Theorem zofldiv2ALTV 48153

Description: The floor of an odd number divided by 2 is equal to the odd number first decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.) (Revised by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zofldiv2ALTV	⊢ (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem zofldiv2ALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 48122	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12625	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℂ)
3		npcan1 11566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
5	4	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) + 1) / 2))
6		peano2cnm 11451	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
7		1cnd 11130	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
8		2cnne0 12377	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
10		divdir 11825	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
12	5, 11	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
13	2, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
14	13	fveq2d 6831	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))))
15		halfge0 12384	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
16		halflt1 12385	. . . 4 ⊢ (1 / 2) < 1
17	15, 16	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
18		oddm1div2z 48125	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
19		halfre 12381	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
20		flbi2 13767	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
21	18, 19, 20	sylancl 592	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
22	17, 21	mpbiri 259	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2))
23	14, 22	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12227  ℤcz 12515  ⌊cfl 13740   Odd codd 48116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fl 13742  df-odd 48118

This theorem is referenced by:  oddflALTV  48154