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Theorem fmtnoprmfac2 46533
Description: Divisor of Fermat number (special form of Lucas' result, see fmtnofac2 46535): Let Fn be a Fermat number. Let p be a prime divisor of Fn. Then p is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a positive integer. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   𝑃,π‘˜

Proof of Theorem fmtnoprmfac2
StepHypRef Expression
1 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
21adantr 479 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
3 eluzge2nn0 12875 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 fmtnoodd 46499 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
65adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
76pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
82, 7sylbid 239 . . . . 5 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
98a1d 25 . . . 4 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
109ex 411 . . 3 (𝑃 = 2 β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
11103impd 1346 . 2 (𝑃 = 2 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12 simpr1 1192 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
13 neqne 2946 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 𝑃 β‰  2)
1413anim2i 615 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 β‰  2))
15 eldifsn 4789 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 β‰  2))
1614, 15sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
1716ex 411 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})))
18173ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})))
1918impcom 406 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
20 simpr3 1194 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
21 fmtnoprmfac2lem1 46532 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
2212, 19, 20, 21syl3anc 1369 . . . 4 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
23 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
24 2nn 12289 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 2 ∈ β„•)
26 oddprm 16747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
2716, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
2827nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
2925, 28nnexpcld 14212 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„•)
3029nnzd 12589 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
3123, 30jca 510 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€))
3231ex 411 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)))
33323ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)))
3433impcom 406 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€))
35 modprm1div 16734 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€) β†’ (((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 βˆ₯ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
3634, 35syl 17 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 βˆ₯ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
37 prmnn 16615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
39 2z 12598 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„€
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 2 ∈ β„€)
4113necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 2 β‰  𝑃)
4241adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ 2 β‰  𝑃)
43 2prm 16633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„™
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ 2 ∈ β„™)
4544anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 2 ∈ β„™))
4645ancomd 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (2 ∈ β„™ ∧ 𝑃 ∈ β„™))
47 prmrp 16653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ β„™ ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 β‰  𝑃))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 β‰  𝑃))
4942, 48mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (2 gcd 𝑃) = 1)
5038, 40, 493jca 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ (𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
5150, 28jca 510 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2) β†’ ((𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0))
5251ex 411 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ ((𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)))
53523ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ ((𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)))
5453impcom 406 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ ((𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0))
55 odzdvds 16732 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1) ↔ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5654, 55syl 17 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1) ↔ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
57 eluz2nn 12872 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
58573ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5958adantl 480 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
60 fmtnoprmfac1lem 46530 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))
6159, 19, 20, 60syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))
62 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
6362adantl 480 . . . . . . . . 9 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) ∧ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
6424a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•)
65 peano2nn 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
6657, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
6766nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
6864, 67nnexpcld 14212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•)
69 nndivides 16211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„• ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
7068, 27, 69syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2)) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
71 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))))
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1)))))
7337nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
74 peano2cnm 11530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ β„‚ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
7675adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
7776adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
78 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7968ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•)
8078, 79nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ∈ β„•)
8180nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ∈ β„‚)
82 2cnne0 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
84 divmul3 11881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚ ∧ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) Β· 2)))
8577, 81, 83, 84syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) Β· 2)))
86 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
8786adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
8868nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
8988ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
90 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
9187, 89, 90mulassd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) Β· 2) = (π‘˜ Β· ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2)))
92 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
9365nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
9492, 93expp1d 14116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2))
95 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
96 add1p1 12467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
9897oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = (2↑(𝑁 + 2)))
9994, 98eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
10057, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
101100ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
102101oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 2)) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))))
10391, 102eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) Β· 2) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))))
104103eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) Β· 2) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2)))))
10573adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
106105adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
107 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
108 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
10924a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
110108, 109nnaddcld 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 2) ∈ β„•)
111110nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 2) ∈ β„•0)
11257, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 2) ∈ β„•0)
11364, 112nnexpcld 14212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„•)
114113nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚)
115114ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚)
11687, 115mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) ∈ β„‚)
117106, 107, 116subadd2d 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) = (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃))
118 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
120104, 117, 1193bitrd 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) Β· 2) ↔ 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12172, 85, 1203bitrd 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
122121rexbidva 3174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
123122biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
124123adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12570, 124sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ Β¬ 𝑃 = 2)) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
126125expr 455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
1271263adant3 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
128127impcom 406 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
129128adantr 479 . . . . . . . . 9 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) ∧ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13063, 129sylbid 239 . . . . . . . 8 (((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) ∧ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
131130ex 411 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
13261, 131mpd 15 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) βˆ₯ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13356, 132sylbid 239 . . . . 5 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13436, 133sylbid 239 . . . 4 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13522, 134mpd 15 . . 3 ((Β¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
136135ex 411 . 2 (Β¬ 𝑃 = 2 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13711, 136pm2.61i 182 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826   mod cmo 13838  β†‘cexp 14031   βˆ₯ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  β„™cprime 16612  odβ„€codz 16700  FermatNocfmtno 46493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-odz 16702  df-phi 16703  df-pc 16774  df-lgs 27034  df-fmtno 46494
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