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Theorem fmtnoprmfac2 42087
Description: Divisor of Fermat number (special form of Lucas' result, see fmtnofac2 42089): Let Fn be a Fermat number. Let p be a prime divisor of Fn. Then p is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a positive integer. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem fmtnoprmfac2
StepHypRef Expression
1 breq1 4812 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
21adantr 472 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
3 eluzge2nn0 11927 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 fmtnoodd 42053 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
65adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
76pm2.21d 119 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
82, 7sylbid 231 . . . . 5 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
98a1d 25 . . . 4 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
109ex 401 . . 3 (𝑃 = 2 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
11103impd 1457 . 2 (𝑃 = 2 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12 simpr1 1248 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
13 neqne 2945 . . . . . . . . . 10 𝑃 = 2 → 𝑃 ≠ 2)
1413anim2i 610 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
15 eldifsn 4472 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
1614, 15sylibr 225 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
1716ex 401 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
18173ad2ant2 1164 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
1918impcom 396 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
20 simpr3 1252 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))
21 fmtnoprmfac2lem1 42086 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
2212, 19, 20, 21syl3anc 1490 . . . 4 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
23 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ ℙ)
24 2nn 11345 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ∈ ℕ)
26 oddprm 15796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
2716, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
2827nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
2925, 28nnexpcld 13237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
3029nnzd 11728 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
3123, 30jca 507 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ))
3231ex 401 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)))
33323ad2ant2 1164 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)))
3433impcom 396 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ))
35 modprm1div 15783 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
3634, 35syl 17 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
37 prmnn 15670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3837adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ ℕ)
39 2z 11656 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ∈ ℤ)
4113necomd 2992 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = 2 → 2 ≠ 𝑃)
4241adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ≠ 𝑃)
43 2prm 15687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℙ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = 2 → 2 ∈ ℙ)
4544anim2i 610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ))
4645ancomd 453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
47 prmrp 15705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
4942, 48mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2 gcd 𝑃) = 1)
5038, 40, 493jca 1158 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
5150, 28jca 507 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
5251ex 401 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)))
53523ad2ant2 1164 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)))
5453impcom 396 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
55 odzdvds 15781 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
5654, 55syl 17 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
57 eluz2nn 11926 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
58573ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5958adantl 473 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
60 fmtnoprmfac1lem 42084 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
6159, 19, 20, 60syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
62 breq1 4812 . . . . . . . . . 10 (((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
6362adantl 473 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
6424a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ)
65 peano2nn 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
6657, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
6766nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6864, 67nnexpcld 13237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
69 nndivides 15277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2)))
7068, 27, 69syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2)))
71 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))))
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1)))))
7337nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
74 peano2cnm 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7675adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7776adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
78 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7968ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
8078, 79nnmulcld 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℕ)
8180nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
82 2cnne0 11488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
84 divmul3 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2)))
8577, 81, 83, 84syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2)))
86 nncn 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
8786adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
8868nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
8988ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
90 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
9187, 89, 90mulassd 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) = (𝑘 · ((2↑(𝑁 + 1)) · 2)))
92 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9365nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
9492, 93expp1d 13216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
95 nncn 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
96 add1p1 11529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
9897oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = (2↑(𝑁 + 2)))
9994, 98eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
10057, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
101100ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
102101oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · ((2↑(𝑁 + 1)) · 2)) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))))
10391, 102eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))))
104103eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) ↔ (𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2)))))
10573adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
106105adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
107 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
108 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
10924a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
110108, 109nnaddcld 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
111110nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
11257, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
11364, 112nnexpcld 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ)
114113nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
115114ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
11687, 115mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
117106, 107, 116subadd2d 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) ↔ ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃))
118 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
120104, 117, 1193bitrd 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12172, 85, 1203bitrd 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
122121rexbidva 3196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
123122biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
124123adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12570, 124sylbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
126125expr 448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 = 2 → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
1271263adant3 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
128127impcom 396 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
129128adantr 472 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13063, 129sylbid 231 . . . . . . . 8 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
131130ex 401 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
13261, 131mpd 15 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13356, 132sylbid 231 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13436, 133sylbid 231 . . . 4 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13522, 134mpd 15 . . 3 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
136135ex 401 . 2 𝑃 = 2 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13711, 136pm2.61i 176 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  cdif 3729  {csn 4334   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886   mod cmo 12876  cexp 13067  cdvds 15267   gcd cgcd 15499  cprime 15667  odcodz 15749  FermatNocfmtno 42047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-prod 14921  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-prm 15668  df-odz 15751  df-phi 15752  df-pc 15823  df-lgs 25311  df-fmtno 42048
This theorem is referenced by:  fmtnofac2  42089  fmtno4prmfac  42092
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