Theorem numclwwlk7 30320

Description: Statement 14 in [Huneke] p. 2: "The total number of closed walks of length p [in a friendship graph] is (k(k-1)+1)f(p)=1 (mod p)", since the number of vertices in a friendship graph is (k(k-1)+1), see frrusgrord0 30269 or frrusgrord 30270, and p divides (k-1), i.e., (k-1) mod p = 0 => k(k-1) mod p = 0 => k(k-1)+1 mod p = 1. Since the null graph is a friendship graph, see frgr0 30194, as well as k-regular (for any k), see 0vtxrgr 29504, but has no closed walk, see 0clwlk0 30061, this theorem would be false for a null graph: ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0 ≠ 1, so this case must be excluded (by assuming 𝑉 ≠ ∅). (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk6.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk7	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem numclwwlk7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
3		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ∈ Fin)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
5		numclwwlk6.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6	5	numclwwlk6 30319	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
7	4, 6	stoic3 1776	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
8		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
9	8	ancomd 461	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
10		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
11	10	ancomd 461	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))
12	5	frrusgrord 30270	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
13	9, 11, 12	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
14	13	oveq1d 7402	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘𝑉) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
15	5	numclwwlk7lem 30318	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
16		nn0cn 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
17		peano2cnm 11488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
19	16, 18	mulcomd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 − 1) · 𝐾))
20	19	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
22		prmnn 16644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
23	22	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
24		nn0z 12554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		peano2zm 12576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
28	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
29	23, 27, 28	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
30		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
31		mulmoddvds 16300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0))
32	29, 30, 31	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0)
33	21, 32	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = 0)
34	22	nnred 12201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
35		prmgt1 16667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
36	34, 35	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
37	36	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
38		1mod 13865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
40	33, 39	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) = (0 + 1))
41	40	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
42		nn0re 12451	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
43		peano2rem 11489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 11204	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47		1red 11175	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
48	22	nnrpd 12993	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
49	48	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
50		modaddabs 13873	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
52		0p1e1 12303	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
53	52	oveq1i 7397	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
54	34, 35, 38	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
55	54	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
56	53, 55	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
57	41, 51, 56	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
58	15, 57	stoic3 1776	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
59	7, 14, 58	3eqtrd 2768	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℝ⁺crp 12951   mod cmo 13831  ♯chash 14295   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16641  Vtxcvtx 28923   RegUSGraph crusgr 29484   ClWWalksN cclwwlkn 29953   FriendGraph cfrgr 30187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-xadd 13073  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-word 14479  df-lsw 14528  df-concat 14536  df-s1 14561  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-s2 14814  df-s3 14815  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-phi 16736  df-vtx 28925  df-iedg 28926  df-edg 28975  df-uhgr 28985  df-ushgr 28986  df-upgr 29009  df-umgr 29010  df-uspgr 29077  df-usgr 29078  df-fusgr 29244  df-nbgr 29260  df-vtxdg 29394  df-rgr 29485  df-rusgr 29486  df-wlks 29527  df-wlkson 29528  df-trls 29620  df-trlson 29621  df-pths 29644  df-spths 29645  df-pthson 29646  df-spthson 29647  df-wwlks 29760  df-wwlksn 29761  df-wwlksnon 29762  df-wspthsn 29763  df-wspthsnon 29764  df-clwwlk 29911  df-clwwlkn 29954  df-clwwlknon 30017  df-frgr 30188

This theorem is referenced by:  frgrreggt1  30322