Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elnn0 11971 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
↔ (𝑁 ∈ ℕ
∨ 𝑁 =
0)) |
2 | | simp2 1138 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈
ℂ) |
3 | | simp3 1139 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈
ℂ) |
4 | | fzofi 13426 |
. . . . . . . . 9
⊢
(0..^𝑁) ∈
Fin |
5 | 4 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(0..^𝑁) ∈
Fin) |
6 | 2 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
7 | | elfzonn0 13166 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
8 | 7 | adantl 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
9 | 6, 8 | expcld 13595 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) |
10 | 3 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
11 | | ubmelm1fzo 13217 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ (0..^𝑁)) |
12 | | elfzonn0 13166 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈
ℕ0) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈
ℕ0) |
14 | 13 | adantl 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈
ℕ0) |
15 | 10, 14 | expcld 13595 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈
ℂ) |
16 | 9, 15 | mulcld 10732 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) ∈
ℂ) |
17 | 5, 16 | fsumcl 15176 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) ∈
ℂ) |
18 | 2, 3, 17 | subdird 11168 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = ((𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) − (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))) |
19 | 5, 2, 16 | fsummulc2 15225 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐴 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) |
20 | 6, 9, 15 | mulassd 10735 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 · (𝐴↑𝑘)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = (𝐴 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) |
21 | 6, 9 | mulcomd 10733 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 · (𝐴↑𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) |
22 | | expp1 13521 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) |
23 | 2, 7, 22 | syl2an 599 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) |
24 | 21, 23 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 · (𝐴↑𝑘)) = (𝐴↑(𝑘 + 1))) |
25 | 24 | oveq1d 7179 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 · (𝐴↑𝑘)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
26 | 20, 25 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
27 | 26 | sumeq2dv 15146 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐴 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
28 | 19, 27 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
29 | 5, 3, 16 | fsummulc2 15225 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐵 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) |
30 | 10, 16 | mulcomd 10733 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = (((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) · 𝐵)) |
31 | 9, 15, 10 | mulassd 10735 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑𝑘) · ((𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) · 𝐵))) |
32 | | expp1 13521 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
→ (𝐵↑(((𝑁 − 𝑘) − 1) + 1)) = ((𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) · 𝐵)) |
33 | 32 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
→ ((𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(((𝑁 − 𝑘) − 1) + 1))) |
34 | 3, 13, 33 | syl2an 599 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(((𝑁 − 𝑘) − 1) + 1))) |
35 | | nncn 11717 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℂ) |
36 | 35 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈
ℂ) |
37 | 36 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ) |
38 | | elfzoelz 13122 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ) |
39 | 38 | zcnd 12162 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ) |
40 | 39 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ) |
41 | 37, 40 | subcld 11068 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ) |
42 | | npcan1 11136 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ → (((𝑁 − 𝑘) − 1) + 1) = (𝑁 − 𝑘)) |
43 | 42 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ → (𝐵↑(((𝑁 − 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) |
44 | 41, 43 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑(((𝑁 − 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) |
45 | 34, 44 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) |
46 | 45 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · ((𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) · 𝐵)) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
47 | 30, 31, 46 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
48 | 47 | sumeq2dv 15146 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐵 · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
49 | 29, 48 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
50 | 28, 49 | oveq12d 7182 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) − (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) − Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) |
51 | | nnz 12078 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℤ) |
52 | 51 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈
ℤ) |
53 | | fzoval 13123 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℤ →
(0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1))) |
54 | 52, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1))) |
55 | 54 | sumeq1d 15144 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
56 | | nnm1nn0 12010 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
57 | | nn0uz 12355 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
58 | 56, 57 | eleqtrdi 2843 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
59 | 58 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
60 | 2 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
61 | | elfznn0 13084 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
62 | | peano2nn0 12009 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ (𝑘 + 1) ∈
ℕ0) |
63 | 61, 62 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈
ℕ0) |
64 | 63 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈
ℕ0) |
65 | 60, 64 | expcld 13595 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) |
66 | 3 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ) |
67 | 36 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ) |
68 | 61 | nn0cnd 12031 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ) |
69 | 68 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ) |
70 | | 1cnd 10707 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈
ℂ) |
71 | 67, 69, 70 | sub32d 11100 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑘)) |
72 | | fznn0sub 13023 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈
ℕ0) |
73 | 72 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈
ℕ0) |
74 | 71, 73 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈
ℕ0) |
75 | 66, 74 | expcld 13595 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈
ℂ) |
76 | 65, 75 | mulcld 10732 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) ∈
ℂ) |
77 | | oveq1 7171 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑘 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1)) |
78 | 77 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1))) |
79 | | oveq2 7172 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑁 − 1))) |
80 | 79 | oveq1d 7179 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) |
81 | 80 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) |
82 | 78, 81 | oveq12d 7182 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) |
83 | 59, 76, 82 | fsumm1 15192 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))))) |
84 | 55, 83 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))))) |
85 | 54 | sumeq1d 15144 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
86 | 61 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
87 | 60, 86 | expcld 13595 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) |
88 | 54 | eleq2d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)))) |
89 | | fzonnsub 13146 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ) |
90 | 89 | nnnn0d 12029 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈
ℕ0) |
91 | 88, 90 | syl6bir 257 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 𝑘) ∈
ℕ0)) |
92 | 91 | imp 410 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 𝑘) ∈
ℕ0) |
93 | 66, 92 | expcld 13595 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ) |
94 | 87, 93 | mulcld 10732 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) ∈ ℂ) |
95 | | oveq2 7172 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑0)) |
96 | | oveq2 7172 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 0)) |
97 | 96 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = 0 → (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)) = (𝐵↑(𝑁 − 0))) |
98 | 95, 97 | oveq12d 7182 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0)))) |
99 | 59, 94, 98 | fsum1p 15194 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = (((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) |
100 | 2 | exp0d 13589 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1) |
101 | 36 | subid1d 11057 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 − 0) = 𝑁) |
102 | 101 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(𝑁 − 0)) = (𝐵↑𝑁)) |
103 | 100, 102 | oveq12d 7182 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) = (1 · (𝐵↑𝑁))) |
104 | | simp1 1137 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈
ℕ) |
105 | 104 | nnnn0d 12029 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
106 | 3, 105 | expcld 13595 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ) |
107 | 106 | mulid2d 10730 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1
· (𝐵↑𝑁)) = (𝐵↑𝑁)) |
108 | 103, 107 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) = (𝐵↑𝑁)) |
109 | | 0p1e1 11831 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (0 + 1) =
1 |
110 | 109 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 + 1)
= 1) |
111 | 110 | oveq1d 7179 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 +
1)...(𝑁 − 1)) =
(1...(𝑁 −
1))) |
112 | 111 | sumeq1d 15144 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ ((0 +
1)...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
113 | 108, 112 | oveq12d 7182 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) = ((𝐵↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) |
114 | 85, 99, 113 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = ((𝐵↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) |
115 | 84, 114 | oveq12d 7182 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) − Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) = ((Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) − ((𝐵↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))))) |
116 | | fzfid 13425 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(1...(𝑁 − 1)) ∈
Fin) |
117 | 2 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
118 | | elfznn 13020 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ) |
119 | 118 | nnnn0d 12029 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
120 | 119 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
121 | 117, 120 | expcld 13595 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) |
122 | 3 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ) |
123 | | fzoval 13123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈ ℤ →
(1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1))) |
124 | 52, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1))) |
125 | 124 | eleq2d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)))) |
126 | | fzonnsub 13146 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ) |
127 | 126 | nnnn0d 12029 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈
ℕ0) |
128 | 125, 127 | syl6bir 257 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 𝑘) ∈
ℕ0)) |
129 | 128 | imp 410 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 𝑘) ∈
ℕ0) |
130 | 122, 129 | expcld 13595 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ) |
131 | 121, 130 | mulcld 10732 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) ∈ ℂ) |
132 | 116, 131 | fsumcl 15176 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) ∈ ℂ) |
133 | 2, 105 | expcld 13595 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ) |
134 | | oveq1 7171 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 + 1) = (𝑙 + 1)) |
135 | 134 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = (𝐴↑(𝑙 + 1))) |
136 | | oveq2 7172 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑙)) |
137 | 136 | oveq1d 7179 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = ((𝑁 − 𝑙) − 1)) |
138 | 137 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − 𝑙) − 1))) |
139 | 135, 138 | oveq12d 7182 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑙) − 1)))) |
140 | 139 | cbvsumv 15139 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Σ𝑘 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑙) − 1))) |
141 | | 1m1e0 11781 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1
− 1) = 0 |
142 | 141 | eqcomi 2747 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 = (1
− 1) |
143 | 142 | oveq1i 7174 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(0...((𝑁 − 1)
− 1)) = ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1)) |
144 | 143 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(0...((𝑁 − 1) −
1)) = ((1 − 1)...((𝑁
− 1) − 1))) |
145 | 36 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑁 ∈
ℂ) |
146 | | elfznn0 13084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑙 ∈
ℕ0) |
147 | 146 | nn0cnd 12031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑙 ∈
ℂ) |
148 | 147 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑙 ∈
ℂ) |
149 | | 1cnd 10707 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → 1 ∈
ℂ) |
150 | 145, 148,
149 | subsub4d 11099 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝑁 − 𝑙) − 1) = (𝑁 − (𝑙 + 1))) |
151 | 150 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑((𝑁 − 𝑙) − 1)) = (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))) |
152 | 151 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑙) − 1))) = ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))) |
153 | 144, 152 | sumeq12dv 15149 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑙 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑙) − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))) |
154 | 140, 153 | syl5eq 2785 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))) |
155 | | 1zzd 12087 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈
ℤ) |
156 | | peano2zm 12099 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈
ℤ) |
157 | 52, 156 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈
ℤ) |
158 | | oveq2 7172 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑(𝑙 + 1))) |
159 | | oveq2 7172 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑙 + 1))) |
160 | 159 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)) = (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))) |
161 | 158, 160 | oveq12d 7182 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))) |
162 | 155, 155,
157, 131, 161 | fsumshftm 15222 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) = Σ𝑙 ∈ ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))) |
163 | 154, 162 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑘 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) |
164 | | npcan1 11136 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁) |
165 | 36, 164 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁) |
166 | 165 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴↑𝑁)) |
167 | | peano2cnm 11023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈
ℂ) |
168 | 35, 167 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈
ℂ) |
169 | | 1cnd 10707 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈
ℂ) |
170 | 35, 168, 169 | sub32d 11100 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = ((𝑁 − 1) − (𝑁 − 1))) |
171 | 168 | subidd 11056 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − (𝑁 − 1)) =
0) |
172 | 170, 171 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) =
0) |
173 | 172 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) =
0) |
174 | 173 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = (𝐵↑0)) |
175 | | exp0 13518 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1) |
176 | 175 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1) |
177 | 174, 176 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) =
1) |
178 | 166, 177 | oveq12d 7182 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = ((𝐴↑𝑁) · 1)) |
179 | 133 | mulid1d 10729 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) · 1) = (𝐴↑𝑁)) |
180 | 178, 179 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = (𝐴↑𝑁)) |
181 | 163, 180 | oveq12d 7182 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(Σ𝑘 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))) + (𝐴↑𝑁))) |
182 | 132, 133,
181 | comraddd 10925 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(Σ𝑘 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = ((𝐴↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) |
183 | 182 | oveq1d 7179 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((Σ𝑘 ∈
(0...((𝑁 − 1) −
1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) − ((𝐵↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) = (((𝐴↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) − ((𝐵↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))))) |
184 | 133, 106,
132 | pnpcan2d 11106 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) − ((𝐵↑𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘))))) = ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁))) |
185 | 115, 183,
184 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) − Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)))) = ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁))) |
186 | 18, 50, 185 | 3eqtrrd 2778 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) |
187 | 186 | 3exp 1120 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))))) |
188 | | simp2 1138 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ) |
189 | | simp3 1139 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ) |
190 | 188, 189 | subcld 11068 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
191 | 190 | mul01d 10910 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 0) = 0) |
192 | | oveq2 7172 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 = 0 → (0..^𝑁) = (0..^0)) |
193 | | fzo0 13145 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (0..^0) =
∅ |
194 | 192, 193 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 = 0 → (0..^𝑁) = ∅) |
195 | 194 | sumeq1d 15144 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
196 | 195 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) |
197 | | sum0 15164 |
. . . . . . . 8
⊢
Σ𝑘 ∈
∅ ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = 0 |
198 | 196, 197 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = 0) |
199 | 198 | oveq2d 7180 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = ((𝐴 − 𝐵) · 0)) |
200 | | oveq2 7172 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0)) |
201 | 200 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0)) |
202 | | exp0 13518 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1) |
203 | 202 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1) |
204 | 201, 203 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑁) = 1) |
205 | | oveq2 7172 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 = 0 → (𝐵↑𝑁) = (𝐵↑0)) |
206 | 205 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑𝑁) = (𝐵↑0)) |
207 | 175 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1) |
208 | 206, 207 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑𝑁) = 1) |
209 | 204, 208 | oveq12d 7182 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = (1 − 1)) |
210 | 209, 141 | eqtrdi 2789 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = 0) |
211 | 191, 199,
210 | 3eqtr4rd 2784 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) |
212 | 211 | 3exp 1120 |
. . . 4
⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))))) |
213 | 187, 212 | jaoi 856 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))))) |
214 | 1, 213 | sylbi 220 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝐴 ∈ ℂ
→ (𝐵 ∈ ℂ
→ ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))))) |
215 | 214 | 3imp 1112 |
1
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐴 ∈ ℂ
∧ 𝐵 ∈ ℂ)
→ ((𝐴↑𝑁) − (𝐵↑𝑁)) = ((𝐴 − 𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑((𝑁 − 𝑘) − 1))))) |