lighneallem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem lighneallem3 48221

Description: Lemma 3 for lighneal 48225. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
lighneallem3	⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)

Proof of Theorem lighneallem3 Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = (2↑1))
2		2cn 12295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		exp1 14082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑1) = 2
5	1, 4	eqtrdi 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = 2)
6	5	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = (2 − 1))
7		2m1e1 12344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
8	6, 7	eqtrdi 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
9	8	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
10	9	eqeq1d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ 1 = (𝑃↑𝑀)))
11		eldifi 4086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
12		prmnn 16710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
13		nnnn0 12490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ₀)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
15	14	nn0zd 12595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
16		iddvdsexp 16315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀))
17	15, 16	sylan 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀))
18		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = (𝑃↑𝑀) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀)))
19	18	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃↑𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀)))
20		dvds1 16355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ₀ → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
22		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
23		1nprm 16715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
24	23	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℙ → 𝑀 = 1)
25	22, 24	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑀 = 1))
26	11, 25	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 1 → 𝑀 = 1))
27	21, 26	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
28	27	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃↑𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
29	19, 28	sylbird 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃↑𝑀)) → (𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
30	29	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃↑𝑀) → (𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
31	17, 30	mpid 44	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
32	31	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (1 = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
33	10, 32	sylbid 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
34	33	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 = 1 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
35	34	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))
36	35	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
37	36	3adant3 1146	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
38	37	3imp 1124	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
39		neqne 2967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 1)
40	39	anim2i 626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
41		eluz2b3 12925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
42	40, 41	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
43		oddge22np1 16385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
45	44	3ad2antl3 1202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
46		oveq2 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → (2↑𝑁) = (2↑((2 · 𝑗) + 1)))
47	46	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
48	47	eqcoms 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
49	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
50		2nn0 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
52		nnnn0 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ₀)
53	51, 52	nn0mulcld 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ₀)
54	49, 53	expp1d 14162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = ((2↑(2 · 𝑗)) · 2))
55	51, 53	nn0expcld 14261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℕ₀)
56	55	nn0cnd 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
57	56, 49	mulcomd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) · 2) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
58	54, 57	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
59	58	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1))
60		npcan1 11614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
61	56, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
62	61	eqcomd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) = (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1))
63	62	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)))
64		peano2cnm 11499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
65	56, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
66		1cnd 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
67	49, 65, 66	adddid 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
68	63, 67	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
69	68	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1) = (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1))
70	49, 65	mulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
71		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
72	2, 71	mulcli 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
74	70, 73, 66	addsubassd 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)))
75		2t1e2 12382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 1) = 2
76	75	oveq1i 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
77	76, 7	eqtri 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 1) − 1) = 1
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = 1)
79	78	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
80	74, 79	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
81	59, 69, 80	3eqtrd 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
82	81	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
83	48, 82	sylan9eqr 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
84	83	eqeq1d 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀)))
85	14	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
86		nnnn0 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ₀)
87	86	3ad2ant2 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
88	85, 87	nn0expcld 14261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℕ₀)
89	88	nn0cnd 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
90	89	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
91		1cnd 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
92	70	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
93	90, 91, 92	3jca 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
94	93	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
95		subadd2 11436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀)))
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀)))
97		nncn 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
98	11, 12, 97	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℂ)
99	98	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
100	99, 87	pwm1geoser 15901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
101	100	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
102	101	eqeq1d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
103	102	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
104	99	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
105		1cnd 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
106	104, 105	subcld 11544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
107		fzfid 13988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
108	85	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
109		elfznn0 13627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
110	109	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
111	108, 110	nn0expcld 14261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ₀)
112	111	nn0zd 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
113	107, 112	fsumzcl 15764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
114	113	zcnd 12680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℂ)
115	114	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℂ)
116	106, 115	mulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ∈ ℂ)
117	56	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
118	117, 105	subcld 11544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
119		2rp 13000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∈ ℝ⁺)
121	120	rpcnne0d 13048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
122		divmul2 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
123	116, 118, 121, 122	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
124		div23 11866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
125	106, 115, 121, 124	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
126	125	eqeq1d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
127	51	nn0zd 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
128		2nn 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℕ
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
130		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
131	129, 130	nnmulcld 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ)
132		iddvdsexp 16315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
133	127, 131, 132	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
134	133	notnotd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
135	55	nn0zd 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ)
136		oddm1even 16379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
138	134, 137	mtbid 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
139	138	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
140		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
141	140	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
142	141	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
143		fzfid 13988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
144	112	ad4ant14 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
145		elnn0 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
146		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
147		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
148	147	necomd 3014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
149	146, 148	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
150	149	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ≠ 𝑃)
151	150	neneqd 2964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 = 𝑃)
152		2prm 16728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 2 ∈ ℙ
153	11	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
154		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑘 ∈ ℕ)
155		prmdvdsexpb 16753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝑃↑𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
156	152, 153, 154, 155	mp3an2i 1489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃↑𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
157	151, 156	mtbird 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘))
158	157	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
159		n2dvds1 16404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
160		oveq2 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃↑𝑘) = (𝑃↑0))
161	98	exp0d 14155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃↑0) = 1)
162	160, 161	sylan9eq 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃↑𝑘) = 1)
163	162	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃↑𝑘) ↔ 2 ∥ 1))
164	159, 163	mtbiri 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘))
165	164	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
166	158, 165	jaoi 868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
167	145, 166	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
168	167, 109	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
169	168	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
170	169	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
171	170	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘))
172		nnm1nn0 12524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
173		hashfz0 14447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
174	172, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
175		nncn 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
176		1cnd 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
177	175, 176	npcand 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
178	174, 177	eqtr2d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
179	178	3ad2ant2 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
180	179	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
181	180	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (♯‘(0...(𝑀 − 1)))))
182	181	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
183	143, 144, 171, 182	evensumodd 16425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘))
184	183	olcd 885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
185	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℙ)
186		oddn2prm 16850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
187		oddm1d2 16396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
188	15, 187	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
189	186, 188	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
190	189	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
191		fzfid 13988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
192	14	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
193	109	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
194	192, 193	nn0expcld 14261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ₀)
195	194	nn0zd 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
196	191, 195	fsumzcl 15764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
197	185, 190, 196	3jca 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ))
198	197	3adant3 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ))
199		euclemma 16750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘))))
200	198, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘))))
201	200	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘))))
202	184, 201	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
203	202	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) → 𝑀 = 1))
204	203	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) → 𝑀 = 1))
205	142, 204	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
206	205	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1)))
207	139, 206	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
208	126, 207	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
209	123, 208	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
210	103, 209	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
211	96, 210	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
212	211	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
213	84, 212	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
214	213	exp31 423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
215	214	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
216	215	rexlimdva 3165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
217	216	com34 91	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (2 ∥ 𝑀 → 𝑀 = 1))))
218	217	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (2 ∥ 𝑀 → 𝑀 = 1))))
219	45, 218	sylbid 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (2 ∥ 𝑀 → 𝑀 = 1))))
220	219	com24 95	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → 𝑀 = 1))))
221	220	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 = 1 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → 𝑀 = 1)))))
222	221	com25 99	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))))
223	222	impd 414	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
224	223	3imp 1124	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
225	38, 224	pm2.61d 180	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∨ wo 858 ∧ w3a 1099 = wceq 1562 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2959 ∃wrex 3088 ∖ cdif 3903 {csn 4584 class class class wbr 5102 ‘cfv 6523 (class class class)co 7398 ℂcc 11073 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 − cmin 11416 / cdiv 11846 ℕcn 12212 2c2 12274 ℕ₀cn0 12483 ℤcz 12570 ℤ_≥cuz 12841 ℝ⁺crp 12995 ...cfz 13514 ↑cexp 14076 ♯chash 14345 Σcsu 15715 ∥ cdvds 16288 ℙcprime 16707

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1817 ax-4 1831 ax-5 1932 ax-6 1989 ax-7 2030 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2214 ax-ext 2736 ax-rep 5229 ax-sep 5248 ax-nul 5258 ax-pow 5324 ax-pr 5392 ax-un 7720 ax-inf2 9598 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1100 df-3an 1101 df-tru 1565 df-fal 1575 df-ex 1802 df-nf 1806 df-sb 2093 df-mo 2568 df-eu 2598 df-clab 2743 df-cleq 2756 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3458 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4288 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5544 df-eprel 5549 df-po 5557 df-so 5558 df-fr 5602 df-se 5603 df-we 5604 df-xp 5655 df-rel 5656 df-cnv 5657 df-co 5658 df-dm 5659 df-rn 5660 df-res 5661 df-ima 5662 df-pred 6290 df-ord 6351 df-on 6352 df-lim 6353 df-suc 6354 df-iota 6479 df-fun 6525 df-fn 6526 df-f 6527 df-f1 6528 df-fo 6529 df-f1o 6530 df-fv 6531 df-isom 6532 df-riota 7355 df-ov 7401 df-oprab 7402 df-mpo 7403 df-om 7849 df-1st 7972 df-2nd 7973 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8344 df-rdg 8383 df-1o 8439 df-2o 8440 df-oadd 8443 df-er 8680 df-en 8930 df-dom 8931 df-sdom 8932 df-fin 8933 df-sup 9390 df-inf 9391 df-oi 9460 df-dju 9861 df-card 9899 df-pnf 11220 df-mnf 11221 df-xr 11222 df-ltxr 11223 df-le 11224 df-sub 11418 df-neg 11419 df-div 11847 df-nn 12213 df-2 12282 df-3 12283 df-n0 12484 df-z 12571 df-uz 12842 df-rp 12996 df-fz 13515 df-fzo 13662 df-fl 13804 df-mod 13882 df-seq 14017 df-exp 14077 df-hash 14346 df-cj 15128 df-re 15129 df-im 15130 df-sqrt 15264 df-abs 15265 df-clim 15517 df-sum 15716 df-dvds 16289 df-gcd 16531 df-prm 16708

This theorem is referenced by: lighneal 48225

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