Theorem nn0onn0exALTV 46952

Description: For each odd nonnegative integer there is a nonnegative integer which, multiplied by 2 and increased by 1, results in the odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.) (Revised by AV, 22-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0onn0exALTV	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem nn0onn0exALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0oALTV 46949	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑚) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
4	3	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
5	4	eqeq2d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2) → (𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1) ↔ 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1) ↔ 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)))
7		nn0cn 12498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		peano2cnm 11542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
10		2cnd 12306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
11		2ne0 12332	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
13	9, 10, 12	divcan2d 12008	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
14	13	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
15		npcan1 11655	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
16	7, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
17	14, 16	eqtr2d 2768	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
19	2, 6, 18	rspcedvd 3609	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1))
20	1, 19	syldan 590	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∃wrex 3065  (class class class)co 7414  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11460   / cdiv 11887  2c2 12283  ℕ₀cn0 12488   Odd codd 46878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-even 46879  df-odd 46880

This theorem is referenced by: (None)