lighneallem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem lighneallem3 47539

Description: Lemma 3 for lighneal 47543. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
lighneallem3	⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)

Proof of Theorem lighneallem3 Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = (2↑1))
2		2cn 12307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		exp1 14074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑1) = 2
5	1, 4	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = 2)
6	5	oveq1d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = (2 − 1))
7		2m1e1 12358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
8	6, 7	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
10	9	eqeq1d 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ 1 = (𝑃↑𝑀)))
11		eldifi 4104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
12		prmnn 16678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
13		nnnn0 12500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ₀)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
15	14	nn0zd 12606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
16		iddvdsexp 16284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀))
17	15, 16	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀))
18		breq2 5120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = (𝑃↑𝑀) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀)))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃↑𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀)))
20		dvds1 16323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ₀ → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
22		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
23		1nprm 16683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
24	23	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℙ → 𝑀 = 1)
25	22, 24	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑀 = 1))
26	11, 25	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 1 → 𝑀 = 1))
27	21, 26	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃↑𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
29	19, 28	sylbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃↑𝑀)) → (𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
30	29	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃↑𝑀) → (𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
31	17, 30	mpid 44	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (1 = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
33	10, 32	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
34	33	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 = 1 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
35	34	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))
36	35	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
37	36	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
38	37	3imp 1110	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
39		neqne 2939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 1)
40	39	anim2i 617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
41		eluz2b3 12930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
42	40, 41	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
43		oddge22np1 16353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
45	44	3ad2antl3 1187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
46		oveq2 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → (2↑𝑁) = (2↑((2 · 𝑗) + 1)))
47	46	oveq1d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
48	47	eqcoms 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
49	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
50		2nn0 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
52		nnnn0 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ₀)
53	51, 52	nn0mulcld 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
54	49, 53	expp1d 14154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = ((2↑(2 · 𝑗)) · 2))
55	51, 53	nn0expcld 14252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℕ₀)
56	55	nn0cnd 12556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
57	56, 49	mulcomd 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) · 2) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
58	54, 57	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
59	58	oveq1d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1))
60		npcan1 11654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
61	56, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
62	61	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) = (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1))
63	62	oveq2d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)))
64		peano2cnm 11541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
65	56, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
66		1cnd 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
67	49, 65, 66	adddid 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
68	63, 67	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
69	68	oveq1d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1) = (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1))
70	49, 65	mulcld 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
71		ax-1cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
72	2, 71	mulcli 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
74	70, 73, 66	addsubassd 11606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)))
75		2t1e2 12395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 1) = 2
76	75	oveq1i 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
77	76, 7	eqtri 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 1) − 1) = 1
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = 1)
79	78	oveq2d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
80	74, 79	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
81	59, 69, 80	3eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
82	81	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
83	48, 82	sylan9eqr 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
84	83	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀)))
85	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
86		nnnn0 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ₀)
87	86	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
88	85, 87	nn0expcld 14252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℕ₀)
89	88	nn0cnd 12556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
90	89	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
91		1cnd 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
92	70	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
93	90, 91, 92	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
95		subadd2 11478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀)))
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀)))
97		nncn 12240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
98	11, 12, 97	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℂ)
99	98	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
100	99, 87	pwm1geoser 15872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
102	101	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
104	99	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
105		1cnd 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
106	104, 105	subcld 11586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
107		fzfid 13980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
108	85	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
109		elfznn0 13626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
111	108, 110	nn0expcld 14252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ₀)
112	111	nn0zd 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
113	107, 112	fsumzcl 15738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
114	113	zcnd 12690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℂ)
115	114	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℂ)
116	106, 115	mulcld 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ∈ ℂ)
117	56	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
118	117, 105	subcld 11586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
119		2rp 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∈ ℝ⁺)
121	120	rpcnne0d 13052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
122		divmul2 11892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
123	116, 118, 121, 122	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
124		div23 11907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
125	106, 115, 121, 124	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
126	125	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
127	51	nn0zd 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
128		2nn 12305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℕ
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
130		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
131	129, 130	nnmulcld 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ)
132		iddvdsexp 16284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
133	127, 131, 132	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
134	133	notnotd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
135	55	nn0zd 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ)
136		oddm1even 16347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
138	134, 137	mtbid 324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
139	138	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
140		breq2 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
141	140	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
142	141	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
143		fzfid 13980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
144	112	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
145		elnn0 12495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
146		eldifsn 4759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
147		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
148	147	necomd 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
149	146, 148	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
150	149	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ≠ 𝑃)
151	150	neneqd 2936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 = 𝑃)
152		2prm 16696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 2 ∈ ℙ
153	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
154		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑘 ∈ ℕ)
155		prmdvdsexpb 16720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝑃↑𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
156	152, 153, 154, 155	mp3an2i 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃↑𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
157	151, 156	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘))
158	157	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
159		n2dvds1 16372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
160		oveq2 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃↑𝑘) = (𝑃↑0))
161	98	exp0d 14147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃↑0) = 1)
162	160, 161	sylan9eq 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃↑𝑘) = 1)
163	162	breq2d 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃↑𝑘) ↔ 2 ∥ 1))
164	159, 163	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘))
165	164	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
166	158, 165	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
167	145, 166	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
168	167, 109	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
169	168	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
170	169	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
171	170	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘))
172		nnm1nn0 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
173		hashfz0 14438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
174	172, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
175		nncn 12240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
176		1cnd 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
177	175, 176	npcand 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
178	174, 177	eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
179	178	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
180	179	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
181	180	breq2d 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (♯‘(0...(𝑀 − 1)))))
182	181	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
183	143, 144, 171, 182	evensumodd 16393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘))
184	183	olcd 874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
185	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℙ)
186		oddn2prm 16817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
187		oddm1d2 16364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
188	15, 187	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
189	186, 188	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
190	189	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
191		fzfid 13980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
192	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
193	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
194	192, 193	nn0expcld 14252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ₀)
195	194	nn0zd 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
196	191, 195	fsumzcl 15738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
197	185, 190, 196	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ))
198	197	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ))
199		euclemma 16717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘))))
200	198, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘))))
201	200	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘))))
202	184, 201	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
203	202	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) → 𝑀 = 1))
204	203	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) → 𝑀 = 1))
205	142, 204	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
206	205	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1)))
207	139, 206	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
208	126, 207	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
209	123, 208	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
210	103, 209	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
211	96, 210	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
212	211	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
213	84, 212	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
214	213	exp31 419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
215	214	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
216	215	rexlimdva 3139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
217	216	com34 91	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (2 ∥ 𝑀 → 𝑀 = 1))))
218	217	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (2 ∥ 𝑀 → 𝑀 = 1))))
219	45, 218	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (2 ∥ 𝑀 → 𝑀 = 1))))
220	219	com24 95	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → 𝑀 = 1))))
221	220	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 = 1 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → 𝑀 = 1)))))
222	221	com25 99	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))))
223	222	impd 410	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
224	223	3imp 1110	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
225	38, 224	pm2.61d 179	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2931 ∃wrex 3059 ∖ cdif 3921 {csn 4599 class class class wbr 5116 ‘cfv 6527 (class class class)co 7399 ℂcc 11119 0cc0 11121 1c1 11122 + caddc 11124 · cmul 11126 − cmin 11458 / cdiv 11886 ℕcn 12232 2c2 12287 ℕ₀cn0 12493 ℤcz 12580 ℤ_≥cuz 12844 ℝ⁺crp 13000 ...cfz 13513 ↑cexp 14068 ♯chash 14336 Σcsu 15689 ∥ cdvds 16257 ℙcprime 16675

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2706 ax-rep 5246 ax-sep 5263 ax-nul 5273 ax-pow 5332 ax-pr 5399 ax-un 7723 ax-inf2 9647 ax-cnex 11177 ax-resscn 11178 ax-1cn 11179 ax-icn 11180 ax-addcl 11181 ax-addrcl 11182 ax-mulcl 11183 ax-mulrcl 11184 ax-mulcom 11185 ax-addass 11186 ax-mulass 11187 ax-distr 11188 ax-i2m1 11189 ax-1ne0 11190 ax-1rid 11191 ax-rnegex 11192 ax-rrecex 11193 ax-cnre 11194 ax-pre-lttri 11195 ax-pre-lttrn 11196 ax-pre-ltadd 11197 ax-pre-mulgt0 11198 ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2808 df-nfc 2884 df-ne 2932 df-nel 3036 df-ral 3051 df-rex 3060 df-rmo 3357 df-reu 3358 df-rab 3414 df-v 3459 df-sbc 3764 df-csb 3873 df-dif 3927 df-un 3929 df-in 3931 df-ss 3941 df-pss 3944 df-nul 4307 df-if 4499 df-pw 4575 df-sn 4600 df-pr 4602 df-op 4606 df-uni 4881 df-int 4920 df-iun 4966 df-br 5117 df-opab 5179 df-mpt 5199 df-tr 5227 df-id 5545 df-eprel 5550 df-po 5558 df-so 5559 df-fr 5603 df-se 5604 df-we 5605 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6287 df-ord 6352 df-on 6353 df-lim 6354 df-suc 6355 df-iota 6480 df-fun 6529 df-fn 6530 df-f 6531 df-f1 6532 df-fo 6533 df-f1o 6534 df-fv 6535 df-isom 6536 df-riota 7356 df-ov 7402 df-oprab 7403 df-mpo 7404 df-om 7856 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-1o 8474 df-2o 8475 df-oadd 8478 df-er 8713 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-fin 8957 df-sup 9448 df-inf 9449 df-oi 9516 df-dju 9907 df-card 9945 df-pnf 11263 df-mnf 11264 df-xr 11265 df-ltxr 11266 df-le 11267 df-sub 11460 df-neg 11461 df-div 11887 df-nn 12233 df-2 12295 df-3 12296 df-n0 12494 df-z 12581 df-uz 12845 df-rp 13001 df-fz 13514 df-fzo 13661 df-fl 13798 df-mod 13876 df-seq 14009 df-exp 14069 df-hash 14337 df-cj 15105 df-re 15106 df-im 15107 df-sqrt 15241 df-abs 15242 df-clim 15491 df-sum 15690 df-dvds 16258 df-gcd 16499 df-prm 16676

This theorem is referenced by: lighneal 47543

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