785, as well as k-regular (for any k), see 0vtxrgr 29100, but has no closed walk, see 0clwlk0 29652, this theorem would be false for a null graph: ((โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ ClWWalksN ๐บ)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ‰  1, so this case must be excluded (by assuming ๐‘‰ โ‰  โˆ…). (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk6.v ๐‘‰ = (Vtxโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk7 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ ClWWalksN ๐บ)) mod ๐‘ƒ) = 1)

Proof of Theorem numclwwlk7
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . . 4 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin)) โ†’ ๐บ RegUSGraph ๐พ)
2 simplr 765 . . . 4 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin)) โ†’ ๐บ โˆˆ FriendGraph )
3 simprr 769 . . . 4 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin)) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ Fin)
41, 2, 33jca 1126 . . 3 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin)) โ†’ (๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin))
5 numclwwlk6.v . . . 4 ๐‘‰ = (Vtxโ€˜๐บ)
65numclwwlk6 29910 . . 3 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ ClWWalksN ๐บ)) mod ๐‘ƒ) = ((โ™ฏโ€˜๐‘‰) mod ๐‘ƒ))
74, 6stoic3 1776 . 2 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ ClWWalksN ๐บ)) mod ๐‘ƒ) = ((โ™ฏโ€˜๐‘‰) mod ๐‘ƒ))
8 simp2 1135 . . . . 5 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin))
98ancomd 460 . . . 4 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‰ โˆˆ Fin โˆง ๐‘‰ โ‰  โˆ…))
10 simp1 1134 . . . . 5 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ))
1110ancomd 460 . . . 4 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐บ โˆˆ FriendGraph โˆง ๐บ RegUSGraph ๐พ))
125frrusgrord 29861 . . . 4 ((๐‘‰ โˆˆ Fin โˆง ๐‘‰ โ‰  โˆ…) โ†’ ((๐บ โˆˆ FriendGraph โˆง ๐บ RegUSGraph ๐พ) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‰) = ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) + 1)))
139, 11, 12sylc 65 . . 3 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‰) = ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) + 1))
1413oveq1d 7426 . 2 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‰) mod ๐‘ƒ) = (((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) + 1) mod ๐‘ƒ))
155numclwwlk7lem 29909 . . 3 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
16 nn0cn 12486 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
17 peano2cnm 11530 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
1916, 18mulcomd 11239 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) = ((๐พ โˆ’ 1) ยท ๐พ))
2019oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) mod ๐‘ƒ) = (((๐พ โˆ’ 1) ยท ๐พ) mod ๐‘ƒ))
2120adantr 479 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) mod ๐‘ƒ) = (((๐พ โˆ’ 1) ยท ๐พ) mod ๐‘ƒ))
22 prmnn 16615 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2322ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
24 nn0z 12587 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
25 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2726adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2824adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
2923, 27, 283jca 1126 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค))
30 simprr 769 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))
31 mulmoddvds 16277 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1) โ†’ (((๐พ โˆ’ 1) ยท ๐พ) mod ๐‘ƒ) = 0))
3229, 30, 31sylc 65 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐พ โˆ’ 1) ยท ๐พ) mod ๐‘ƒ) = 0)
3321, 32eqtrd 2770 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) mod ๐‘ƒ) = 0)
3422nnred 12231 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
35 prmgt1 16638 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
3634, 35jca 510 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
3736ad2antrl 724 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
38 1mod 13872 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ) โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
4033, 39oveq12d 7429 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) mod ๐‘ƒ) + (1 mod ๐‘ƒ)) = (0 + 1))
4140oveq1d 7426 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) mod ๐‘ƒ) + (1 mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((0 + 1) mod ๐‘ƒ))
42 nn0re 12485 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
43 peano2rem 11531 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4542, 44remulcld 11248 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
4645adantr 479 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
47 1red 11219 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4822nnrpd 13018 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
4948ad2antrl 724 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
50 modaddabs 13878 . . . . 5 (((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) mod ๐‘ƒ) + (1 mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) + 1) mod ๐‘ƒ))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1369 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) mod ๐‘ƒ) + (1 mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) + 1) mod ๐‘ƒ))
52 0p1e1 12338 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5352oveq1i 7421 . . . . 5 ((0 + 1) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ)
5434, 35, 38syl2anc 582 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
5554ad2antrl 724 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (1 mod ๐‘ƒ) = 1)
5653, 55eqtrid 2782 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((0 + 1) mod ๐‘ƒ) = 1)
5741, 51, 563eqtr3d 2778 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 1)
5815, 57stoic3 1776 . 2 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 1)
597, 14, 583eqtrd 2774 1 (((๐บ RegUSGraph ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ FriendGraph ) โˆง (๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ ClWWalksN ๐บ)) mod ๐‘ƒ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978   mod cmo 13838  โ™ฏchash 14294   โˆฅ cdvds 16201  โ„™cprime 16612  Vtxcvtx 28523   RegUSGraph crusgr 29080   ClWWalksN cclwwlkn 29544   FriendGraph cfrgr 29778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-s2 14803  df-s3 14804  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703  df-vtx 28525  df-iedg 28526  df-edg 28575  df-uhgr 28585  df-ushgr 28586  df-upgr 28609  df-umgr 28610  df-uspgr 28677  df-usgr 28678  df-fusgr 28841  df-nbgr 28857  df-vtxdg 28990  df-rgr 29081  df-rusgr 29082  df-wlks 29123  df-wlkson 29124  df-trls 29216  df-trlson 29217  df-pths 29240  df-spths 29241  df-pthson 29242  df-spthson 29243  df-wwlks 29351  df-wwlksn 29352  df-wwlksnon 29353  df-wspthsn 29354  df-wspthsnon 29355  df-clwwlk 29502  df-clwwlkn 29545  df-clwwlknon 29608  df-frgr 29779
This theorem is referenced by:  frgrreggt1  29913
  Copyright terms: Public domain W3C validator