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Theorem lighneallem3 45789
Description: Lemma 3 for lighneal 45793. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem3 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)

Proof of Theorem lighneallem3
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = (2↑1))
2 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
3 exp1 13973 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑1) = 2
51, 4eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = 2)
65oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = (2 − 1))
7 2m1e1 12279 . . . . . . . . . . 11 (2 − 1) = 1
86, 7eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
98adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
109eqeq1d 2738 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ 1 = (𝑃𝑀)))
11 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
12 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
13 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ0)
1514nn0zd 12525 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
16 iddvdsexp 16162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
1715, 16sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
18 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = (𝑃𝑀) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃𝑀)))
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃𝑀)))
20 dvds1 16201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
2114, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
22 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
23 1nprm 16555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 1 ∈ ℙ
2423pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℙ → 𝑀 = 1)
2522, 24syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑀 = 1))
2611, 25syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 1 → 𝑀 = 1))
2721, 26sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
2827ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
2919, 28sylbird 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃𝑀)) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3029ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃𝑀) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
3117, 30mpid 44 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3231adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (1 = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3310, 32sylbid 239 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3433ex 413 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 = 1 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
3534com23 86 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))
3635a1d 25 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
37363adant3 1132 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
38373imp 1111 . 2 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
39 neqne 2951 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 1)
4039anim2i 617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
41 eluz2b3 12847 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
4240, 41sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
43 oddge22np1 16231 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
45443ad2antl3 1187 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
46 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → (2↑𝑁) = (2↑((2 · 𝑗) + 1)))
4746oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
4847eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
492a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
50 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℕ0
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
52 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
5351, 52nn0mulcld 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
5449, 53expp1d 14052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = ((2↑(2 · 𝑗)) · 2))
5551, 53nn0expcld 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℕ0)
5655nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
5756, 49mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) · 2) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
5854, 57eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
5958oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1))
60 npcan1 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
6261eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) = (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1))
6362oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)))
64 peano2cnm 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
6556, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
66 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
6749, 65, 66adddid 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
6863, 67eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
6968oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1) = (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1))
7049, 65mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
71 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
722, 71mulcli 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 1) ∈ ℂ
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
7470, 73, 66addsubassd 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)))
75 2t1e2 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 1) = 2
7675oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
7776, 7eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) − 1) = 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = 1)
7978oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8074, 79eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8159, 69, 803eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8281ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8348, 82sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8483eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀)))
85143ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
86 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
87863ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8885, 87nn0expcld 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℕ0)
8988nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
91 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
9270adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
9390, 91, 923jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
95 subadd2 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀)))
97 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
9811, 12, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℂ)
99983ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
10099, 87pwm1geoser 15754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
101100adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
102101eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
10499ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
105 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
106104, 105subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
107 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
10885adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
109 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
110109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
111108, 110nn0expcld 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ0)
112111nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
113107, 112fsumzcl 15620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ)
114113zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℂ)
115114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℂ)
116106, 115mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ∈ ℂ)
11756ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
118117, 105subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
119 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∈ ℝ+)
121120rpcnne0d 12966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
122 divmul2 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
123116, 118, 121, 122syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
124 div23 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
125106, 115, 121, 124syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
126125eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
12751nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
128 2nn 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
130 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
131129, 130nnmulcld 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ)
132 iddvdsexp 16162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
133127, 131, 132syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
134133notnotd 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
13555nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ)
136 oddm1even 16225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
138134, 137mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
139138ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
140 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
141140notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
142141adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
143 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
144112ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
145 elnn0 12415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
146 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
147 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
148147necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
149146, 148sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
150149adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ≠ 𝑃)
151150neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 = 𝑃)
152 2prm 16568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 ∈ ℙ
15311adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
154 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑘 ∈ ℕ)
155 prmdvdsexpb 16592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
156152, 153, 154, 155mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
157151, 156mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘))
158157ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
159 n2dvds1 16250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ¬ 2 ∥ 1
160 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃↑0))
16198exp0d 14045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃↑0) = 1)
162160, 161sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃𝑘) = 1)
163162breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 2 ∥ 1))
164159, 163mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘))
165164ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = 0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
166158, 165jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
167145, 166sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
168167, 109syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
1691683ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
170169ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
171170imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘))
172 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
173 hashfz0 14332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
175 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
176 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
177175, 176npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
178174, 177eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
1791783ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
180179adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
181180breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (♯‘(0...(𝑀 − 1)))))
182181biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
183143, 144, 171, 182evensumodd 16271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))
184183olcd 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
185152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℙ)
186 oddn2prm 16684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
187 oddm1d2 16242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
18815, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
189186, 188mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
190189adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
191 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
19214ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
193109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
194192, 193nn0expcld 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ0)
195194nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
196191, 195fsumzcl 15620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ)
197185, 190, 1963jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ))
1981973adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ))
199 euclemma 16589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))))
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))))
201200ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))))
202184, 201mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
203202pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) → 𝑀 = 1))
204203adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) → 𝑀 = 1))
205142, 204sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
206205ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1)))
207139, 206mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
208126, 207sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
209123, 208sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
210103, 209sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
21196, 210sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
212211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
21384, 212sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
214213exp31 420 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
215214com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
216215rexlimdva 3152 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
217216com34 91 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (2 ∥ 𝑀𝑀 = 1))))
218217adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (2 ∥ 𝑀𝑀 = 1))))
21945, 218sylbid 239 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (2 ∥ 𝑀𝑀 = 1))))
220219com24 95 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 = 1))))
221220ex 413 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 = 1 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 = 1)))))
222221com25 99 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))))
223222impd 411 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
2242233imp 1111 . 2 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
22538, 224pm2.61d 179 1 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cdif 3907  {csn 4586   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  cexp 13967  chash 14230  Σcsu 15570  cdvds 16136  cprime 16547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548
This theorem is referenced by:  lighneal  45793
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