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Theorem lighneallem3 47599
Description: Lemma 3 for lighneal 47603. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem3 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)

Proof of Theorem lighneallem3
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = (2↑1))
2 2cn 12342 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
3 exp1 14109 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑1) = 2
51, 4eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = 2)
65oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = (2 − 1))
7 2m1e1 12393 . . . . . . . . . . 11 (2 − 1) = 1
86, 7eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
98adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
109eqeq1d 2738 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ 1 = (𝑃𝑀)))
11 eldifi 4130 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
12 prmnn 16712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
13 nnnn0 12535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ0)
1514nn0zd 12641 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
16 iddvdsexp 16318 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
1715, 16sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
18 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = (𝑃𝑀) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃𝑀)))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃𝑀)))
20 dvds1 16357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
2114, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
22 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
23 1nprm 16717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 1 ∈ ℙ
2423pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℙ → 𝑀 = 1)
2522, 24biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑀 = 1))
2611, 25syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 1 → 𝑀 = 1))
2721, 26sylbid 240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
2827ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
2919, 28sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃𝑀)) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3029ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃𝑀) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
3117, 30mpid 44 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3231adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (1 = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3310, 32sylbid 240 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3433ex 412 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 = 1 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
3534com23 86 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))
3635a1d 25 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
37363adant3 1132 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
38373imp 1110 . 2 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
39 neqne 2947 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 1)
4039anim2i 617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
41 eluz2b3 12965 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
4240, 41sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
43 oddge22np1 16387 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
45443ad2antl3 1187 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
46 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → (2↑𝑁) = (2↑((2 · 𝑗) + 1)))
4746oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
4847eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
492a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
50 2nn0 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℕ0
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
52 nnnn0 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
5351, 52nn0mulcld 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
5449, 53expp1d 14188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = ((2↑(2 · 𝑗)) · 2))
5551, 53nn0expcld 14286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℕ0)
5655nn0cnd 12591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
5756, 49mulcomd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) · 2) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
5854, 57eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
5958oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1))
60 npcan1 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
6261eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) = (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1))
6362oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)))
64 peano2cnm 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
6556, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
66 1cnd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
6749, 65, 66adddid 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
6863, 67eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
6968oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1) = (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1))
7049, 65mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
71 ax-1cn 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
722, 71mulcli 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 1) ∈ ℂ
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
7470, 73, 66addsubassd 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)))
75 2t1e2 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 1) = 2
7675oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
7776, 7eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) − 1) = 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = 1)
7978oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8074, 79eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8159, 69, 803eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8281ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8348, 82sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8483eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀)))
85143ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
86 nnnn0 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
87863ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8885, 87nn0expcld 14286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℕ0)
8988nn0cnd 12591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
91 1cnd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
9270adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
9390, 91, 923jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
95 subadd2 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀)))
97 nncn 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
9811, 12, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℂ)
99983ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
10099, 87pwm1geoser 15906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
102101eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
10499ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
105 1cnd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
106104, 105subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
107 fzfid 14015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
10885adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
109 elfznn0 13661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
111108, 110nn0expcld 14286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ0)
112111nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
113107, 112fsumzcl 15772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ)
114113zcnd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℂ)
115114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℂ)
116106, 115mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ∈ ℂ)
11756ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
118117, 105subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
119 2rp 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∈ ℝ+)
121120rpcnne0d 13087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
122 divmul2 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
123116, 118, 121, 122syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
124 div23 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
125106, 115, 121, 124syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
126125eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
12751nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
128 2nn 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
130 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
131129, 130nnmulcld 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ)
132 iddvdsexp 16318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
133127, 131, 132syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
134133notnotd 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
13555nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ)
136 oddm1even 16381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
138134, 137mtbid 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
139138ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
140 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
141140notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
142141adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
143 fzfid 14015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
144112ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
145 elnn0 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
146 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
147 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
148147necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
149146, 148sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
150149adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ≠ 𝑃)
151150neneqd 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 = 𝑃)
152 2prm 16730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 ∈ ℙ
15311adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
154 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑘 ∈ ℕ)
155 prmdvdsexpb 16754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
156152, 153, 154, 155mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
157151, 156mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘))
158157ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
159 n2dvds1 16406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ¬ 2 ∥ 1
160 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃↑0))
16198exp0d 14181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃↑0) = 1)
162160, 161sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃𝑘) = 1)
163162breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 2 ∥ 1))
164159, 163mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘))
165164ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = 0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
166158, 165jaoi 857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
167145, 166sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
168167, 109syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
1691683ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
170169ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
171170imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘))
172 nnm1nn0 12569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
173 hashfz0 14472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
175 nncn 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
176 1cnd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
177175, 176npcand 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
178174, 177eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
1791783ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
180179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
181180breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (♯‘(0...(𝑀 − 1)))))
182181biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
183143, 144, 171, 182evensumodd 16427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))
184183olcd 874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
185152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℙ)
186 oddn2prm 16851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
187 oddm1d2 16398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
18815, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
189186, 188mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
190189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
191 fzfid 14015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
19214ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
193109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
194192, 193nn0expcld 14286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ0)
195194nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
196191, 195fsumzcl 15772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ)
197185, 190, 1963jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ))
1981973adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ))
199 euclemma 16751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))))
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))))
201200ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))))
202184, 201mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
203202pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) → 𝑀 = 1))
204203adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) → 𝑀 = 1))
205142, 204sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
206205ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1)))
207139, 206mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
208126, 207sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
209123, 208sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
210103, 209sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
21196, 210sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
212211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
21384, 212sylbid 240 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
214213exp31 419 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
215214com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
216215rexlimdva 3154 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
217216com34 91 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (2 ∥ 𝑀𝑀 = 1))))
218217adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (2 ∥ 𝑀𝑀 = 1))))
21945, 218sylbid 240 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (2 ∥ 𝑀𝑀 = 1))))
220219com24 95 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 = 1))))
221220ex 412 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 = 1 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 = 1)))))
222221com25 99 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))))
223222impd 410 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
2242233imp 1110 . 2 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
22538, 224pm2.61d 179 1 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069  cdif 3947  {csn 4625   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  +crp 13035  ...cfz 13548  cexp 14103  chash 14370  Σcsu 15723  cdvds 16291  cprime 16709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710
This theorem is referenced by:  lighneal  47603
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