Theorem lighneallem3 48692

Description: Lemma 3 for lighneal 48696. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneallem3	⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)

Proof of Theorem lighneallem3

Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = (2↑1))
2		2cn 12418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		exp1 14210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑1) = 2
5	1, 4	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = 2)
6	5	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = (2 − 1))
7		2m1e1 12467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
8	6, 7	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
10	9	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ 1 = (𝑃↑𝑀)))
11		eldifi 4067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
12		prmnn 16849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
13		nnnn0 12613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
14	11, 12, 13	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
16		iddvdsexp 16449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀))
17	15, 16	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀))
18		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = (𝑃↑𝑀) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀)))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃↑𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀)))
20		dvds1 16489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
21	14, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
22		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
23		1nprm 16854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
24	23	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℙ → 𝑀 = 1)
25	22, 24	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑀 = 1))
26	11, 25	syl5com 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 1 → 𝑀 = 1))
27	21, 26	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
28	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃↑𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
29	19, 28	sylbird 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃↑𝑀)) → (𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
30	29	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃↑𝑀) → (𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
31	17, 30	mpid 45	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (1 = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
33	10, 32	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
34	33	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 = 1 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
35	34	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))
36	35	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
37	36	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
38	37	3imp 1128	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
39		neqne 2963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 1)
40	39	anim2i 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
41		eluz2b3 13049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
42	40, 41	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
43		oddge22np1 16519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
45	44	3ad2antl3 1206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
46		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → (2↑𝑁) = (2↑((2 · 𝑗) + 1)))
47	46	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
48	47	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
49	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
50		2nn0 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℕ0
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
52		nnnn0 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
53	51, 52	nn0mulcld 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
54	49, 53	expp1d 14290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = ((2↑(2 · 𝑗)) · 2))
55	51, 53	nn0expcld 14390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℕ0)
56	55	nn0cnd 12669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
57	56, 49	mulcomd 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) · 2) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
58	54, 57	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
59	58	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1))
60		npcan1 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
61	56, 60	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
62	61	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) = (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1))
63	62	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)))
64		peano2cnm 11624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
65	56, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
66		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
67	49, 65, 66	adddid 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
68	63, 67	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
69	68	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1) = (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1))
70	49, 65	mulcld 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
71		ax-1cn 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
72	2, 71	mulcli 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
74	70, 73, 66	addsubassd 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)))
75		2t1e2 12505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 1) = 2
76	75	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
77	76, 7	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 1) − 1) = 1
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = 1)
79	78	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
80	74, 79	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
81	59, 69, 80	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
82	81	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
83	48, 82	sylan9eqr 2817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
84	83	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀)))
85	14	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
86		nnnn0 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
87	86	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
88	85, 87	nn0expcld 14390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℕ0)
89	88	nn0cnd 12669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
90	89	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
91		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
92	70	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
93	90, 91, 92	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
94	93	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
95		subadd2 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀)))
96	94, 95	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀)))
97		nncn 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
98	11, 12, 97	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℂ)
99	98	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
100	99, 87	pwm1geoser 16038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
101	100	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
102	101	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
103	102	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
104	99	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
105		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
106	104, 105	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
107		fzfid 14116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
108	85	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
109		elfznn0 13754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
110	109	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
111	108, 110	nn0expcld 14390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ0)
112	111	nn0zd 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
113	107, 112	fsumzcl 15901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
114	113	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℂ)
115	114	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℂ)
116	106, 115	mulcld 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ∈ ℂ)
117	56	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
118	117, 105	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
119		2rp 13125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ+
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∈ ℝ+)
121	120	rpcnne0d 13173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
122		divmul2 11978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
123	116, 118, 121, 122	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
124		div23 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
125	106, 115, 121, 124	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
126	125	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
127	51	nn0zd 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
128		2nn 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℕ
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
130		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
131	129, 130	nnmulcld 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ)
132		iddvdsexp 16449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
133	127, 131, 132	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
134	133	notnotd 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
135	55	nn0zd 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ)
136		oddm1even 16513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
137	135, 136	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
138	134, 137	mtbid 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
139	138	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
140		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
141	140	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
142	141	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
143		fzfid 14116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
144	112	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
145		elnn0 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
146		eldifsn 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
147		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
148	147	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
149	146, 148	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
150	149	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ≠ 𝑃)
151	150	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 = 𝑃)
152		2prm 16867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 2 ∈ ℙ
153	11	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
154		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑘 ∈ ℕ)
155		prmdvdsexpb 16892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝑃↑𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
156	152, 153, 154, 155	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃↑𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
157	151, 156	mtbird 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘))
158	157	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
159		n2dvds1 16538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
160		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃↑𝑘) = (𝑃↑0))
161	98	exp0d 14283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃↑0) = 1)
162	160, 161	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃↑𝑘) = 1)
163	162	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃↑𝑘) ↔ 2 ∥ 1))
164	159, 163	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘))
165	164	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
166	158, 165	jaoi 871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
167	145, 166	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
168	167, 109	syl11 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
169	168	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
170	169	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘)))
171	170	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → ¬ 2 ∥ (𝑃↑𝑘))
172		nnm1nn0 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
173		hashfz0 14577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
174	172, 173	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
175		nncn 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
176		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
177	175, 176	npcand 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
178	174, 177	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
179	178	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
180	179	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑀 = (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
181	180	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (♯‘(0...(𝑀 − 1)))))
182	181	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (♯‘(0...(𝑀 − 1))))
183	143, 144, 171, 182	evensumodd 16559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘))
184	183	olcd 888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
185	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℙ)
186		oddn2prm 16990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
187		oddm1d2 16530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
188	15, 187	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
189	186, 188	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
190	189	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
191		fzfid 14116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
192	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
193	109	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
194	192, 193	nn0expcld 14390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ0)
195	194	nn0zd 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
196	191, 195	fsumzcl 15901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
197	185, 190, 196	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ))
198	197	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ))
199		euclemma 16889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘) ∈ ℤ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘))))
200	198, 199	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘))))
201	200	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘))))
202	184, 201	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)))
203	202	pm2.24d 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) → 𝑀 = 1))
204	203	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) → 𝑀 = 1))
205	142, 204	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
206	205	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1)))
207	139, 206	mpid 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
208	126, 207	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
209	123, 208	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃↑𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
210	103, 209	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃↑𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
211	96, 210	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
212	211	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
213	84, 212	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
214	213	exp31 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
215	214	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
216	215	rexlimdva 3163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
217	216	com34 92	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (2 ∥ 𝑀 → 𝑀 = 1))))
218	217	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (2 ∥ 𝑀 → 𝑀 = 1))))
219	45, 218	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (2 ∥ 𝑀 → 𝑀 = 1))))
220	219	com24 96	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → 𝑀 = 1))))
221	220	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 = 1 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → 𝑀 = 1)))))
222	221	com25 100	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))))
223	222	impd 416	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
224	223	3imp 1128	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
225	38, 224	pm2.61d 181	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4045  {csn 4583   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  ...cfz 13639  ↑cexp 14204  ♯chash 14474  Σcsu 15853   ∥ cdvds 16422  ℙcprime 16846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847

This theorem is used by:  lighneal  48696