Theorem fmtnoprmfac2 47597

Description: Divisor of Fermat number (special form of Lucas' result, see fmtnofac2 47599): Let F_n be a Fermat number. Let p be a prime divisor of F_n. Then p is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a positive integer. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoprmfac2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem fmtnoprmfac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
3		eluzge2nn0 12787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		fmtnoodd 47563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
7	6	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8	2, 7	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9	8	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
10	9	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
11	10	3impd 1349	. 2 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
13		neqne 2936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ≠ 2)
14	13	anim2i 617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
15		eldifsn 4738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
16	14, 15	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
17	16	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
18	17	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
19	18	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
20		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))
21		fmtnoprmfac2lem1 47596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
22	12, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
23		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ ℙ)
24		2nn 12195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ∈ ℕ)
26		oddprm 16719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
28	27	nnnn0d 12439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
29	25, 28	nnexpcld 14149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
30	29	nnzd 12492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
31	23, 30	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ))
32	31	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)))
33	32	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)))
34	33	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ))
35		modprm1div 16706	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
37		prmnn 16582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ ℕ)
39		2z 12501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ∈ ℤ)
41	13	necomd 2983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑃 = 2 → 2 ≠ 𝑃)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ≠ 𝑃)
43		2prm 16600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℙ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑃 = 2 → 2 ∈ ℙ)
45	44	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ))
46	45	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
47		prmrp 16620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
49	42, 48	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2 gcd 𝑃) = 1)
50	38, 40, 49	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
51	50, 28	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
52	51	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)))
53	52	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)))
54	53	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
55		odzdvds 16704	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
56	54, 55	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
57		eluz2nn 12783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
58	57	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
59	58	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
60		fmtnoprmfac1lem 47594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
61	59, 19, 20, 60	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
62		breq1 5094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
64	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ)
65		peano2nn 12134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
66	57, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
67	66	nnnn0d 12439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
68	64, 67	nnexpcld 14149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
69		nndivides 16170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2)))
70	68, 27, 69	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2)))
71		eqcom 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))))
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1)))))
73	37	nncnd 12138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
74		peano2cnm 11424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
78		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
79	68	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
80	78, 79	nnmulcld 12175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℕ)
81	80	nncnd 12138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
82		2cnne0 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
84		divmul3 11778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2)))
85	77, 81, 83, 84	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2)))
86		nncn 12130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
88	68	nncnd 12138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
89	88	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
90		2cnd 12200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
91	87, 89, 90	mulassd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) = (𝑘 · ((2↑(𝑁 + 1)) · 2)))
92		2cnd 12200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
93	65	nnnn0d 12439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
94	92, 93	expp1d 14051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
95		nncn 12130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
96		add1p1 12369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
98	97	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = (2↑(𝑁 + 2)))
99	94, 98	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
100	57, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
101	100	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
102	101	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · ((2↑(𝑁 + 1)) · 2)) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))))
103	91, 102	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))))
104	103	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) ↔ (𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2)))))
105	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
107		1cnd 11104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
108		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
109	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
110	108, 109	nnaddcld 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
111	110	nnnn0d 12439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
112	57, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
113	64, 112	nnexpcld 14149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ)
114	113	nncnd 12138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
115	114	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
116	87, 115	mulcld 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
117	106, 107, 116	subadd2d 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) ↔ ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃))
118		eqcom 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
120	104, 117, 119	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
121	72, 85, 120	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
122	121	rexbidva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
123	122	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
124	123	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
125	70, 124	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
126	125	expr 456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 = 2 → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
127	126	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
128	127	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
129	128	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
130	63, 129	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
131	130	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
132	61, 131	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
133	56, 132	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
134	36, 133	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
135	22, 134	mpd 15	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
136	135	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝑃 = 2 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
137	11, 136	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3899  {csn 4576   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008   − cmin 11341   / cdiv 11771  ℕcn 12122  2c2 12177  ℕ₀cn0 12378  ℤcz 12465  ℤ_≥cuz 12729   mod cmo 13770  ↑cexp 13965   ∥ cdvds 16160   gcd cgcd 16402  ℙcprime 16579  od_ℤcodz 16671  FermatNocfmtno 47557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9791  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-ioo 13246  df-ico 13248  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-prod 15808  df-dvds 16161  df-gcd 16403  df-prm 16580  df-odz 16673  df-phi 16674  df-pc 16746  df-lgs 27231  df-fmtno 47558

This theorem is referenced by:  fmtnofac2  47599  fmtno4prmfac  47602