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Theorem fmtnoprmfac2 46235
Description: Divisor of Fermat number (special form of Lucas' result, see fmtnofac2 46237): Let Fn be a Fermat number. Let p be a prime divisor of Fn. Then p is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a positive integer. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   𝑃,π‘˜

Proof of Theorem fmtnoprmfac2
StepHypRef Expression
1 breq1 5152 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
21adantr 482 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
3 eluzge2nn0 12871 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 fmtnoodd 46201 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
65adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
76pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
82, 7sylbid 239 . . . . 5 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
98a1d 25 . . . 4 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
109ex 414 . . 3 (𝑃 = 2 β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
11103impd 1349 . 2 (𝑃 = 2 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12 simpr1 1195 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
13 neqne 2949 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 𝑃 β‰  2)
1413anim2i 618 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 β‰  2))
15 eldifsn 4791 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 β‰  2))
1614, 15sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
1716ex 414 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})))
18173ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})))
1918impcom 409 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
20 simpr3 1197 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
21 fmtnoprmfac2lem1 46234 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
2212, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . 4 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
23 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
24 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 2 ∈ β„•)
26 oddprm 16743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
2716, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
2827nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
2925, 28nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„•)
3029nnzd 12585 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
3123, 30jca 513 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€))
3231ex 414 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)))
33323ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)))
3433impcom 409 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€))
35 modprm1div 16730 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€) β†’ (((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 βˆ₯ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
3634, 35syl 17 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 βˆ₯ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
37 prmnn 16611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
39 2z 12594 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„€
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 2 ∈ β„€)
4113necomd 2997 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 2 β‰  𝑃)
4241adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 2 β‰  𝑃)
43 2prm 16629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„™
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 2 ∈ β„™)
4544anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 2 ∈ β„™))
4645ancomd 463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (2 ∈ β„™ ∧ 𝑃 ∈ β„™))
47 prmrp 16649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ β„™ ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 β‰  𝑃))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 β‰  𝑃))
4942, 48mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (2 gcd 𝑃) = 1)
5038, 40, 493jca 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
5150, 28jca 513 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ ((𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0))
5251ex 414 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ ((𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)))
53523ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ ((𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)))
5453impcom 409 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ ((𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0))
55 odzdvds 16728 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1) ↔ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5654, 55syl 17 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1) ↔ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
57 eluz2nn 12868 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
58573ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5958adantl 483 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
60 fmtnoprmfac1lem 46232 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))
6159, 19, 20, 60syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))
62 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
6362adantl 483 . . . . . . . . 9 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) ∧ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
6424a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•)
65 peano2nn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
6657, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
6766nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
6864, 67nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•)
69 nndivides 16207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„• ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
7068, 27, 69syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2)) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
71 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))))
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1)))))
7337nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
74 peano2cnm 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ β„‚ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
7675adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
7776adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
78 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•)
8078, 79nnmulcld 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ∈ β„•)
8180nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ∈ β„‚)
82 2cnne0 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
84 divmul3 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚ ∧ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) Β· 2)))
8577, 81, 83, 84syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) Β· 2)))
86 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
8786adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
8868nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
90 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
9187, 89, 90mulassd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) Β· 2) = (π‘˜ Β· ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2)))
92 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
9365nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
9492, 93expp1d 14112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2))
95 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
96 add1p1 12463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
9897oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = (2↑(𝑁 + 2)))
9994, 98eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
10057, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
101100ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
102101oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2)) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))))
10391, 102eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) Β· 2) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))))
104103eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) Β· 2) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2)))))
10573adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
106105adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
107 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
108 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
10924a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
110108, 109nnaddcld 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 2) ∈ β„•)
111110nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 2) ∈ β„•0)
11257, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 2) ∈ β„•0)
11364, 112nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„•)
114113nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚)
115114ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚)
11687, 115mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) ∈ β„‚)
117106, 107, 116subadd2d 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃))
118 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
120104, 117, 1193bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) Β· 2) ↔ 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12172, 85, 1203bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
122121rexbidva 3177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
123122biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
124123adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12570, 124sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2)) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
126125expr 458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
1271263adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
128127impcom 409 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
129128adantr 482 . . . . . . . . 9 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) ∧ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13063, 129sylbid 239 . . . . . . . 8 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) ∧ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
131130ex 414 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
13261, 131mpd 15 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13356, 132sylbid 239 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13436, 133sylbid 239 . . . 4 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13522, 134mpd 15 . . 3 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
136135ex 414 . 2 (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13711, 136pm2.61i 182 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822   mod cmo 13834  β†‘cexp 14027   βˆ₯ cdvds 16197   gcd cgcd 16435  β„™cprime 16608  odβ„€codz 16696  FermatNocfmtno 46195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-odz 16698  df-phi 16699  df-pc 16770  df-lgs 26798  df-fmtno 46196
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