MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk7 28085
Description: Statement 14 in [Huneke] p. 2: "The total number of closed walks of length p [in a friendship graph] is (k(k-1)+1)f(p)=1 (mod p)", since the number of vertices in a friendship graph is (k(k-1)+1), see frrusgrord0 28034 or frrusgrord 28035, and p divides (k-1), i.e. (k-1) mod p = 0 => k(k-1) mod p = 0 => k(k-1)+1 mod p = 1. Since the null graph is a friendship graph, see frgr0 27959, as well as k-regular (for any k), see 0vtxrgr 27273, but has no closed walk, see 0clwlk0 27826, this theorem would be false for a null graph: ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0 ≠ 1, so this case must be excluded (by assuming 𝑉 ≠ ∅). (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk6.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem numclwwlk7
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2 simplr 765 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
3 simprr 769 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ∈ Fin)
41, 2, 33jca 1122 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
5 numclwwlk6.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
65numclwwlk6 28084 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
74, 6stoic3 1770 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
8 simp2 1131 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
98ancomd 462 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
10 simp1 1130 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
1110ancomd 462 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))
125frrusgrord 28035 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
139, 11, 12sylc 65 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
1413oveq1d 7166 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘𝑉) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
155numclwwlk7lem 28083 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
16 nn0cn 11899 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
17 peano2cnm 10944 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
1916, 18mulcomd 10654 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 − 1) · 𝐾))
2019oveq1d 7166 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
2120adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
22 prmnn 16010 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2322ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
24 nn0z 11997 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
25 peano2zm 12017 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
2824adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
2923, 27, 283jca 1122 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
30 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
31 mulmoddvds 15671 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0))
3229, 30, 31sylc 65 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0)
3321, 32eqtrd 2860 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = 0)
3422nnred 11645 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
35 prmgt1 16033 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
3634, 35jca 512 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
3736ad2antrl 724 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
38 1mod 13264 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
4033, 39oveq12d 7169 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) = (0 + 1))
4140oveq1d 7166 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
42 nn0re 11898 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
43 peano2rem 10945 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 10663 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
4645adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47 1red 10634 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
4822nnrpd 12422 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
4948ad2antrl 724 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
50 modaddabs 13270 . . . . 5 (((𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1365 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
52 0p1e1 11751 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5352oveq1i 7161 . . . . 5 ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
5434, 35, 38syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
5554ad2antrl 724 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
5653, 55syl5eq 2872 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
5741, 51, 563eqtr3d 2868 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
5815, 57stoic3 1770 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
597, 14, 583eqtrd 2864 1 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  c0 4294   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  Fincfn 8501  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cmin 10862  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  +crp 12382   mod cmo 13230  chash 13683  cdvds 15599  cprime 16007  Vtxcvtx 26696   RegUSGraph crusgr 27253   ClWWalksN cclwwlkn 27717   FriendGraph cfrgr 27952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-ifp 1057  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-disj 5028  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-xadd 12501  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-word 13855  df-lsw 13908  df-concat 13916  df-s1 13943  df-substr 13996  df-pfx 14026  df-s2 14203  df-s3 14204  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036  df-dvds 15600  df-gcd 15836  df-prm 16008  df-phi 16095  df-vtx 26698  df-iedg 26699  df-edg 26748  df-uhgr 26758  df-ushgr 26759  df-upgr 26782  df-umgr 26783  df-uspgr 26850  df-usgr 26851  df-fusgr 27014  df-nbgr 27030  df-vtxdg 27163  df-rgr 27254  df-rusgr 27255  df-wlks 27296  df-wlkson 27297  df-trls 27389  df-trlson 27390  df-pths 27412  df-spths 27413  df-pthson 27414  df-spthson 27415  df-wwlks 27523  df-wwlksn 27524  df-wwlksnon 27525  df-wspthsn 27526  df-wspthsnon 27527  df-clwwlk 27675  df-clwwlkn 27718  df-clwwlknon 27782  df-frgr 27953
This theorem is referenced by:  frgrreggt1  28087
  Copyright terms: Public domain W3C validator