| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | elnn0 12528 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
↔ (𝑁 ∈ ℕ
∨ 𝑁 =
0)) |
| 2 | | simp2 1138 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈
ℂ) |
| 3 | | simp3 1139 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈
ℂ) |
| 4 | | fzofi 14015 |
. . . . . . . . 9
⊢
(0..^𝑁) ∈
Fin |
| 5 | 4 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(0..^𝑁) ∈
Fin) |
| 6 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 7 | | elfzonn0 13747 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
| 8 | 7 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
| 9 | 6, 8 | expcld 14186 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) |
| 10 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 11 | | ubmelm1fzo 13802 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ (0..^𝑁)) |
| 12 | | elfzonn0 13747 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈
ℕ0) |
| 13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈
ℕ0) |
| 14 | 13 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈
ℕ0) |
| 15 | 10, 14 | expcld 14186 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈
ℂ) |
| 16 | 9, 15 | mulcld 11281 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) ∈
ℂ) |
| 17 | 5, 16 | fsumcl 15769 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) ∈
ℂ) |
| 18 | 2, 3, 17 | subdird 11720 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = ((𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) − (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))) |
| 19 | 5, 2, 16 | fsummulc2 15820 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐴 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) |
| 20 | 6, 9, 15 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 · (𝐴↑𝑘)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = (𝐴 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) |
| 21 | 6, 9 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 · (𝐴↑𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) |
| 22 | | expp1 14109 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) |
| 23 | 2, 7, 22 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) |
| 24 | 21, 23 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 · (𝐴↑𝑘)) = (𝐴↑(𝑘 + 1))) |
| 25 | 24 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 · (𝐴↑𝑘)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
| 26 | 20, 25 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
| 27 | 26 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐴 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
| 28 | 19, 27 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
| 29 | 5, 3, 16 | fsummulc2 15820 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐵 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) |
| 30 | 10, 16 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = (((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) · 𝐵)) |
| 31 | 9, 15, 10 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑𝑘) · ((𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) · 𝐵))) |
| 32 | | expp1 14109 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
→ (𝐵↑(((𝑁 − 𝑘) − 1) + 1)) = ((𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) · 𝐵)) |
| 33 | 32 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
→ ((𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(((𝑁 − 𝑘) − 1) + 1))) |
| 34 | 3, 13, 33 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(((𝑁 − 𝑘) − 1) + 1))) |
| 35 | | nncn 12274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℂ) |
| 36 | 35 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈
ℂ) |
| 37 | 36 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 38 | | elfzoelz 13699 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 39 | 38 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ) |
| 40 | 39 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ) |
| 41 | 37, 40 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ) |
| 42 | | npcan1 11688 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ → (((𝑁 − 𝑘) − 1) + 1) = (𝑁 − 𝑘)) |
| 43 | 42 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ → (𝐵↑(((𝑁 − 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) |
| 44 | 41, 43 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑(((𝑁 − 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) |
| 45 | 34, 44 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) |
| 46 | 45 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · ((𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) · 𝐵)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
| 47 | 30, 31, 46 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
| 48 | 47 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐵 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
| 49 | 29, 48 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
| 50 | 28, 49 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) − (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) − Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) |
| 51 | | nnz 12634 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℤ) |
| 52 | 51 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈
ℤ) |
| 53 | | fzoval 13700 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℤ →
(0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1))) |
| 54 | 52, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1))) |
| 55 | 54 | sumeq1d 15736 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
| 56 | | nnm1nn0 12567 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
| 57 | | nn0uz 12920 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
| 58 | 56, 57 | eleqtrdi 2851 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
| 59 | 58 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
| 60 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 61 | | elfznn0 13660 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
| 62 | | peano2nn0 12566 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ (𝑘 + 1) ∈
ℕ0) |
| 63 | 61, 62 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈
ℕ0) |
| 64 | 63 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈
ℕ0) |
| 65 | 60, 64 | expcld 14186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) |
| 66 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 67 | 36 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 68 | 61 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ) |
| 69 | 68 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ) |
| 70 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈
ℂ) |
| 71 | 67, 69, 70 | sub32d 11652 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑘)) |
| 72 | | fznn0sub 13596 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈
ℕ0) |
| 73 | 72 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈
ℕ0) |
| 74 | 71, 73 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈
ℕ0) |
| 75 | 66, 74 | expcld 14186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈
ℂ) |
| 76 | 65, 75 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) ∈
ℂ) |
| 77 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑘 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1)) |
| 78 | 77 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1))) |
| 79 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑁 − 1))) |
| 80 | 79 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) |
| 81 | 80 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) |
| 82 | 78, 81 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) |
| 83 | 59, 76, 82 | fsumm1 15787 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))))) |
| 84 | 55, 83 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))))) |
| 85 | 54 | sumeq1d 15736 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
| 86 | 61 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
| 87 | 60, 86 | expcld 14186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) |
| 88 | 54 | eleq2d 2827 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)))) |
| 89 | | fzonnsub 13724 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ) |
| 90 | 89 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈
ℕ0) |
| 91 | 88, 90 | biimtrrdi 254 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 𝑘) ∈
ℕ0)) |
| 92 | 91 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 𝑘) ∈
ℕ0) |
| 93 | 66, 92 | expcld 14186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ) |
| 94 | 87, 93 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) ∈ ℂ) |
| 95 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑0)) |
| 96 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 0)) |
| 97 | 96 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = 0 → (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)) = (𝐵↑(𝑁 − 0))) |
| 98 | 95, 97 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0)))) |
| 99 | 59, 94, 98 | fsum1p 15789 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = (((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) |
| 100 | 2 | exp0d 14180 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1) |
| 101 | 36 | subid1d 11609 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 − 0) = 𝑁) |
| 102 | 101 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(𝑁 − 0)) = (𝐵↑𝑁)) |
| 103 | 100, 102 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) = (1 · (𝐵↑𝑁))) |
| 104 | | simp1 1137 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈
ℕ) |
| 105 | 104 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 106 | 3, 105 | expcld 14186 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ) |
| 107 | 106 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1
· (𝐵↑𝑁)) = (𝐵↑𝑁)) |
| 108 | 103, 107 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) = (𝐵↑𝑁)) |
| 109 | | 0p1e1 12388 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (0 + 1) =
1 |
| 110 | 109 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 + 1)
= 1) |
| 111 | 110 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 +
1)...(𝑁 − 1)) =
(1...(𝑁 −
1))) |
| 112 | 111 | sumeq1d 15736 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ ((0 +
1)...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
| 113 | 108, 112 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) = ((𝐵↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) |
| 114 | 85, 99, 113 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = ((𝐵↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) |
| 115 | 84, 114 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) − Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) = ((Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) − ((𝐵↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))))) |
| 116 | | fzfid 14014 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(1...(𝑁 − 1)) ∈
Fin) |
| 117 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 118 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ) |
| 119 | 118 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
| 120 | 119 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
| 121 | 117, 120 | expcld 14186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) |
| 122 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 123 | | fzoval 13700 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈ ℤ →
(1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1))) |
| 124 | 52, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1))) |
| 125 | 124 | eleq2d 2827 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)))) |
| 126 | | fzonnsub 13724 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ) |
| 127 | 126 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈
ℕ0) |
| 128 | 125, 127 | biimtrrdi 254 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 𝑘) ∈
ℕ0)) |
| 129 | 128 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 𝑘) ∈
ℕ0) |
| 130 | 122, 129 | expcld 14186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ) |
| 131 | 121, 130 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) ∈ ℂ) |
| 132 | 116, 131 | fsumcl 15769 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) ∈ ℂ) |
| 133 | 2, 105 | expcld 14186 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ) |
| 134 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 + 1) = (𝑙 + 1)) |
| 135 | 134 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = (𝐴↑(𝑙 + 1))) |
| 136 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑙)) |
| 137 | 136 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = ((𝑁 − 𝑙) − 1)) |
| 138 | 137 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − 𝑙) − 1))) |
| 139 | 135, 138 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑙) − 1)))) |
| 140 | 139 | cbvsumv 15732 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Σ𝑘 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑙) − 1))) |
| 141 | | 1m1e0 12338 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1
− 1) = 0 |
| 142 | 141 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 = (1
− 1) |
| 143 | 142 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(0...((𝑁 − 1)
− 1)) = ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1)) |
| 144 | 143 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(0...((𝑁 − 1) −
1)) = ((1 − 1)...((𝑁
− 1) − 1))) |
| 145 | 36 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑁 ∈
ℂ) |
| 146 | | elfznn0 13660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑙 ∈
ℕ0) |
| 147 | 146 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑙 ∈
ℂ) |
| 148 | 147 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑙 ∈
ℂ) |
| 149 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → 1 ∈
ℂ) |
| 150 | 145, 148,
149 | subsub4d 11651 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝑁 − 𝑙) − 1) = (𝑁 − (𝑙 + 1))) |
| 151 | 150 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑙) − 1)) = (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))) |
| 152 | 151 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑙) − 1))) = ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))) |
| 153 | 144, 152 | sumeq12dv 15742 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑙 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑙) − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))) |
| 154 | 140, 153 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))) |
| 155 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈
ℤ) |
| 156 | | peano2zm 12660 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈
ℤ) |
| 157 | 52, 156 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈
ℤ) |
| 158 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑(𝑙 + 1))) |
| 159 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑙 + 1))) |
| 160 | 159 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)) = (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))) |
| 161 | 158, 160 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))) |
| 162 | 155, 155,
157, 131, 161 | fsumshftm 15817 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = Σ𝑙 ∈ ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))) |
| 163 | 154, 162 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
| 164 | | npcan1 11688 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁) |
| 165 | 36, 164 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁) |
| 166 | 165 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴↑𝑁)) |
| 167 | | peano2cnm 11575 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈
ℂ) |
| 168 | 35, 167 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈
ℂ) |
| 169 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈
ℂ) |
| 170 | 35, 168, 169 | sub32d 11652 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = ((𝑁 − 1) − (𝑁 − 1))) |
| 171 | 168 | subidd 11608 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − (𝑁 − 1)) =
0) |
| 172 | 170, 171 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) =
0) |
| 173 | 172 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) =
0) |
| 174 | 173 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = (𝐵↑0)) |
| 175 | | exp0 14106 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1) |
| 176 | 175 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1) |
| 177 | 174, 176 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) =
1) |
| 178 | 166, 177 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = ((𝐴↑𝑁) · 1)) |
| 179 | 133 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) · 1) = (𝐴↑𝑁)) |
| 180 | 178, 179 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = (𝐴↑𝑁)) |
| 181 | 163, 180 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(Σ𝑘 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) + (𝐴↑𝑁))) |
| 182 | 132, 133,
181 | comraddd 11475 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(Σ𝑘 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = ((𝐴↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) |
| 183 | 182 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((Σ𝑘 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) − ((𝐵↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) = (((𝐴↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) − ((𝐵↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))))) |
| 184 | 133, 106,
132 | pnpcan2d 11658 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) − ((𝐵↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) = ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁))) |
| 185 | 115, 183,
184 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) − Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) = ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁))) |
| 186 | 18, 50, 185 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) |
| 187 | 186 | 3exp 1120 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))))) |
| 188 | | simp2 1138 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 189 | | simp3 1139 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 190 | 188, 189 | subcld 11620 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 191 | 190 | mul01d 11460 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 0) = 0) |
| 192 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 = 0 → (0..^𝑁) = (0..^0)) |
| 193 | | fzo0 13723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (0..^0) =
∅ |
| 194 | 192, 193 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 = 0 → (0..^𝑁) = ∅) |
| 195 | 194 | sumeq1d 15736 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
| 196 | 195 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
| 197 | | sum0 15757 |
. . . . . . . 8
⊢
Σ𝑘 ∈
∅ ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = 0 |
| 198 | 196, 197 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = 0) |
| 199 | 198 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = ((𝐴 − 𝐵) · 0)) |
| 200 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0)) |
| 201 | 200 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0)) |
| 202 | | exp0 14106 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1) |
| 203 | 202 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1) |
| 204 | 201, 203 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑁) = 1) |
| 205 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 = 0 → (𝐵↑𝑁) = (𝐵↑0)) |
| 206 | 205 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑𝑁) = (𝐵↑0)) |
| 207 | 175 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1) |
| 208 | 206, 207 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑𝑁) = 1) |
| 209 | 204, 208 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = (1 − 1)) |
| 210 | 209, 141 | eqtrdi 2793 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = 0) |
| 211 | 191, 199,
210 | 3eqtr4rd 2788 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) |
| 212 | 211 | 3exp 1120 |
. . . 4
⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))))) |
| 213 | 187, 212 | jaoi 858 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))))) |
| 214 | 1, 213 | sylbi 217 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝐴 ∈ ℂ
→ (𝐵 ∈ ℂ
→ ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))))) |
| 215 | 214 | 3imp 1111 |
1
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐴 ∈ ℂ
∧ 𝐵 ∈ ℂ)
→ ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) |