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Theorem proththd 47091
Description: Proth's theorem (1878). If P is a Proth number, i.e. a number of the form k2^n+1 with k less than 2^n, and if there exists an integer x for which x^((P-1)/2) is -1 modulo P, then P is prime. Such a prime is called a Proth prime. Like Pocklington's theorem (see pockthg 16878), Proth's theorem allows for a convenient method for verifying large primes. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
proththd.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
proththd.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
proththd.p (𝜑𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
proththd.l (𝜑𝐾 < (2↑𝑁))
proththd.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
Assertion
Ref Expression
proththd (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem proththd
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12318 . . . 4 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3 proththd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 12565 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
52, 4nnexpcld 14243 . 2 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6 proththd.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
7 proththd.l . 2 (𝜑𝐾 < (2↑𝑁))
8 proththd.p . . 3 (𝜑𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
96nncnd 12261 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
105nncnd 12261 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
119, 10mulcomd 11267 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) = ((2↑𝑁) · 𝐾))
1211oveq1d 7434 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) = (((2↑𝑁) · 𝐾) + 1))
138, 12eqtrd 2765 . 2 (𝜑𝑃 = (((2↑𝑁) · 𝐾) + 1))
14 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
15 2prm 16666 . . . . . 6 2 ∈ ℙ
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℙ)
173adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
18 prmdvdsexpb 16690 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) ↔ 𝑝 = 2))
1914, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) ↔ 𝑝 = 2))
20 proththd.x . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
213, 6, 8proththdlem 47090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))
2221simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2322nncnd 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
24 peano2cnm 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
2625adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
27 2cnd 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
28 2ne0 12349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
3026, 27, 29divcan1d 12024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3130eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1) / 2) · 2))
3231oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = (𝑥↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
33 zcn 12596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
35 2nn0 12522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ0)
3721simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
3837nnnn0d 12565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3938adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4034, 36, 39expmuld 14149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4132, 40eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4241ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4342oveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) mod 𝑃))
4438adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4544anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ))
4645ancomd 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
47 zexpcl 14077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
4948adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
5022nnrpd 13049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
5150ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
5221simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < 𝑃)
5352ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → 1 < 𝑃)
54 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5549, 51, 53, 54modexp2m1d 47089 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) mod 𝑃) = 1)
5643, 55eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)
57 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 2 → ((𝑃 − 1) / 𝑝) = ((𝑃 − 1) / 2))
5857eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 2 → (((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
5958adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 = 2) → (((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
6044, 59mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑝 = 2) → ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0)
6160anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝜑𝑝 = 2)) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0))
6261ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0))
63 zexpcl 14077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ)
6564zred 12699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℝ)
6665adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℝ)
67 1red 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
6867renegcld 11673 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → -1 ∈ ℝ)
69 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 = 𝑝 → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 𝑝))
7069eqcoms 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 2 → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 𝑝))
7170oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 2 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)))
7271oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 2 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃))
7372eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 2 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
7473adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 = 2) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
7574adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
7675biimpa 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
77 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
7866, 68, 67, 67, 51, 76, 77modsub12d 13929 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) = ((-1 − 1) mod 𝑃))
7978oveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃))
80 peano2zm 12638 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ)
8164, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ)
8222ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
83 modgcd 16511 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
8481, 82, 83syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
8584adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
86 ax-1cn 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℂ
87 negdi2 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
8887eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-1 − 1) = -(1 + 1))
8986, 86, 88mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1 − 1) = -(1 + 1)
90 1p1e2 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 1) = 2
9190negeqi 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -(1 + 1) = -2
9289, 91eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-1 − 1) = -2
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (-1 − 1) = -2)
9493oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((-1 − 1) mod 𝑃) = (-2 mod 𝑃))
9594oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃))
96 nnnegz 12594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
972, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -2 ∈ ℤ)
98 modgcd 16511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = (-2 gcd 𝑃))
9997, 22, 98syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = (-2 gcd 𝑃))
100 2z 12627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
10122nnzd 12618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
102 neggcd 16501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (-2 gcd 𝑃) = (2 gcd 𝑃))
103100, 101, 102sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (-2 gcd 𝑃) = (2 gcd 𝑃))
104 nnz 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
105 oddm1d2 16340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
107106biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ 2 ∥ 𝑃))
108 nnz 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
109107, 108impel 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
110 isoddgcd1 16706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
111104, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
112111adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
113109, 112mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (2 gcd 𝑃) = 1)
1141133adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (2 gcd 𝑃) = 1)
11521, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 gcd 𝑃) = 1)
116103, 115eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (-2 gcd 𝑃) = 1)
11799, 116eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
11895, 117eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
119118ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
12079, 85, 1193eqtr3d 2773 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)
12156, 120jca 510 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1))
122121ex 411 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
123122reximdva 3157 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 = 2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
124123ex 411 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑝 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1))))
12520, 124mpid 44 . . . . 5 (𝜑 → (𝑝 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
126125adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
12719, 126sylbid 239 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
128127ralrimiva 3135 . 2 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (2↑𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
1295, 6, 7, 13, 128pockthg 16878 1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  +crp 13009   mod cmo 13870  cexp 14062  cdvds 16234   gcd cgcd 16472  cprime 16645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-prm 16646  df-odz 16737  df-phi 16738  df-pc 16809
This theorem is referenced by:  41prothprm  47096
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