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Theorem fmtnoprmfac2 42323
Description: Divisor of Fermat number (special form of Lucas' result, see fmtnofac2 42325): Let Fn be a Fermat number. Let p be a prime divisor of Fn. Then p is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a positive integer. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem fmtnoprmfac2
StepHypRef Expression
1 breq1 4878 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
21adantr 474 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
3 eluzge2nn0 12016 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 fmtnoodd 42289 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
65adantl 475 . . . . . . 7 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
76pm2.21d 119 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
82, 7sylbid 232 . . . . 5 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
98a1d 25 . . . 4 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
109ex 403 . . 3 (𝑃 = 2 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
11103impd 1461 . 2 (𝑃 = 2 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12 simpr1 1252 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
13 neqne 3007 . . . . . . . . . 10 𝑃 = 2 → 𝑃 ≠ 2)
1413anim2i 610 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
15 eldifsn 4538 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
1614, 15sylibr 226 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
1716ex 403 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
18173ad2ant2 1168 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
1918impcom 398 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
20 simpr3 1256 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))
21 fmtnoprmfac2lem1 42322 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
2212, 19, 20, 21syl3anc 1494 . . . 4 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
23 simpl 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ ℙ)
24 2nn 11431 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ∈ ℕ)
26 oddprm 15893 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
2716, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
2827nnnn0d 11685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
2925, 28nnexpcld 13333 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
3029nnzd 11816 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
3123, 30jca 507 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ))
3231ex 403 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)))
33323ad2ant2 1168 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)))
3433impcom 398 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ))
35 modprm1div 15880 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
3634, 35syl 17 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
37 prmnn 15767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3837adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ ℕ)
39 2z 11744 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ∈ ℤ)
4113necomd 3054 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = 2 → 2 ≠ 𝑃)
4241adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ≠ 𝑃)
43 2prm 15784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℙ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = 2 → 2 ∈ ℙ)
4544anim2i 610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ))
4645ancomd 455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
47 prmrp 15802 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
4942, 48mpbird 249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2 gcd 𝑃) = 1)
5038, 40, 493jca 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
5150, 28jca 507 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
5251ex 403 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)))
53523ad2ant2 1168 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)))
5453impcom 398 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
55 odzdvds 15878 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
5654, 55syl 17 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
57 eluz2nn 12015 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
58573ad2ant1 1167 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5958adantl 475 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
60 fmtnoprmfac1lem 42320 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
6159, 19, 20, 60syl3anc 1494 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
62 breq1 4878 . . . . . . . . . 10 (((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
6362adantl 475 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
6424a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ)
65 peano2nn 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
6657, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
6766nnnn0d 11685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6864, 67nnexpcld 13333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
69 nndivides 15374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2)))
7068, 27, 69syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2)))
71 eqcom 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))))
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1)))))
7337nncnd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
74 peano2cnm 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7675adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7776adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
78 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7968ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
8078, 79nnmulcld 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℕ)
8180nncnd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
82 2cnne0 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
84 divmul3 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2)))
8577, 81, 83, 84syl3anc 1494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2)))
86 nncn 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
8786adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
8868nncnd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
8988ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
90 2cnd 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
9187, 89, 90mulassd 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) = (𝑘 · ((2↑(𝑁 + 1)) · 2)))
92 2cnd 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9365nnnn0d 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
9492, 93expp1d 13310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
95 nncn 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
96 add1p1 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
9897oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = (2↑(𝑁 + 2)))
9994, 98eqtr3d 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
10057, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
101100ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
102101oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · ((2↑(𝑁 + 1)) · 2)) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))))
10391, 102eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))))
104103eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) ↔ (𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2)))))
10573adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
106105adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
107 1cnd 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
108 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
10924a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
110108, 109nnaddcld 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
111110nnnn0d 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
11257, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
11364, 112nnexpcld 13333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ)
114113nncnd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
115114ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
11687, 115mulcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
117106, 107, 116subadd2d 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) ↔ ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃))
118 eqcom 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
120104, 117, 1193bitrd 297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12172, 85, 1203bitrd 297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
122121rexbidva 3259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
123122biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
124123adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12570, 124sylbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
126125expr 450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 = 2 → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
1271263adant3 1166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
128127impcom 398 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
129128adantr 474 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13063, 129sylbid 232 . . . . . . . 8 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
131130ex 403 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
13261, 131mpd 15 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13356, 132sylbid 232 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13436, 133sylbid 232 . . . 4 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13522, 134mpd 15 . . 3 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
136135ex 403 . 2 𝑃 = 2 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13711, 136pm2.61i 177 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wrex 3118  cdif 3795  {csn 4399   class class class wbr 4875  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264  cmin 10592   / cdiv 11016  cn 11357  2c2 11413  0cn0 11625  cz 11711  cuz 11975   mod cmo 12970  cexp 13161  cdvds 15364   gcd cgcd 15596  cprime 15764  odcodz 15846  FermatNocfmtno 42283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-prod 15016  df-dvds 15365  df-gcd 15597  df-prm 15765  df-odz 15848  df-phi 15849  df-pc 15920  df-lgs 25440  df-fmtno 42284
This theorem is referenced by:  fmtnofac2  42325  fmtno4prmfac  42328
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