Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem3 45873
Description: Lemma 3 for lighneal 45877. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem3 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = 1)

Proof of Theorem lighneallem3
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = 1 โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘1))
2 2cn 12235 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
3 exp1 13980 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2โ†‘1) = 2)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (2โ†‘1) = 2
51, 4eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = 1 โ†’ (2โ†‘๐‘) = 2)
65oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = 1 โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (2 โˆ’ 1))
7 2m1e1 12286 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆ’ 1) = 1
86, 7eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = 1 โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = 1)
98adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ = 1) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = 1)
109eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ = 1) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” 1 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
11 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
12 prmnn 16557 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
13 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
1514nn0zd 12532 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
16 iddvdsexp 16169 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
1715, 16sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
18 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
1918adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง 1 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
20 dvds1 16208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†” ๐‘ƒ = 1))
2114, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†” ๐‘ƒ = 1))
22 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ = 1 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” 1 โˆˆ โ„™))
23 1nprm 16562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ยฌ 1 โˆˆ โ„™
2423pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘€ = 1)
2522, 24syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ = 1 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘€ = 1))
2611, 25syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ = 1 โ†’ ๐‘€ = 1))
2721, 26sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘€ = 1))
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง 1 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘€ = 1))
2919, 28sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง 1 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
3029ex 414 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
3117, 30mpid 44 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
3231adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ = 1) โ†’ (1 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
3310, 32sylbid 239 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ = 1) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
3433ex 414 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ = 1 โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
3534com23 86 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (๐‘ = 1 โ†’ ๐‘€ = 1)))
3635a1d 25 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (๐‘ = 1 โ†’ ๐‘€ = 1))))
37363adant3 1133 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (๐‘ = 1 โ†’ ๐‘€ = 1))))
38373imp 1112 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ (๐‘ = 1 โ†’ ๐‘€ = 1))
39 neqne 2952 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘ = 1 โ†’ ๐‘ โ‰  1)
4039anim2i 618 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ = 1) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰  1))
41 eluz2b3 12854 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰  1))
4240, 41sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
43 oddge22np1 16238 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ = 1) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘))
45443ad2antl3 1188 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ = 1) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘))
46 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)))
4746oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((2โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆ’ 1))
4847eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘ โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((2โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆ’ 1))
492a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
50 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 โˆˆ โ„•0
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
52 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
5351, 52nn0mulcld 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„•0)
5449, 53expp1d 14059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) ยท 2))
5551, 53nn0expcld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆˆ โ„•0)
5655nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
5756, 49mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘—))))
5854, 57eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘—))))
5958oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆ’ 1) = ((2 ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘—))) โˆ’ 1))
60 npcan1 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) + 1) = (2โ†‘(2 ยท ๐‘—)))
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) + 1) = (2โ†‘(2 ยท ๐‘—)))
6261eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) = (((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) + 1))
6362oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘—))) = (2 ยท (((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) + 1)))
64 peano2cnm 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
6556, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
66 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6749, 65, 66adddid 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) + 1)) = ((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + (2 ยท 1)))
6863, 67eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘—))) = ((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + (2 ยท 1)))
6968oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘—))) โˆ’ 1) = (((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + (2 ยท 1)) โˆ’ 1))
7049, 65mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
71 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 โˆˆ โ„‚
722, 71mulcli 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ยท 1) โˆˆ โ„‚
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 1) โˆˆ โ„‚)
7470, 73, 66addsubassd 11539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + (2 ยท 1)) โˆ’ 1) = ((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + ((2 ยท 1) โˆ’ 1)))
75 2t1e2 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ยท 1) = 2
7675oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ยท 1) โˆ’ 1) = (2 โˆ’ 1)
7776, 7eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ยท 1) โˆ’ 1) = 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท 1) โˆ’ 1) = 1)
7978oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + ((2 ยท 1) โˆ’ 1)) = ((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + 1))
8074, 79eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + (2 ยท 1)) โˆ’ 1) = ((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + 1))
8159, 69, 803eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆ’ 1) = ((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + 1))
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆ’ 1) = ((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + 1))
8348, 82sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + 1))
8483eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” ((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
85143ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
86 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
87863ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
8885, 87nn0expcld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„•0)
8988nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
9089adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
91 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9270adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
9390, 91, 923jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚))
9493adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚))
95 subadd2 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆ’ 1) = (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โ†” ((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆ’ 1) = (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โ†” ((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
97 nncn 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
9811, 12, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
99983ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
10099, 87pwm1geoser 15761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆ’ 1) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
101100adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆ’ 1) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
102101eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆ’ 1) = (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1))))
103102adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆ’ 1) = (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1))))
10499ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
105 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
106104, 105subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
107 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
10885adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
109 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
110109adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
111108, 110nn0expcld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
112111nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
113107, 112fsumzcl 15627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
114113zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
115114ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
116106, 115mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
11756ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
118117, 105subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
119 2rp 12927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 โˆˆ โ„+
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
121120rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
122 divmul2 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) / 2) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1))))
123116, 118, 121, 122syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) / 2) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1))))
124 div23 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) / 2) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
125106, 115, 121, 124syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) / 2) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
126125eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) / 2) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)))
12751nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
128 2nn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 โˆˆ โ„•
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
130 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
131129, 130nnmulcld 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„•)
132 iddvdsexp 16169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘(2 ยท ๐‘—)))
133127, 131, 132syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘(2 ยท ๐‘—)))
134133notnotd 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ยฌ 2 โˆฅ (2โ†‘(2 ยท ๐‘—)))
13555nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆˆ โ„ค)
136 oddm1even 16232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โ†” 2 โˆฅ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โ†” 2 โˆฅ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)))
138134, 137mtbid 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1))
139138ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1))
140 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” 2 โˆฅ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)))
141140notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” ยฌ 2 โˆฅ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)))
142141adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” ยฌ 2 โˆฅ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)))
143 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
144112ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
145 elnn0 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘˜ = 0))
146 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2))
147 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  2)
148147necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โ†’ 2 โ‰  ๐‘ƒ)
149146, 148sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โ‰  ๐‘ƒ)
150149adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ 2 โ‰  ๐‘ƒ)
151150neneqd 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ยฌ 2 = ๐‘ƒ)
152 2prm 16575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 โˆˆ โ„™
15311adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
154 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
155 prmdvdsexpb 16599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” 2 = ๐‘ƒ))
156152, 153, 154, 155mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” 2 = ๐‘ƒ))
157151, 156mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
158157ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
159 n2dvds1 16257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ยฌ 2 โˆฅ 1
160 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = (๐‘ƒโ†‘0))
16198exp0d 14052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒโ†‘0) = 1)
162160, 161sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = 1)
163162breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ 1))
164159, 163mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
165164ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
166158, 165jaoi 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘˜ = 0) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
167145, 166sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
168167, 109syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
1691683ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
170169ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
171170imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
172 nnm1nn0 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
173 hashfz0 14339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))) = ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1))
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))) = ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1))
175 nncn 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
176 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
177175, 176npcand 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘€)
178174, 177eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
1791783ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
180179adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
181180breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†” 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1)))))
182181biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
183143, 144, 171, 182evensumodd 16278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
184183olcd 873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆจ 2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
185152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„™)
186 oddn2prm 16691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
187 oddm1d2 16249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
18815, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
189186, 188mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
190189adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
191 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
19214ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
193109adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
194192, 193nn0expcld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
195194nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
196191, 195fsumzcl 15627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
197185, 190, 1963jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆˆ โ„™ โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค))
1981973adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆˆ โ„™ โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค))
199 euclemma 16596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” (2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆจ 2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” (2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆจ 2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
201200ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” (2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆจ 2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
202184, 201mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
203202pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘€ = 1))
204203adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘€ = 1))
205142, 204sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
206205ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โ†’ ๐‘€ = 1)))
207139, 206mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
208126, 207sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) / 2) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
209123, 208sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))(๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘€ = 1))
210103, 209sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆ’ 1) = (2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘€ = 1))
21196, 210sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
212211adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘) โ†’ (((2 ยท ((2โ†‘(2 ยท ๐‘—)) โˆ’ 1)) + 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
21384, 212sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
214213exp31 421 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))))
215214com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘ โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))))
216215rexlimdva 3153 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘ โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))))
217216com34 91 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐‘€ = 1))))
218217adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ = 1) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐‘€ = 1))))
21945, 218sylbid 239 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ = 1) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐‘€ = 1))))
220219com24 95 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ = 1) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ = 1))))
221220ex 414 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ๐‘ = 1 โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ = 1)))))
222221com25 99 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (ยฌ ๐‘ = 1 โ†’ ๐‘€ = 1)))))
223222impd 412 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (ยฌ ๐‘ = 1 โ†’ ๐‘€ = 1))))
2242233imp 1112 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ (ยฌ ๐‘ = 1 โ†’ ๐‘€ = 1))
22538, 224pm2.61d 179 1 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆƒwrex 3074   โˆ– cdif 3912  {csn 4591   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  โ™ฏchash 14237  ฮฃcsu 15577   โˆฅ cdvds 16143  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  lighneal  45877
  Copyright terms: Public domain W3C validator