MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdif 15847
Description: The difference of two numbers to the same power is the difference of the two numbers multiplied with a finite sum. Generalization of subsq 14206. See Wikipedia "Fermat number", section "Other theorems about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number 14206, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.) (Revised by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
pwdif ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem pwdif
Dummy variable ๐‘™ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12505 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 simp2 1135 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 simp3 1136 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 fzofi 13972 . . . . . . . . 9 (0..^๐‘) โˆˆ Fin
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0..^๐‘) โˆˆ Fin)
62adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 elfzonn0 13710 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
87adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
96, 8expcld 14143 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
103adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
11 ubmelm1fzo 13761 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ (0..^๐‘))
12 elfzonn0 13710 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1413adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1510, 14expcld 14143 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
169, 15mulcld 11265 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
175, 16fsumcl 15712 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
182, 3, 17subdird 11702 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ((๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) โˆ’ (๐ต ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))))
195, 2, 16fsummulc2 15763 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(๐ด ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
206, 9, 15mulassd 11268 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = (๐ด ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
216, 9mulcomd 11266 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
22 expp1 14066 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
232, 7, 22syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
2421, 23eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
2524oveq1d 7435 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
2620, 25eqtr3d 2770 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
2726sumeq2dv 15682 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(๐ด ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
2819, 27eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
295, 3, 16fsummulc2 15763 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(๐ต ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
3010, 16mulcomd 11266 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) ยท ๐ต))
319, 15, 10mulassd 11268 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)))
32 expp1 14066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ๐ต))
3332eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘(((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) + 1)))
343, 13, 33syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘(((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) + 1)))
35 nncn 12251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
36353ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
38 elfzoelz 13665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
3938zcnd 12698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
4137, 40subcld 11602 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
42 npcan1 11670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) + 1) = (๐‘ โˆ’ ๐‘˜))
4342oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘(((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) + 1)) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
4441, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ตโ†‘(((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) + 1)) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
4534, 44eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
4645oveq2d 7436 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ((๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
4730, 31, 463eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
4847sumeq2dv 15682 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(๐ต ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
4929, 48eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
5028, 49oveq12d 7438 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) โˆ’ (๐ต ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))))
51 nnz 12610 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
52513ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
53 fzoval 13666 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0..^๐‘) = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0..^๐‘) = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
5554sumeq1d 15680 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
56 nnm1nn0 12544 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
57 nn0uz 12895 . . . . . . . . . . . 12 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
5856, 57eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
59583ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
602adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
61 elfznn0 13627 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
62 peano2nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
6560, 64expcld 14143 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
663adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6861nn0cnd 12565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
70 1cnd 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7167, 69, 70sub32d 11634 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜))
72 fznn0sub 13566 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
7471, 73eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7566, 74expcld 14143 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
7665, 75mulcld 11265 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
77 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘˜ + 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
7877oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)))
79 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)))
8079oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
8180oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) = (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
8278, 81oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
8359, 76, 82fsumm1 15730 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))))
8455, 83eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))))
8554sumeq1d 15680 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
8661adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8760, 86expcld 14143 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
8854eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†” ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))))
89 fzonnsub 13690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
9089nnnn0d 12563 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
9188, 90syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0))
9291imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
9366, 92expcld 14143 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
9487, 93mulcld 11265 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
95 oveq2 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘0))
96 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ 0))
9796oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0)))
9895, 97oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0))))
9959, 94, 98fsum1p 15732 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = (((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))))
1002exp0d 14137 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
10136subid1d 11591 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 0) = ๐‘)
102101oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0)) = (๐ตโ†‘๐‘))
103100, 102oveq12d 7438 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0))) = (1 ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
104 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
105104nnnn0d 12563 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1063, 105expcld 14143 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
107106mullidd 11263 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ตโ†‘๐‘))
108103, 107eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0))) = (๐ตโ†‘๐‘))
109 0p1e1 12365 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 + 1) = 1)
111110oveq1d 7435 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (1...(๐‘ โˆ’ 1)))
112111sumeq1d 15680 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
113108, 112oveq12d 7438 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 0))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))) = ((๐ตโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))))
11485, 99, 1133eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = ((๐ตโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))))
11584, 114oveq12d 7438 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐ตโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))))
116 fzfid 13971 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
1172adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
118 elfznn 13563 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
119118nnnn0d 12563 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
121117, 120expcld 14143 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1223adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
123 fzoval 13666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1..^๐‘) = (1...(๐‘ โˆ’ 1)))
12452, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1..^๐‘) = (1...(๐‘ โˆ’ 1)))
125124eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1..^๐‘) โ†” ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))))
126 fzonnsub 13690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
127126nnnn0d 12563 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (1..^๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
128125, 127syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0))
129128imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
130122, 129expcld 14143 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
131121, 130mulcld 11265 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
132116, 131fsumcl 15712 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
1332, 105expcld 14143 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
134 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐‘˜ + 1) = (๐‘™ + 1))
135134oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = (๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)))
136 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐‘™))
137136oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1))
138137oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) = (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1)))
139135, 138oveq12d 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1))))
140139cbvsumv 15675 . . . . . . . . . . . 12 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1)))
141 1m1e0 12315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 โˆ’ 1) = 0
142141eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (1 โˆ’ 1)
143142oveq1i 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ 1)...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ 1)...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)))
14536adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
146 elfznn0 13627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„•0)
147146nn0cnd 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
148147adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
149 1cnd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
150145, 148, 149subsub4d 11633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))
151150oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1)) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1))))
152151oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))))
153144, 152sumeq12dv 15685 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘™) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))))
154140, 153eqtrid 2780 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))))
155 1zzd 12624 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
156 peano2zm 12636 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
15752, 156syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
158 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘™ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)))
159 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = (๐‘™ + 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))
160159oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘™ + 1) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1))))
161158, 160oveq12d 7438 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘™ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = ((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))))
162155, 155, 157, 131, 161fsumshftm 15760 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘™ + 1)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘™ + 1)))))
163154, 162eqtr4d 2771 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))
164 npcan1 11670 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
16536, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
166165oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (๐ดโ†‘๐‘))
167 peano2cnm 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
16835, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
169 1cnd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
17035, 168, 169sub32d 11634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)))
171168subidd 11590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) = 0)
172170, 171eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) = 0)
1731723ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) = 0)
174173oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)) = (๐ตโ†‘0))
175 exp0 14063 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
1761753ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
177174, 176eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)) = 1)
178166, 177oveq12d 7438 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท 1))
179133mulridd 11262 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท 1) = (๐ดโ†‘๐‘))
180178, 179eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))) = (๐ดโ†‘๐‘))
181163, 180oveq12d 7438 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))) + (๐ดโ†‘๐‘)))
182132, 133, 181comraddd 11459 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))) = ((๐ดโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))))
183182oveq1d 7435 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ 1))((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) + ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐ตโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))) = (((๐ดโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))) โˆ’ ((๐ตโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))))
184133, 106, 132pnpcan2d 11640 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))) โˆ’ ((๐ตโ†‘๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))))) = ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)))
185115, 183, 1843eqtrd 2772 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))) = ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)))
18618, 50, 1853eqtrrd 2773 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
1871863exp 1117 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))))
188 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
189 simp3 1136 . . . . . . . 8 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
190188, 189subcld 11602 . . . . . . 7 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
191190mul01d 11444 . . . . . 6 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท 0) = 0)
192 oveq2 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = 0 โ†’ (0..^๐‘) = (0..^0))
193 fzo0 13689 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = โˆ…
194192, 193eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = 0 โ†’ (0..^๐‘) = โˆ…)
195194sumeq1d 15680 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
1961953ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))))
197 sum0 15700 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = 0
198196, 197eqtrdi 2784 . . . . . . 7 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = 0)
199198oveq2d 7436 . . . . . 6 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท 0))
200 oveq2 7428 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (๐ดโ†‘0))
2012003ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (๐ดโ†‘0))
202 exp0 14063 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
2032023ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
204201, 203eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = 1)
205 oveq2 7428 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) = (๐ตโ†‘0))
2062053ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) = (๐ตโ†‘0))
2071753ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
208206, 207eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) = 1)
209204, 208oveq12d 7438 . . . . . . 7 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = (1 โˆ’ 1))
210209, 141eqtrdi 2784 . . . . . 6 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = 0)
211191, 199, 2103eqtr4rd 2779 . . . . 5 ((๐‘ = 0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
2122113exp 1117 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))))
213187, 212jaoi 856 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))))
2141, 213sylbi 216 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))))
2152143imp 1109 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ…c0 4323  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  โ„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   ยท cmul 11144   โˆ’ cmin 11475  โ„•cn 12243  โ„•0cn0 12503  โ„คcz 12589  โ„คโ‰ฅcuz 12853  ...cfz 13517  ..^cfzo 13660  โ†‘cexp 14059  ฮฃcsu 15665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666
This theorem is referenced by:  pwm1geoser  15848  fltnltalem  42086  2pwp1prm  46929
  Copyright terms: Public domain W3C validator