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Theorem proththd 44784
Description: Proth's theorem (1878). If P is a Proth number, i.e. a number of the form k2^n+1 with k less than 2^n, and if there exists an integer x for which x^((P-1)/2) is -1 modulo P, then P is prime. Such a prime is called a Proth prime. Like Pocklington's theorem (see pockthg 16491), Proth's theorem allows for a convenient method for verifying large primes. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
proththd.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
proththd.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
proththd.p (𝜑𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
proththd.l (𝜑𝐾 < (2↑𝑁))
proththd.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
Assertion
Ref Expression
proththd (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem proththd
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11932 . . . 4 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3 proththd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 12179 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
52, 4nnexpcld 13844 . 2 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6 proththd.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
7 proththd.l . 2 (𝜑𝐾 < (2↑𝑁))
8 proththd.p . . 3 (𝜑𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
96nncnd 11875 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
105nncnd 11875 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
119, 10mulcomd 10883 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) = ((2↑𝑁) · 𝐾))
1211oveq1d 7249 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) = (((2↑𝑁) · 𝐾) + 1))
138, 12eqtrd 2779 . 2 (𝜑𝑃 = (((2↑𝑁) · 𝐾) + 1))
14 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
15 2prm 16281 . . . . . 6 2 ∈ ℙ
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℙ)
173adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
18 prmdvdsexpb 16305 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) ↔ 𝑝 = 2))
1914, 16, 17, 18syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) ↔ 𝑝 = 2))
20 proththd.x . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
213, 6, 8proththdlem 44783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))
2221simp1d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2322nncnd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
24 peano2cnm 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
2625adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
27 2cnd 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
28 2ne0 11963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
3026, 27, 29divcan1d 11638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3130eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1) / 2) · 2))
3231oveq2d 7250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = (𝑥↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
33 zcn 12210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3433adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
35 2nn0 12136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ0)
3721simp3d 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
3837nnnn0d 12179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3938adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4034, 36, 39expmuld 13751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4132, 40eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4241ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4342oveq1d 7249 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) mod 𝑃))
4438adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4544anim1i 618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ))
4645ancomd 465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
47 zexpcl 13681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
4948adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
5022nnrpd 12655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
5150ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
5221simp2d 1145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < 𝑃)
5352ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → 1 < 𝑃)
54 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5549, 51, 53, 54modexp2m1d 44782 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) mod 𝑃) = 1)
5643, 55eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)
57 oveq2 7242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 2 → ((𝑃 − 1) / 𝑝) = ((𝑃 − 1) / 2))
5857eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 2 → (((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
5958adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 = 2) → (((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
6044, 59mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑝 = 2) → ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0)
6160anim2i 620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝜑𝑝 = 2)) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0))
6261ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0))
63 zexpcl 13681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ)
6564zred 12311 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℝ)
6665adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℝ)
67 1red 10863 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
6867renegcld 11288 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → -1 ∈ ℝ)
69 oveq2 7242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 = 𝑝 → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 𝑝))
7069eqcoms 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 2 → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 𝑝))
7170oveq2d 7250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 2 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)))
7271oveq1d 7249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 2 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃))
7372eqeq1d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 2 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
7473adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 = 2) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
7574adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
7675biimpa 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
77 eqidd 2740 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
7866, 68, 67, 67, 51, 76, 77modsub12d 13532 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) = ((-1 − 1) mod 𝑃))
7978oveq1d 7249 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃))
80 peano2zm 12249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ)
8164, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ)
8222ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
83 modgcd 16124 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
8481, 82, 83syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
8584adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
86 ax-1cn 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℂ
87 negdi2 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
8887eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-1 − 1) = -(1 + 1))
8986, 86, 88mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1 − 1) = -(1 + 1)
90 1p1e2 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 1) = 2
9190negeqi 11100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -(1 + 1) = -2
9289, 91eqtri 2767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-1 − 1) = -2
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (-1 − 1) = -2)
9493oveq1d 7249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((-1 − 1) mod 𝑃) = (-2 mod 𝑃))
9594oveq1d 7249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃))
96 nnnegz 12208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
972, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -2 ∈ ℤ)
98 modgcd 16124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = (-2 gcd 𝑃))
9997, 22, 98syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = (-2 gcd 𝑃))
100 2z 12238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
10122nnzd 12310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
102 neggcd 16114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (-2 gcd 𝑃) = (2 gcd 𝑃))
103100, 101, 102sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (-2 gcd 𝑃) = (2 gcd 𝑃))
104 nnz 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
105 oddm1d2 15953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
107106biimprd 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ 2 ∥ 𝑃))
108 nnz 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
109107, 108impel 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
110 isoddgcd1 16319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
111104, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
112111adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
113109, 112mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (2 gcd 𝑃) = 1)
1141133adant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (2 gcd 𝑃) = 1)
11521, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 gcd 𝑃) = 1)
116103, 115eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (-2 gcd 𝑃) = 1)
11799, 116eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
11895, 117eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
119118ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
12079, 85, 1193eqtr3d 2787 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)
12156, 120jca 515 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1))
122121ex 416 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
123122reximdva 3203 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 = 2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
124123ex 416 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑝 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1))))
12520, 124mpid 44 . . . . 5 (𝜑 → (𝑝 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
126125adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
12719, 126sylbid 243 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
128127ralrimiva 3108 . 2 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (2↑𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
1295, 6, 7, 13, 128pockthg 16491 1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  wne 2943  wrex 3065   class class class wbr 5069  (class class class)co 7234  cc 10756  cr 10757  0cc0 10758  1c1 10759   + caddc 10761   · cmul 10763   < clt 10896  cmin 11091  -cneg 11092   / cdiv 11518  cn 11859  2c2 11914  0cn0 12119  cz 12205  +crp 12615   mod cmo 13473  cexp 13666  cdvds 15847   gcd cgcd 16085  cprime 16260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834  ax-pre-mulgt0 10835  ax-pre-sup 10836
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-int 4876  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-1o 8225  df-2o 8226  df-oadd 8229  df-er 8414  df-map 8533  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-fin 8653  df-sup 9087  df-inf 9088  df-dju 9546  df-card 9584  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902  df-sub 11093  df-neg 11094  df-div 11519  df-nn 11860  df-2 11922  df-3 11923  df-n0 12120  df-xnn0 12192  df-z 12206  df-uz 12468  df-q 12574  df-rp 12616  df-fz 13125  df-fzo 13268  df-fl 13396  df-mod 13474  df-seq 13606  df-exp 13667  df-hash 13929  df-cj 14694  df-re 14695  df-im 14696  df-sqrt 14830  df-abs 14831  df-dvds 15848  df-gcd 16086  df-prm 16261  df-odz 16350  df-phi 16351  df-pc 16422
This theorem is referenced by:  41prothprm  44789
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