Theorem zofldiv2ALTV 48899

Description: The floor of an odd number divided by 2 is equal to the odd number first decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.) (Revised by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zofldiv2ALTV	⊢ (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem zofldiv2ALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 48868	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12814	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℂ)
3		npcan1 11751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
5	4	oveq1d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) + 1) / 2))
6		peano2cnm 11634	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
7		1cnd 11312	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
8		2cnne0 12565	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
10		divdir 12009	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
12	5, 11	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
13	2, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
14	13	fveq2d 6897	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))))
15		halfge0 12572	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
16		halflt1 12573	. . . 4 ⊢ (1 / 2) < 1
17	15, 16	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
18		oddm1div2z 48871	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
19		halfre 12569	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
20		flbi2 13967	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
21	18, 19, 20	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
22	17, 21	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2))
23	14, 22	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   < clt 11353   ≤ cle 11354   − cmin 11551   / cdiv 11983  2c2 12407  ℤcz 12703  ⌊cfl 13940   Odd codd 48862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fl 13942  df-odd 48864

This theorem is used by:  oddflALTV  48900