Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zofldiv2ALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zofldiv2ALTV 42591
 Description: The floor of an odd numer divided by 2 is equal to the odd number first decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.) (Revised by AV, 18-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
zofldiv2ALTV (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem zofldiv2ALTV
StepHypRef Expression
1 oddz 42561 . . . . 5 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
21zcnd 11835 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℂ)
3 npcan1 10800 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
43eqcomd 2783 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
54oveq1d 6937 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) + 1) / 2))
6 peano2cnm 10689 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
7 1cnd 10371 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
8 2cnne0 11592 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
98a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
10 divdir 11058 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
116, 7, 9, 10syl3anc 1439 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
125, 11eqtrd 2813 . . . 4 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
132, 12syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
1413fveq2d 6450 . 2 (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))))
15 halfge0 11599 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
16 halflt1 11600 . . . 4 (1 / 2) < 1
1715, 16pm3.2i 464 . . 3 (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
18 oddm1div2z 42564 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
19 halfre 11596 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ
20 flbi2 12937 . . . 4 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2118, 19, 20sylancl 580 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2217, 21mpbiri 250 . 2 (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2))
2314, 22eqtrd 2813 1 (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   < clt 10411   ≤ cle 10412   − cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  ℤcz 11728  ⌊cfl 12910   Odd codd 42555 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fl 12912  df-odd 42557 This theorem is referenced by:  oddflALTV  42592
 Copyright terms: Public domain W3C validator