Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0onn0exALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0onn0exALTV 47098
Description: For each odd nonnegative integer there is a nonnegative integer which, multiplied by 2 and increased by 1, results in the odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.) (Revised by AV, 22-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0onn0exALTV ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
Distinct variable group:   ๐‘š,๐‘

Proof of Theorem nn0onn0exALTV
StepHypRef Expression
1 nn0oALTV 47095 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
2 simpr 483 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
3 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘š = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†’ (2 ยท ๐‘š) = (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
43oveq1d 7428 . . . . 5 (๐‘š = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
54eqeq2d 2736 . . . 4 (๐‘š = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†’ (๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1) โ†” ๐‘ = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1)))
65adantl 480 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘š = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1) โ†” ๐‘ = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1)))
7 nn0cn 12507 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8 peano2cnm 11551 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
10 2cnd 12315 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
11 2ne0 12341 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โ‰  0)
139, 10, 12divcan2d 12017 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ โˆ’ 1))
1413oveq1d 7428 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
15 npcan1 11664 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
167, 15syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
1714, 16eqtr2d 2766 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
1817adantr 479 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
192, 6, 18rspcedvd 3605 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
201, 19syldan 589 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒwrex 3060  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  2c2 12292  โ„•0cn0 12497   Odd codd 47024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-even 47025  df-odd 47026
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator