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Theorem pwdif 15213
 Description: The difference of two numbers to the same power is the difference of the two numbers multiplied with a finite sum. Generalization of subsq 13562. See Wikipedia "Fermat number", section "Other theorems about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number 13562, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.) (Revised by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
pwdif ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem pwdif
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11888 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 simp2 1131 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 simp3 1132 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 fzofi 13332 . . . . . . . . 9 (0..^𝑁) ∈ Fin
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
62adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 elfzonn0 13072 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
87adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
96, 8expcld 13500 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
103adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11 ubmelm1fzo 13123 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ (0..^𝑁))
12 elfzonn0 13072 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑘) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
1413adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
1510, 14expcld 13500 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
169, 15mulcld 10650 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℂ)
175, 16fsumcl 15080 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℂ)
182, 3, 17subdird 11086 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = ((𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) − (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))))
195, 2, 16fsummulc2 15129 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐴 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
206, 9, 15mulassd 10653 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 · (𝐴𝑘)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = (𝐴 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
216, 9mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 · (𝐴𝑘)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
22 expp1 13426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
232, 7, 22syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2421, 23eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 · (𝐴𝑘)) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
2524oveq1d 7163 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 · (𝐴𝑘)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
2620, 25eqtr3d 2863 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
2726sumeq2dv 15050 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐴 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
2819, 27eqtrd 2861 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
295, 3, 16fsummulc2 15129 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐵 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
3010, 16mulcomd 10651 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) · 𝐵))
319, 15, 10mulassd 10653 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) · 𝐵) = ((𝐴𝑘) · ((𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) · 𝐵)))
32 expp1 13426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(((𝑁𝑘) − 1) + 1)) = ((𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) · 𝐵))
3332eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(((𝑁𝑘) − 1) + 1)))
343, 13, 33syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(((𝑁𝑘) − 1) + 1)))
35 nncn 11635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
36353ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38 elfzoelz 13028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3938zcnd 12077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
4137, 40subcld 10986 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℂ)
42 npcan1 11054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑘) ∈ ℂ → (((𝑁𝑘) − 1) + 1) = (𝑁𝑘))
4342oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑘) ∈ ℂ → (𝐵↑(((𝑁𝑘) − 1) + 1)) = (𝐵↑(𝑁𝑘)))
4441, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵↑(((𝑁𝑘) − 1) + 1)) = (𝐵↑(𝑁𝑘)))
4534, 44eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) · 𝐵) = (𝐵↑(𝑁𝑘)))
4645oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) · 𝐵)) = ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
4730, 31, 463eqtrd 2865 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
4847sumeq2dv 15050 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐵 · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
4929, 48eqtrd 2861 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
5028, 49oveq12d 7166 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) − (𝐵 · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) − Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))))
51 nnz 11993 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
52513ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
53 fzoval 13029 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
5554sumeq1d 15048 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
56 nnm1nn0 11927 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
57 nn0uz 12269 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
5856, 57syl6eleq 2928 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
59583ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
602adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
61 elfznn0 12990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
62 peano2nn0 11926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
6560, 64expcld 13500 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
663adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
6736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
6861nn0cnd 11946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
6968adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
70 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
7167, 69, 70sub32d 11018 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑘))
72 fznn0sub 12929 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
7471, 73eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
7566, 74expcld 13500 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
7665, 75mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) ∈ ℂ)
77 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑘 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
7877oveq2d 7164 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)))
79 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑁 − 1)))
8079oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝑁𝑘) − 1) = ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))
8180oveq2d 7164 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))
8278, 81oveq12d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 − 1) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))))
8359, 76, 82fsumm1 15096 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
8455, 83eqtrd 2861 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))))
8554sumeq1d 15048 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
8661adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8760, 86expcld 13500 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
8854eleq2d 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
89 fzonnsub 13052 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ)
9089nnnn0d 11944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
9188, 90syl6bir 255 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0))
9291imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
9366, 92expcld 13500 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
9487, 93mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) ∈ ℂ)
95 oveq2 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝐴𝑘) = (𝐴↑0))
96 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑁𝑘) = (𝑁 − 0))
9796oveq2d 7164 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝐵↑(𝑁𝑘)) = (𝐵↑(𝑁 − 0)))
9895, 97oveq12d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))))
9959, 94, 98fsum1p 15098 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = (((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))))
1002exp0d 13494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1)
10136subid1d 10975 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
102101oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(𝑁 − 0)) = (𝐵𝑁))
103100, 102oveq12d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) = (1 · (𝐵𝑁)))
104 simp1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
105104nnnn0d 11944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1063, 105expcld 13500 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
107106mulid2d 10648 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · (𝐵𝑁)) = (𝐵𝑁))
108103, 107eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) = (𝐵𝑁))
109 0p1e1 11748 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 + 1) = 1)
111110oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) = (1...(𝑁 − 1)))
112111sumeq1d 15048 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
113108, 112oveq12d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑0) · (𝐵↑(𝑁 − 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))) = ((𝐵𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))))
11485, 99, 1133eqtrd 2865 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = ((𝐵𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))))
11584, 114oveq12d 7166 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) − Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))) = ((Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) − ((𝐵𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))))
116 fzfid 13331 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
1172adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
118 elfznn 12926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
119118nnnn0d 11944 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
120119adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
121117, 120expcld 13500 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1223adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
123 fzoval 13029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
12452, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
125124eleq2d 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
126 fzonnsub 13052 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ)
127126nnnn0d 11944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
128125, 127syl6bir 255 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0))
129128imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
130122, 129expcld 13500 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
131121, 130mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) ∈ ℂ)
132116, 131fsumcl 15080 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) ∈ ℂ)
1332, 105expcld 13500 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
134 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 + 1) = (𝑙 + 1))
135134oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = (𝐴↑(𝑙 + 1)))
136 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑙 → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑙))
137136oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑁𝑘) − 1) = ((𝑁𝑙) − 1))
138137oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)) = (𝐵↑((𝑁𝑙) − 1)))
139135, 138oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑙 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑙) − 1))))
140139cbvsumv 15043 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑙) − 1)))
141 1m1e0 11698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 − 1) = 0
142141eqcomi 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (1 − 1)
143142oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...((𝑁 − 1) − 1)) = ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0...((𝑁 − 1) − 1)) = ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1)))
14536adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
146 elfznn0 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
147146nn0cnd 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1)) → 𝑙 ∈ ℂ)
148147adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → 𝑙 ∈ ℂ)
149 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → 1 ∈ ℂ)
150145, 148, 149subsub4d 11017 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝑁𝑙) − 1) = (𝑁 − (𝑙 + 1)))
151150oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → (𝐵↑((𝑁𝑙) − 1)) = (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))
152151oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))) → ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑙) − 1))) = ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))))
153144, 152sumeq12dv 15053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑙 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑙) − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))))
154140, 153syl5eq 2873 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑙 ∈ ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))))
155 1zzd 12002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
156 peano2zm 12014 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
15752, 156syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
158 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐴𝑘) = (𝐴↑(𝑙 + 1)))
159 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑙 + 1)))
160159oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐵↑(𝑁𝑘)) = (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1))))
161158, 160oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = ((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))))
162155, 155, 157, 131, 161fsumshftm 15126 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) = Σ𝑙 ∈ ((1 − 1)...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑙 + 1)) · (𝐵↑(𝑁 − (𝑙 + 1)))))
163154, 162eqtr4d 2864 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))
164 npcan1 11054 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
16536, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
166165oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴𝑁))
167 peano2cnm 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
16835, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
169 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
17035, 168, 169sub32d 11018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = ((𝑁 − 1) − (𝑁 − 1)))
171168subidd 10974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − (𝑁 − 1)) = 0)
172170, 171eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = 0)
1731723ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1) = 0)
174173oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = (𝐵↑0))
175 exp0 13423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
1761753ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
177174, 176eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)) = 1)
178166, 177oveq12d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = ((𝐴𝑁) · 1))
179133mulid1d 10647 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) · 1) = (𝐴𝑁))
180178, 179eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1))) = (𝐴𝑁))
181163, 180oveq12d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))) + (𝐴𝑁)))
182132, 133, 181comraddd 10843 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) = ((𝐴𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))))
183182oveq1d 7163 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 − 1) − 1))((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) + ((𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) · (𝐵↑((𝑁 − (𝑁 − 1)) − 1)))) − ((𝐵𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))) = (((𝐴𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))) − ((𝐵𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))))
184133, 106, 132pnpcan2d 11024 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))) − ((𝐵𝑁) + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘))))) = ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)))
185115, 183, 1843eqtrd 2865 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) − Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)))) = ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)))
18618, 50, 1853eqtrrd 2866 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
1871863exp 1113 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))))
188 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
189 simp3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
190188, 189subcld 10986 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
191190mul01d 10828 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · 0) = 0)
192 oveq2 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (0..^𝑁) = (0..^0))
193 fzo0 13051 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
194192, 193syl6eq 2877 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (0..^𝑁) = ∅)
195194sumeq1d 15048 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
1961953ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))))
197 sum0 15068 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = 0
198196, 197syl6eq 2877 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1))) = 0)
199198oveq2d 7164 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))) = ((𝐴𝐵) · 0))
200 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
2012003ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
202 exp0 13423 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2032023ad2ant2 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1)
204201, 203eqtrd 2861 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑁) = 1)
205 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝐵𝑁) = (𝐵↑0))
2062053ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝑁) = (𝐵↑0))
2071753ad2ant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
208206, 207eqtrd 2861 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝑁) = 1)
209204, 208oveq12d 7166 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = (1 − 1))
210209, 141syl6eq 2877 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = 0)
211191, 199, 2103eqtr4rd 2872 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
2122113exp 1113 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))))
213187, 212jaoi 853 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))))
2141, 213sylbi 218 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))))
2152143imp 1105 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝐵) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵↑((𝑁𝑘) − 1)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 843   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∅c0 4295  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148  Fincfn 8498  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859  ℕcn 11627  ℕ0cn0 11886  ℤcz 11970  ℤ≥cuz 12232  ...cfz 12882  ..^cfzo 13023  ↑cexp 13419  Σcsu 15032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033 This theorem is referenced by:  pwm1geoser  15214  fltnltalem  39139  2pwp1prm  43583
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