MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdif 15816
Description: The difference of two numbers to the same power is the difference of the two numbers multiplied with a finite sum. Generalization of subsq 14175. See Wikipedia "Fermat number", section "Other theorems about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number 14175, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.) (Revised by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
pwdif ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem pwdif
Dummy variable ๐‘™ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12473 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 simp2 1134 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 simp3 1135 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 fzofi 13940 . . . . . . . . 9 (0..^๐‘) โˆˆ Fin
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0..^๐‘) โˆˆ Fin)
62adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 elfzonn0 13678 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
87adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
96, 8expcld 14112 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
103adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
11 ubmelm1fzo 13729 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ (0..^๐‘))
12 elfzonn0 13678 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1413adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1510, 14expcld 14112 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
169, 15mulcld 11233 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
175, 16fsumcl 15681 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
182, 3, 17subdird 11670 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ((๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) โˆ’ (๐ต ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))))
195, 2, 16fsummulc2 15732 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(๐ด ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
206, 9, 15mulassd 11236 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = (๐ด ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
216, 9mulcomd 11234 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
22 expp1 14035 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
232, 7, 22syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
2421, 23eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
2524oveq1d 7417 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
2620, 25eqtr3d 2766 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
2726sumeq2dv 15651 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(๐ด ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
2819, 27eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
295, 3, 16fsummulc2 15732 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(๐ต ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
3010, 16mulcomd 11234 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) ยท ๐ต))
319, 15, 10mulassd 11236 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)))
32 expp1 14035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ๐ต))
3332eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘(((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) + 1)))
343, 13, 33syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘(((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) + 1)))
35 nncn 12219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
36353ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
38 elfzoelz 13633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
3938zcnd 12666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
4137, 40subcld 11570 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
42 npcan1 11638 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) + 1) = (๐‘ โˆ’ ๐‘˜))
4342oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘(((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) + 1)) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
4441, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ตโ†‘(((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) + 1)) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
4534, 44eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
4645oveq2d 7418 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
4730, 31, 463eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
4847sumeq2dv 15651 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(๐ต ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
4929, 48eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
5028, 49oveq12d 7420 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) โˆ’ (๐ต ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))))
51 nnz 12578 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
52513ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
53 fzoval 13634 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0..^๐‘) = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0..^๐‘) = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
5554sumeq1d 15649 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
56 nnm1nn0 12512 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
57 nn0uz 12863 . . . . . . . . . . . 12 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
5856, 57eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
59583ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
602adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
61 elfznn0 13595 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
62 peano2nn0 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
6560, 64expcld 14112 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
663adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6861nn0cnd 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
70 1cnd 11208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7167, 69, 70sub32d 11602 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))
72 fznn0sub 13534 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
7471, 73eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7566, 74expcld 14112 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
7665, 75mulcld 11233 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
77 oveq1 7409 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘˜ + 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
7877oveq2d 7418 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)))
79 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)))
8079oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
8180oveq2d 7418 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) = (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
8278, 81oveq12d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
8359, 76, 82fsumm1 15699 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))))
8455, 83eqtrd 2764 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))))
8554sumeq1d 15649 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
8661adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8760, 86expcld 14112 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
8854eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†” ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))))
89 fzonnsub 13658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
9089nnnn0d 12531 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
9188, 90syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0))
9291imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
9366, 92expcld 14112 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
9487, 93mulcld 11233 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
95 oveq2 7410 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘0))
96 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ 0))
9796oveq2d 7418 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0)))
9895, 97oveq12d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0))))
9959, 94, 98fsum1p 15701 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = (((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))))
1002exp0d 14106 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
10136subid1d 11559 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 0) = ๐‘)
102101oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0)) = (๐ตโ†‘๐‘))
103100, 102oveq12d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0))) = (1 ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
104 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
105104nnnn0d 12531 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1063, 105expcld 14112 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
107106mullidd 11231 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ตโ†‘๐‘))
108103, 107eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0))) = (๐ตโ†‘๐‘))
109 0p1e1 12333 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 + 1) = 1)
111110oveq1d 7417 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (1...(๐‘ โˆ’ 1)))
112111sumeq1d 15649 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
113108, 112oveq12d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))) = ((๐ตโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))))
11485, 99, 1133eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = ((๐ตโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))))
11584, 114oveq12d 7420 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐ตโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))))
116 fzfid 13939 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
1172adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
118 elfznn 13531 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
119118nnnn0d 12531 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
121117, 120expcld 14112 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1223adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
123 fzoval 13634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1..^๐‘) = (1...(๐‘ โˆ’ 1)))
12452, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1..^๐‘) = (1...(๐‘ โˆ’ 1)))
125124eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1..^๐‘) โ†” ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))))
126 fzonnsub 13658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
127126nnnn0d 12531 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
128125, 127syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0))
129128imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
130122, 129expcld 14112 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
131121, 130mulcld 11233 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
132116, 131fsumcl 15681 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
1332, 105expcld 14112 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
134 oveq1 7409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐‘˜ + 1) = (๐‘™ + 1))
135134oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = (๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)))
136 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐‘™))
137136oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1))
138137oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) = (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1)))
139135, 138oveq12d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1))))
140139cbvsumv 15644 . . . . . . . . . . . 12 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1)))
141 1m1e0 12283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 โˆ’ 1) = 0
142141eqcomi 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (1 โˆ’ 1)
143142oveq1i 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ 1)...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ 1)...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)))
14536adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
146 elfznn0 13595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„•0)
147146nn0cnd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
148147adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
149 1cnd 11208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
150145, 148, 149subsub4d 11601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))
151150oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1)) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1))))
152151oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))))
153144, 152sumeq12dv 15654 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))))
154140, 153eqtrid 2776 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))))
155 1zzd 12592 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
156 peano2zm 12604 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
15752, 156syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
158 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘™ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)))
159 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = (๐‘™ + 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))
160159oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘™ + 1) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1))))
161158, 160oveq12d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘™ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = ((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))))
162155, 155, 157, 131, 161fsumshftm 15729 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))))
163154, 162eqtr4d 2767 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
164 npcan1 11638 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
16536, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
166165oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (๐ดโ†‘๐‘))
167 peano2cnm 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
16835, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
169 1cnd 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
17035, 168, 169sub32d 11602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)))
171168subidd 11558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) = 0)
172170, 171eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) = 0)
1731723ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) = 0)
174173oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)) = (๐ตโ†‘0))
175 exp0 14032 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
1761753ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
177174, 176eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)) = 1)
178166, 177oveq12d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท 1))
179133mulridd 11230 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท 1) = (๐ดโ†‘๐‘))
180178, 179eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))) = (๐ดโ†‘๐‘))
181163, 180oveq12d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) + (๐ดโ†‘๐‘)))
182132, 133, 181comraddd 11427 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))) = ((๐ดโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))))
183182oveq1d 7417 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐ตโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))) = (((๐ดโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))) โˆ’ ((๐ตโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))))
184133, 106, 132pnpcan2d 11608 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))) โˆ’ ((๐ตโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))) = ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)))
185115, 183, 1843eqtrd 2768 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))) = ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)))
18618, 50, 1853eqtrrd 2769 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
1871863exp 1116 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))))
188 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
189 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
190188, 189subcld 11570 . . . . . . 7 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
191190mul01d 11412 . . . . . 6 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท 0) = 0)
192 oveq2 7410 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = 0 โ†’ (0..^๐‘) = (0..^0))
193 fzo0 13657 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = โˆ…
194192, 193eqtrdi 2780 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = 0 โ†’ (0..^๐‘) = โˆ…)
195194sumeq1d 15649 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
1961953ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
197 sum0 15669 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = 0
198196, 197eqtrdi 2780 . . . . . . 7 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = 0)
199198oveq2d 7418 . . . . . 6 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท 0))
200 oveq2 7410 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (๐ดโ†‘0))
2012003ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (๐ดโ†‘0))
202 exp0 14032 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
2032023ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
204201, 203eqtrd 2764 . . . . . . . 8 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = 1)
205 oveq2 7410 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) = (๐ตโ†‘0))
2062053ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) = (๐ตโ†‘0))
2071753ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
208206, 207eqtrd 2764 . . . . . . . 8 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) = 1)
209204, 208oveq12d 7420 . . . . . . 7 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = (1 โˆ’ 1))
210209, 141eqtrdi 2780 . . . . . 6 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = 0)
211191, 199, 2103eqtr4rd 2775 . . . . 5 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
2122113exp 1116 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))))
213187, 212jaoi 854 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))))
2141, 213sylbi 216 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))))
2152143imp 1108 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ…c0 4315  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11443  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„คโ‰ฅcuz 12821  ...cfz 13485  ..^cfzo 13628  โ†‘cexp 14028  ฮฃcsu 15634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635
This theorem is referenced by:  pwm1geoser  15817  fltnltalem  41956  2pwp1prm  46803
  Copyright terms: Public domain W3C validator