Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem3 43991
Description: Lemma 3 for lighneal 43995. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem3 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)

Proof of Theorem lighneallem3
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = (2↑1))
2 2cn 11707 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
3 exp1 13438 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑1) = 2
51, 4syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = 2)
65oveq1d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = (2 − 1))
7 2m1e1 11758 . . . . . . . . . . 11 (2 − 1) = 1
86, 7syl6eq 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
98adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
109eqeq1d 2826 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ 1 = (𝑃𝑀)))
11 eldifi 4089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
12 prmnn 16014 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
13 nnnn0 11899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ0)
1514nn0zd 12080 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
16 iddvdsexp 15631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
1715, 16sylan 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
18 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = (𝑃𝑀) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃𝑀)))
1918adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃𝑀)))
20 dvds1 15667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
2114, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
22 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
23 1nprm 16019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 1 ∈ ℙ
2423pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℙ → 𝑀 = 1)
2522, 24syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑀 = 1))
2611, 25syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 1 → 𝑀 = 1))
2721, 26sylbid 243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
2919, 28sylbird 263 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃𝑀)) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3029ex 416 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃𝑀) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
3117, 30mpid 44 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3231adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (1 = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3310, 32sylbid 243 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3433ex 416 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 = 1 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
3534com23 86 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))
3635a1d 25 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
37363adant3 1129 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
38373imp 1108 . 2 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
39 neqne 3022 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 1)
4039anim2i 619 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
41 eluz2b3 12317 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
4240, 41sylibr 237 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
43 oddge22np1 15696 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
45443ad2antl3 1184 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
46 oveq2 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → (2↑𝑁) = (2↑((2 · 𝑗) + 1)))
4746oveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
4847eqcoms 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
492a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
50 2nn0 11909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℕ0
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
52 nnnn0 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
5351, 52nn0mulcld 11955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
5449, 53expp1d 13514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = ((2↑(2 · 𝑗)) · 2))
5551, 53nn0expcld 13610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℕ0)
5655nn0cnd 11952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
5756, 49mulcomd 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) · 2) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
5854, 57eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
5958oveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1))
60 npcan1 11059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
6261eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) = (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1))
6362oveq2d 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)))
64 peano2cnm 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
6556, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
66 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
6749, 65, 66adddid 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
6863, 67eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
6968oveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1) = (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1))
7049, 65mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
71 ax-1cn 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
722, 71mulcli 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 1) ∈ ℂ
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
7470, 73, 66addsubassd 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)))
75 2t1e2 11795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 1) = 2
7675oveq1i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
7776, 7eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) − 1) = 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = 1)
7978oveq2d 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8074, 79eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8159, 69, 803eqtrd 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8348, 82sylan9eqr 2881 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8483eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀)))
85143ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
86 nnnn0 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
87863ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8885, 87nn0expcld 13610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℕ0)
8988nn0cnd 11952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
9089adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
91 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
9270adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
9390, 91, 923jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
9493adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
95 subadd2 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀)))
97 nncn 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
9811, 12, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℂ)
99983ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
10099, 87pwm1geoser 15222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
101100adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
102101eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
103102adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
10499ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
105 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
106104, 105subcld 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
107 fzfid 13343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
10885adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
109 elfznn0 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
110109adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
111108, 110nn0expcld 13610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ0)
112111nn0zd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
113107, 112fsumzcl 15090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ)
114113zcnd 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℂ)
115114ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℂ)
116106, 115mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ∈ ℂ)
11756ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
118117, 105subcld 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
119 2rp 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∈ ℝ+)
121120rpcnne0d 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
122 divmul2 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
123116, 118, 121, 122syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
124 div23 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
125106, 115, 121, 124syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
126125eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
12751nn0zd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
128 2nn 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
130 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
131129, 130nnmulcld 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ)
132 iddvdsexp 15631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
133127, 131, 132syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
134133notnotd 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
13555nn0zd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ)
136 oddm1even 15690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
138134, 137mtbid 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
139138ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
140 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
141140notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
142141adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
143 fzfid 13343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
144112ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
145 elnn0 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
146 eldifsn 4704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
147 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
148147necomd 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
149146, 148sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
150149adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ≠ 𝑃)
151150neneqd 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 = 𝑃)
152 2prm 16032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 ∈ ℙ
15311adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
154 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑘 ∈ ℕ)
155 prmdvdsexpb 16056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
156152, 153, 154, 155mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
157151, 156mtbird 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘))
158157ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
159 n2dvds1 15715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ¬ 2 ∥ 1
160 oveq2 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃↑0))
16198exp0d 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃↑0) = 1)
162160, 161sylan9eq 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃𝑘) = 1)
163162breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 2 ∥ 1))
164159, 163mtbiri 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘))
165164ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = 0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
166158, 165jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
167145, 166sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
168167, 109syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
1691683ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
170169ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
171170imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘))
172 nnm1nn0 11933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
173 hashfz0 13796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
175 nncn 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
176 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
177175, 176npcand 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
178174, 177eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
1791783ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
180179adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
181180breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (♯‘(0...(𝑀 − 1)))))
182181biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
183143, 144, 171, 182evensumodd 15736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))
184183olcd 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
185152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℙ)
186 oddn2prm 16145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
187 oddm1d2 15707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
18815, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
189186, 188mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
190189adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
191 fzfid 13343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
19214ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
193109adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
194192, 193nn0expcld 13610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ0)
195194nn0zd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
196191, 195fsumzcl 15090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ)
197185, 190, 1963jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ))
1981973adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ))
199 euclemma 16053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))))
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))))
201200ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))))
202184, 201mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
203202pm2.24d 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) → 𝑀 = 1))
204203adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) → 𝑀 = 1))
205142, 204sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
206205ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1)))
207139, 206mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
208126, 207sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
209123, 208sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
210103, 209sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
21196, 210sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
212211adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
21384, 212sylbid 243 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
214213exp31 423 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
215214com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
216215rexlimdva 3277 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
217216com34 91 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (2 ∥ 𝑀𝑀 = 1))))
218217adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (2 ∥ 𝑀𝑀 = 1))))
21945, 218sylbid 243 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (2 ∥ 𝑀𝑀 = 1))))
220219com24 95 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 = 1))))
221220ex 416 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 = 1 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 = 1)))))
222221com25 99 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))))
223222impd 414 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
2242233imp 1108 . 2 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
22538, 224pm2.61d 182 1 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  cdif 3916  {csn 4550   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7146  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11687  0cn0 11892  cz 11976  cuz 12238  +crp 12384  ...cfz 12892  cexp 13432  chash 13693  Σcsu 15040  cdvds 15605  cprime 16011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-mod 13240  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-sum 15041  df-dvds 15606  df-gcd 15840  df-prm 16012
This theorem is referenced by:  lighneal  43995
  Copyright terms: Public domain W3C validator