proththd - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > proththd		Structured version Visualization version GIF version

Theorem proththd 48792

Description: Proth's theorem (1878). If P is a Proth number, i.e. a number of the form k2^n+1 with k less than 2^n, and if there exists an integer x for which x^((P-1)/2) is -1 modulo P, then P is prime. Such a prime is called a Proth prime. Like Pocklington's theorem (see pockthg 17089), Proth's theorem allows for a convenient method for verifying large primes. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
proththd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
proththd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
proththd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
proththd.l	⊢ (𝜑 → 𝐾 < (2↑𝑁))
proththd.x	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))

**Assertion**
Ref	Expression
proththd	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑁 𝑥,𝑃 𝜑,𝑥 Allowed substitution hint: 𝐾(𝑥)

Proof of Theorem proththd Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12419	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3		proththd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12670	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
5	2, 4	nnexpcld 14392	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6		proththd.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
7		proththd.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (2↑𝑁))
8		proththd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
9	6	nncnd 12354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
10	5	nncnd 12354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcomd 11333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) = ((2↑𝑁) · 𝐾))
12	11	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) = (((2↑𝑁) · 𝐾) + 1))
13	8, 12	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (((2↑𝑁) · 𝐾) + 1))
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
15		2prm 16872	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℙ)
17	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
18		prmdvdsexpb 16897	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) ↔ 𝑝 = 2))
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) ↔ 𝑝 = 2))
20		proththd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))
21	3, 6, 8	proththdlem 48791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))
22	21	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
23	22	nncnd 12354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
24		peano2cnm 11627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
27		2cnd 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
28		2ne0 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
30	26, 27, 29	divcan1d 12097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
31	30	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1) / 2) · 2))
32	31	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = (𝑥↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
33		zcn 12701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
35		2nn0 12626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ₀)
37	21	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
38	37	nnnn0d 12670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
40	34, 36, 39	expmuld 14295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
41	32, 40	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
42	41	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
43	42	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) mod 𝑃))
44	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
45	44	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
46	45	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
47		zexpcl 14222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
49	48	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
50	22	nnrpd 13165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
51	50	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
52	21	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
53	52	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → 1 < 𝑃)
54		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))
55	49, 51, 53, 54	modexp2m1d 48790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) mod 𝑃) = 1)
56	43, 55	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)
57		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 2 → ((𝑃 − 1) / 𝑝) = ((𝑃 − 1) / 2))
58	57	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 2 → (((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
59	58	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) → (((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
60	44, 59	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) → ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ₀)
61	60	anim2i 629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ 𝑝 = 2)) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ₀))
62	61	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ₀))
63		zexpcl 14222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ₀) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ)
64	62, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ)
65	64	zred 12806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℝ)
66	65	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℝ)
67		1red 11312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
68	67	renegcld 11746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → -1 ∈ ℝ)
69		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 = 𝑝 → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 𝑝))
70	69	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 2 → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 𝑝))
71	70	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)))
72	71	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 2 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃))
73	72	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 2 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)))
74	73	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)))
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)))
76	75	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))
77		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
78	66, 68, 67, 67, 51, 76, 77	modsub12d 14074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) = (( -1 − 1) mod 𝑃))
79	78	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = ((( -1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃))
80		peano2zm 12742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ)
81	64, 80	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ)
82	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
83		modgcd 16710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
84	81, 82, 83	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
85	84	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
86		ax-1cn 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
87		negdi2 11619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = ( -1 − 1))
88	87	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ( -1 − 1) = -(1 + 1))
89	86, 86, 88	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( -1 − 1) = -(1 + 1)
90		1p1e2 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 1) = 2
91	90	negeqi 11553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -(1 + 1) = -2
92	89, 91	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -1 − 1) = -2
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ( -1 − 1) = -2)
94	93	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (( -1 − 1) mod 𝑃) = ( -2 mod 𝑃))
95	94	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((( -1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (( -2 mod 𝑃) gcd 𝑃))
96		nnnegz 12699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
97	2, 96	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -2 ∈ ℤ)
98		modgcd 16710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( -2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (( -2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = ( -2 gcd 𝑃))
99	97, 22, 98	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (( -2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = ( -2 gcd 𝑃))
100		2z 12731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
101	22	nnzd 12722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
102		neggcd 16700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ( -2 gcd 𝑃) = (2 gcd 𝑃))
103	100, 101, 102	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ( -2 gcd 𝑃) = (2 gcd 𝑃))
104		nnz 12717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
105		oddm1d2 16535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
106	104, 105	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
107	106	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ 2 ∥ 𝑃))
108		nnz 12717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
109	107, 108	impel 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
110		isoddgcd1 16912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
111	104, 110	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
112	111	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
113	109, 112	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (2 gcd 𝑃) = 1)
114	113	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (2 gcd 𝑃) = 1)
115	21, 114	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 gcd 𝑃) = 1)
116	103, 115	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( -2 gcd 𝑃) = 1)
117	99, 116	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (( -2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
118	95, 117	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((( -1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
119	118	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → ((( -1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
120	79, 85, 119	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)
121	56, 120	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1))
122	121	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
123	122	reximdva 3175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
124	123	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1))))
125	20, 124	mpid 45	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑝 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
126	125	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
127	19, 126	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
128	127	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (2↑𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
129	5, 6, 7, 13, 128	pockthg 17089	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2955 ∃wrex 3086 class class class wbr 5102 (class class class)co 7420 ℂcc 11201 ℝcr 11202 0cc0 11203 1c1 11204 + caddc 11206 · cmul 11208 < clt 11346 − cmin 11544 -cneg 11545 / cdiv 11976 ℕcn 12338 2c2 12400 ℕ₀cn0 12609 ℤcz 12696 ℝ⁺crp 13123 mod cmo 14012 ↑cexp 14207 ∥ cdvds 16427 gcd cgcd 16669 ℙcprime 16851

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-rep 5231 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7751 ax-cnex 11259 ax-resscn 11260 ax-1cn 11261 ax-icn 11262 ax-addcl 11263 ax-addrcl 11264 ax-mulcl 11265 ax-mulrcl 11266 ax-mulcom 11267 ax-addass 11268 ax-mulass 11269 ax-distr 11270 ax-i2m1 11271 ax-1ne0 11272 ax-1rid 11273 ax-rnegex 11274 ax-rrecex 11275 ax-cnre 11276 ax-pre-lttri 11277 ax-pre-lttrn 11278 ax-pre-ltadd 11279 ax-pre-mulgt0 11280 ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-ss 3896 df-pss 4014 df-dif 4047 df-in 4091 df-un 4151 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4835 df-uni 4867 df-int 4907 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5545 df-eprel 5550 df-po 5558 df-so 5559 df-fr 5603 df-we 5605 df-xp 5656 df-rel 5657 df-cnv 5658 df-co 5659 df-dm 5660 df-rn 5661 df-res 5662 df-ima 5663 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8302 df-wrecs 8333 df-recs 8382 df-rdg 8421 df-1o 8479 df-2o 8480 df-oadd 8483 df-er 8720 df-en 8977 df-dom 8978 df-sdom 8979 df-fin 8980 df-sup 9437 df-inf 9438 df-dju 9985 df-card 10023 df-pnf 11348 df-mnf 11349 df-xr 11350 df-ltxr 11351 df-le 11352 df-sub 11546 df-neg 11547 df-div 11977 df-nn 12339 df-2 12408 df-3 12409 df-n0 12610 df-xnn0 12683 df-z 12697 df-uz 12969 df-q 13079 df-rp 13124 df-fz 13643 df-fzo 13792 df-fl 13935 df-mod 14013 df-seq 14148 df-exp 14208 df-hash 14478 df-cj 15271 df-re 15272 df-im 15273 df-sqrt 15407 df-abs 15408 df-dvds 16428 df-gcd 16670 df-prm 16852 df-odz 16947 df-phi 16948 df-pc 17020

This theorem is used by: 41prothprm 48797

W3C validator