proththd - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem proththd 47619

Description: Proth's theorem (1878). If P is a Proth number, i.e. a number of the form k2^n+1 with k less than 2^n, and if there exists an integer x for which x^((P-1)/2) is -1 modulo P, then P is prime. Such a prime is called a Proth prime. Like Pocklington's theorem (see pockthg 16884), Proth's theorem allows for a convenient method for verifying large primes. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
proththd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
proththd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
proththd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
proththd.l	⊢ (𝜑 → 𝐾 < (2↑𝑁))
proththd.x	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))

**Assertion**
Ref	Expression
proththd	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑁 𝑥,𝑃 𝜑,𝑥 Allowed substitution hint: 𝐾(𝑥)

Proof of Theorem proththd Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12266	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3		proththd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12510	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
5	2, 4	nnexpcld 14217	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6		proththd.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
7		proththd.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (2↑𝑁))
8		proththd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
9	6	nncnd 12209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
10	5	nncnd 12209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcomd 11202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) = ((2↑𝑁) · 𝐾))
12	11	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) = (((2↑𝑁) · 𝐾) + 1))
13	8, 12	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (((2↑𝑁) · 𝐾) + 1))
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
15		2prm 16669	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℙ)
17	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
18		prmdvdsexpb 16693	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) ↔ 𝑝 = 2))
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) ↔ 𝑝 = 2))
20		proththd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
21	3, 6, 8	proththdlem 47618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))
22	21	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
23	22	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
24		peano2cnm 11495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
27		2cnd 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
28		2ne0 12297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
30	26, 27, 29	divcan1d 11966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
31	30	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1) / 2) · 2))
32	31	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = (𝑥↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
33		zcn 12541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
35		2nn0 12466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ₀)
37	21	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
38	37	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
40	34, 36, 39	expmuld 14121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
41	32, 40	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
42	41	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
43	42	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) mod 𝑃))
44	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
45	44	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
46	45	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
47		zexpcl 14048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
50	22	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
51	50	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
52	21	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
53	52	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → 1 < 𝑃)
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
55	49, 51, 53, 54	modexp2m1d 47617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) mod 𝑃) = 1)
56	43, 55	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)
57		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 2 → ((𝑃 − 1) / 𝑝) = ((𝑃 − 1) / 2))
58	57	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 2 → (((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) → (((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
60	44, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) → ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ₀)
61	60	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ 𝑝 = 2)) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ₀))
62	61	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ₀))
63		zexpcl 14048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ₀) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ)
65	64	zred 12645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℝ)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℝ)
67		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
68	67	renegcld 11612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → -1 ∈ ℝ)
69		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 = 𝑝 → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 𝑝))
70	69	eqcoms 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 2 → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 𝑝))
71	70	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)))
72	71	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 2 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃))
73	72	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 2 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
76	75	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
77		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
78	66, 68, 67, 67, 51, 76, 77	modsub12d 13900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) = ((-1 − 1) mod 𝑃))
79	78	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃))
80		peano2zm 12583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ)
81	64, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ)
82	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
83		modgcd 16509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
84	81, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
85	84	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
86		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
87		negdi2 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
88	87	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-1 − 1) = -(1 + 1))
89	86, 86, 88	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-1 − 1) = -(1 + 1)
90		1p1e2 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 1) = 2
91	90	negeqi 11421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -(1 + 1) = -2
92	89, 91	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-1 − 1) = -2
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-1 − 1) = -2)
94	93	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((-1 − 1) mod 𝑃) = (-2 mod 𝑃))
95	94	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃))
96		nnnegz 12539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
97	2, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -2 ∈ ℤ)
98		modgcd 16509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = (-2 gcd 𝑃))
99	97, 22, 98	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = (-2 gcd 𝑃))
100		2z 12572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
101	22	nnzd 12563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
102		neggcd 16500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (-2 gcd 𝑃) = (2 gcd 𝑃))
103	100, 101, 102	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-2 gcd 𝑃) = (2 gcd 𝑃))
104		nnz 12557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
105		oddm1d2 16337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
107	106	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ 2 ∥ 𝑃))
108		nnz 12557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
109	107, 108	impel 505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
110		isoddgcd1 16708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
111	104, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
113	109, 112	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (2 gcd 𝑃) = 1)
114	113	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (2 gcd 𝑃) = 1)
115	21, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 gcd 𝑃) = 1)
116	103, 115	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-2 gcd 𝑃) = 1)
117	99, 116	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
118	95, 117	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
119	118	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
120	79, 85, 119	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)
121	56, 120	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1))
122	121	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
123	122	reximdva 3147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = 2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
124	123	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1))))
125	20, 124	mpid 44	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑝 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
126	125	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
127	19, 126	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
128	127	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (2↑𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
129	5, 6, 7, 13, 128	pockthg 16884	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 ∃wrex 3054 class class class wbr 5110 (class class class)co 7390 ℂcc 11073 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 < clt 11215 − cmin 11412 -cneg 11413 / cdiv 11842 ℕcn 12193 2c2 12248 ℕ₀cn0 12449 ℤcz 12536 ℝ⁺crp 12958 mod cmo 13838 ↑cexp 14033 ∥ cdvds 16229 gcd cgcd 16471 ℙcprime 16648

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-oadd 8441 df-er 8674 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-sup 9400 df-inf 9401 df-dju 9861 df-card 9899 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-n0 12450 df-xnn0 12523 df-z 12537 df-uz 12801 df-q 12915 df-rp 12959 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13974 df-exp 14034 df-hash 14303 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-dvds 16230 df-gcd 16472 df-prm 16649 df-odz 16742 df-phi 16743 df-pc 16815

This theorem is referenced by: 41prothprm 47624

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