Theorem zofldiv2ALTV 46007

Description: The floor of an odd numer divided by 2 is equal to the odd number first decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.) (Revised by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zofldiv2ALTV	⊢ (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem zofldiv2ALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 45976	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12632	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℂ)
3		npcan1 11604	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
5	4	oveq1d 7392	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) + 1) / 2))
6		peano2cnm 11491	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
7		1cnd 11174	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
8		2cnne0 12387	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
10		divdir 11862	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
12	5, 11	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
13	2, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 / 2) = (((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2)))
14	13	fveq2d 6866	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))))
15		halfge0 12394	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
16		halflt1 12395	. . . 4 ⊢ (1 / 2) < 1
17	15, 16	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
18		oddm1div2z 45979	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
19		halfre 12391	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
20		flbi2 13747	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
21	18, 19, 20	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
22	17, 21	mpbiri 257	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(((𝑁 − 1) / 2) + (1 / 2))) = ((𝑁 − 1) / 2))
23	14, 22	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   class class class wbr 5125  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11409   / cdiv 11836  2c2 12232  ℤcz 12523  ⌊cfl 13720   Odd codd 45970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fl 13722  df-odd 45972

This theorem is referenced by:  oddflALTV  46008