Theorem fmtnoprmfac2 47552

Description: Divisor of Fermat number (special form of Lucas' result, see fmtnofac2 47554): Let F_n be a Fermat number. Let p be a prime divisor of F_n. Then p is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a positive integer. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoprmfac2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem fmtnoprmfac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
3		eluzge2nn0 12811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		fmtnoodd 47518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
7	6	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8	2, 7	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9	8	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
10	9	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
11	10	3impd 1349	. 2 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
13		neqne 2933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ≠ 2)
14	13	anim2i 617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
15		eldifsn 4740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
16	14, 15	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
17	16	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
18	17	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
19	18	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
20		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))
21		fmtnoprmfac2lem1 47551	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
22	12, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
23		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ ℙ)
24		2nn 12219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ∈ ℕ)
26		oddprm 16740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
28	27	nnnn0d 12463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
29	25, 28	nnexpcld 14170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
30	29	nnzd 12516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
31	23, 30	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ))
32	31	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)))
33	32	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)))
34	33	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ))
35		modprm1div 16727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
37		prmnn 16603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ ℕ)
39		2z 12525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ∈ ℤ)
41	13	necomd 2980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑃 = 2 → 2 ≠ 𝑃)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ≠ 𝑃)
43		2prm 16621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℙ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑃 = 2 → 2 ∈ ℙ)
45	44	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ))
46	45	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
47		prmrp 16641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
49	42, 48	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2 gcd 𝑃) = 1)
50	38, 40, 49	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
51	50, 28	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
52	51	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)))
53	52	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)))
54	53	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
55		odzdvds 16725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
56	54, 55	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
57		eluz2nn 12807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
58	57	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
59	58	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
60		fmtnoprmfac1lem 47549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
61	59, 19, 20, 60	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
62		breq1 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
64	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ)
65		peano2nn 12158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
66	57, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
67	66	nnnn0d 12463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
68	64, 67	nnexpcld 14170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
69		nndivides 16191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2)))
70	68, 27, 69	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2)))
71		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))))
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1)))))
73	37	nncnd 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
74		peano2cnm 11448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
78		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
79	68	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
80	78, 79	nnmulcld 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℕ)
81	80	nncnd 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
82		2cnne0 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
84		divmul3 11802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2)))
85	77, 81, 83, 84	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2)))
86		nncn 12154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
88	68	nncnd 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
89	88	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
90		2cnd 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
91	87, 89, 90	mulassd 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) = (𝑘 · ((2↑(𝑁 + 1)) · 2)))
92		2cnd 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
93	65	nnnn0d 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
94	92, 93	expp1d 14072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
95		nncn 12154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
96		add1p1 12393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
98	97	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = (2↑(𝑁 + 2)))
99	94, 98	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
100	57, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
101	100	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
102	101	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · ((2↑(𝑁 + 1)) · 2)) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))))
103	91, 102	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))))
104	103	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) ↔ (𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2)))))
105	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
107		1cnd 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
108		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
109	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
110	108, 109	nnaddcld 12198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
111	110	nnnn0d 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
112	57, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
113	64, 112	nnexpcld 14170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ)
114	113	nncnd 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
115	114	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
116	87, 115	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
117	106, 107, 116	subadd2d 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) ↔ ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃))
118		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
120	104, 117, 119	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
121	72, 85, 120	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
122	121	rexbidva 3151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
123	122	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
124	123	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
125	70, 124	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
126	125	expr 456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 = 2 → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
127	126	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
128	127	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
129	128	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
130	63, 129	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
131	130	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
132	61, 131	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
133	56, 132	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
134	36, 133	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
135	22, 134	mpd 15	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
136	135	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝑃 = 2 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
137	11, 136	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3902  {csn 4579   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753   mod cmo 13791  ↑cexp 13986   ∥ cdvds 16181   gcd cgcd 16423  ℙcprime 16600  od_ℤcodz 16692  FermatNocfmtno 47512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-prod 15829  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-odz 16694  df-phi 16695  df-pc 16767  df-lgs 27222  df-fmtno 47513

This theorem is referenced by:  fmtnofac2  47554  fmtno4prmfac  47557