Theorem numclwwlk7 30682

Description: Statement 14 in [Huneke] p. 2: "The total number of closed walks of length p [in a friendship graph] is (k(k-1)+1)f(p)=1 (mod p)", since the number of vertices in a friendship graph is (k(k-1)+1), see frrusgrord0 30631 or frrusgrord 30632, and p divides (k-1), i.e., (k-1) mod p = 0 => k(k-1) mod p = 0 => k(k-1)+1 mod p = 1. Since the null graph is a friendship graph, see frgr0 30556, as well as k-regular (for any k), see 0vtxrgr 29866, but has no closed walk, see 0clwlk0 30423, this theorem would be false for a null graph: ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0 ≠ 1, so this case must be excluded (by assuming 𝑉 ≠ ∅). (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk6.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk7	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem numclwwlk7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
3		simprr 784	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ∈ Fin)
4	1, 2, 3	3jca 1144	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
5		numclwwlk6.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6	5	numclwwlk6 30681	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
7	4, 6	stoic3 1803	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
8		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
9	8	ancomd 466	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
10		simp1 1152	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
11	10	ancomd 466	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))
12	5	frrusgrord 30632	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
13	9, 11, 12	sylc 66	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
14	13	oveq1d 7426	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘𝑉) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
15	5	numclwwlk7lem 30680	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
16		nn0cn 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
17		peano2cnm 11523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
19	16, 18	mulcomd 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 − 1) · 𝐾))
20	19	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
21	20	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
22		prmnn 16731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
23	22	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
24		nn0z 12614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		peano2zm 12636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
27	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
28	24	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
29	23, 27, 28	3jca 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
30		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
31		mulmoddvds 16387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0))
32	29, 30, 31	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0)
33	21, 32	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = 0)
34	22	nnred 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
35		prmgt1 16755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
36	34, 35	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
37	36	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
38		1mod 13935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
39	37, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
40	33, 39	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) = (0 + 1))
41	40	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
42		nn0re 12512	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
43		peano2rem 11524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
46	45	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47		1red 11208	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
48	22	nnrpd 13057	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
49	48	ad2antrl 740	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
50		modaddabs 13943	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
52		0p1e1 12360	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
53	52	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
54	34, 35, 38	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
55	54	ad2antrl 740	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
56	53, 55	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
57	41, 51, 56	3eqtr3d 2812	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
58	15, 57	stoic3 1803	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
59	7, 14, 58	3eqtrd 2808	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   < clt 11242   − cmin 11440  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℝ⁺crp 13015   mod cmo 13901  ♯chash 14365   ∥ cdvds 16309  ℙcprime 16728  Vtxcvtx 29286   RegUSGraph crusgr 29846   ClWWalksN cclwwlkn 30315   FriendGraph cfrgr 30549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-disj 5081  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-xadd 13137  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-s2 14884  df-s3 14885  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-phi 16824  df-vtx 29288  df-iedg 29289  df-edg 29338  df-uhgr 29348  df-ushgr 29349  df-upgr 29372  df-umgr 29373  df-uspgr 29440  df-usgr 29441  df-fusgr 29607  df-nbgr 29623  df-vtxdg 29756  df-rgr 29847  df-rusgr 29848  df-wlks 29889  df-wlkson 29890  df-trls 29980  df-trlson 29981  df-pths 30003  df-spths 30004  df-pthson 30005  df-spthson 30006  df-wwlks 30119  df-wwlksn 30120  df-wwlksnon 30121  df-wspthsn 30122  df-wspthsnon 30123  df-clwwlk 30273  df-clwwlkn 30316  df-clwwlknon 30379  df-frgr 30550

This theorem is referenced by:  frgrreggt1  30684