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Theorem pwdif 15901
Description: The difference of two numbers to the same power is the difference of the two numbers multiplied with a finite sum. Generalization of subsq 14246. See Wikipedia "Fermat number", section "Other theorems about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number 14246, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.) (Revised by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
pwdif ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem pwdif
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12526 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 fzofi 14012 . . . . . . . . 9 (0..^𝑁) ∈ Fin
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
62adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 elfzonn0 13744 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
87adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
96, 8expcld 14183 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
103adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11 ubmelm1fzo 13799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ (0..^𝑁))
12 elfzonn0 13744 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑘) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
1413adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
1510, 14expcld 14183 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
169, 15mulcld 11279 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℂ)
175, 16fsumcl 15766 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℂ)
182, 3, 17subdird 11718 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = ((𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) − (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))))
195, 2, 16fsummulc2 15817 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐴 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
206, 9, 15mulassd 11282 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 · (𝐴𝑘)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = (𝐴 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
216, 9mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 · (𝐴𝑘)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
22 expp1 14106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
232, 7, 22syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2421, 23eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 · (𝐴𝑘)) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
2524oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 · (𝐴𝑘)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
2620, 25eqtr3d 2777 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
2726sumeq2dv 15735 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐴 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
2819, 27eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
295, 3, 16fsummulc2 15817 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐵 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
3010, 16mulcomd 11280 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) · 𝐵))
319, 15, 10mulassd 11282 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) · 𝐵) = ((𝐴𝑘) · ((𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) · 𝐵)))
32 expp1 14106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(((𝑁𝑘) − 1) + 1)) = ((𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) · 𝐵))
3332eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(((𝑁𝑘) − 1) + 1)))
343, 13, 33syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(((𝑁𝑘) − 1) + 1)))
35 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
36353ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38 elfzoelz 13696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3938zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
4137, 40subcld 11618 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℂ)
42 npcan1 11686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑘) ∈ ℂ → (((𝑁𝑘) − 1) + 1) = (𝑁𝑘))
4342oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑘) ∈ ℂ → (𝐵↑(((𝑁𝑘) − 1) + 1)) = (𝐵↑(𝑁𝑘)))
4441, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑(((𝑁𝑘) − 1) + 1)) = (𝐵↑(𝑁𝑘)))
4534, 44eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(𝑁𝑘)))
4645oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) · 𝐵)) = ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
4730, 31, 463eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
4847sumeq2dv 15735 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐵 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
4929, 48eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
5028, 49oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) − (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) − Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))))
51 nnz 12632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
52513ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
53 fzoval 13697 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
5554sumeq1d 15733 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
56 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
57 nn0uz 12918 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
5856, 57eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
59583ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
602adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
61 elfznn0 13657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
62 peano2nn0 12564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
6560, 64expcld 14183 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
663adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
6736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
6861nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
70 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
7167, 69, 70sub32d 11650 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑘))
72 fznn0sub 13593 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
7471, 73eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
7566, 74expcld 14183 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
7665, 75mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℂ)
77 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑘 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
7877oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)))
79 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑁 − 1)))
8079oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝑁𝑘) − 1) = ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))
8180oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))
8278, 81oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))))
8359, 76, 82fsumm1 15784 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
8455, 83eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
8554sumeq1d 15733 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
8661adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8760, 86expcld 14183 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
8854eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
89 fzonnsub 13721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ)
9089nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
9188, 90biimtrrdi 254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0))
9291imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
9366, 92expcld 14183 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
9487, 93mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) ∈ ℂ)
95 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝐴𝑘) = (𝐴↑0))
96 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑁𝑘) = (𝑁 − 0))
9796oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝐵↑(𝑁𝑘)) = (𝐵↑(𝑁 − 0)))
9895, 97oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))))
9959, 94, 98fsum1p 15786 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = (((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))))
1002exp0d 14177 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1)
10136subid1d 11607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
102101oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(𝑁 − 0)) = (𝐵𝑁))
103100, 102oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) = (1 · (𝐵𝑁)))
104 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
105104nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1063, 105expcld 14183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
107106mullidd 11277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · (𝐵𝑁)) = (𝐵𝑁))
108103, 107eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) = (𝐵𝑁))
109 0p1e1 12386 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 + 1) = 1)
111110oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) = (1...(𝑁 − 1)))
112111sumeq1d 15733 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
113108, 112oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))) = ((𝐵𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))))
11485, 99, 1133eqtrd 2779 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = ((𝐵𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))))
11584, 114oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) − Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))) = ((Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) − ((𝐵𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))))
116 fzfid 14011 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
1172adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
118 elfznn 13590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
119118nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
121117, 120expcld 14183 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1223adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
123 fzoval 13697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
12452, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
125124eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
126 fzonnsub 13721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ)
127126nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
128125, 127biimtrrdi 254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0))
129128imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
130122, 129expcld 14183 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
131121, 130mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) ∈ ℂ)
132116, 131fsumcl 15766 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) ∈ ℂ)
1332, 105expcld 14183 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
134 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 + 1) = (𝑙 + 1))
135134oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = (𝐴↑(𝑙 + 1)))
136 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑙 → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑙))
137136oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑁𝑘) − 1) = ((𝑁𝑙) − 1))
138137oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁𝑙) − 1)))
139135, 138oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑙 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑙) − 1))))
140139cbvsumv 15729 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑙) − 1)))
141 1m1e0 12336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 − 1) = 0
142141eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (1 − 1)
143142oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...((𝑁 − 1) − 1)) = ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0...((𝑁 − 1) − 1)) = ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1)))
14536adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
146 elfznn0 13657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
147146nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑙 ∈ ℂ)
148147adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑙 ∈ ℂ)
149 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → 1 ∈ ℂ)
150145, 148, 149subsub4d 11649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝑁𝑙) − 1) = (𝑁 − (𝑙 + 1)))
151150oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑((𝑁𝑙) − 1)) = (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))
152151oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑙) − 1))) = ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))))
153144, 152sumeq12dv 15739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑙) − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))))
154140, 153eqtrid 2787 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))))
155 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
156 peano2zm 12658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
15752, 156syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
158 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐴𝑘) = (𝐴↑(𝑙 + 1)))
159 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑙 + 1)))
160159oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐵↑(𝑁𝑘)) = (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))
161158, 160oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))))
162155, 155, 157, 131, 161fsumshftm 15814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = Σ𝑙 ∈ ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))))
163154, 162eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
164 npcan1 11686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
16536, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
166165oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴𝑁))
167 peano2cnm 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
16835, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
169 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
17035, 168, 169sub32d 11650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = ((𝑁 − 1) − (𝑁 − 1)))
171168subidd 11606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − (𝑁 − 1)) = 0)
172170, 171eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = 0)
1731723ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = 0)
174173oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = (𝐵↑0))
175 exp0 14103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
1761753ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
177174, 176eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = 1)
178166, 177oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = ((𝐴𝑁) · 1))
179133mulridd 11276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) · 1) = (𝐴𝑁))
180178, 179eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = (𝐴𝑁))
181163, 180oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) + (𝐴𝑁)))
182132, 133, 181comraddd 11473 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = ((𝐴𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))))
183182oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) − ((𝐵𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))) = (((𝐴𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))) − ((𝐵𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))))
184133, 106, 132pnpcan2d 11656 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))) − ((𝐵𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))) = ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)))
185115, 183, 1843eqtrd 2779 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) − Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))) = ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)))
18618, 50, 1853eqtrrd 2780 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
1871863exp 1118 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))))
188 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
189 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
190188, 189subcld 11618 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
191190mul01d 11458 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · 0) = 0)
192 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (0..^𝑁) = (0..^0))
193 fzo0 13720 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
194192, 193eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (0..^𝑁) = ∅)
195194sumeq1d 15733 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
1961953ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
197 sum0 15754 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = 0
198196, 197eqtrdi 2791 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = 0)
199198oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = ((𝐴𝐵) · 0))
200 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
2012003ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
202 exp0 14103 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2032023ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1)
204201, 203eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑁) = 1)
205 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝐵𝑁) = (𝐵↑0))
2062053ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝑁) = (𝐵↑0))
2071753ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
208206, 207eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝑁) = 1)
209204, 208oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = (1 − 1))
210209, 141eqtrdi 2791 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = 0)
211191, 199, 2103eqtr4rd 2786 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
2122113exp 1118 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))))
213187, 212jaoi 857 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))))
2141, 213sylbi 217 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))))
2152143imp 1110 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  c0 4339  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  cexp 14099  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  pwm1geoser  15902  fltnltalem  42649  2pwp1prm  47514
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