![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > nn0onn0exALTV | Structured version Visualization version GIF version |
Description: For each odd nonnegative integer there is a nonnegative integer which, multiplied by 2 and increased by 1, results in the odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.) (Revised by AV, 22-Jun-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
nn0onn0exALTV | โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ Odd ) โ โ๐ โ โ0 ๐ = ((2 ยท ๐) + 1)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nn0oALTV 47095 | . 2 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ Odd ) โ ((๐ โ 1) / 2) โ โ0) | |
2 | simpr 483 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ0) โ ((๐ โ 1) / 2) โ โ0) | |
3 | oveq2 7421 | . . . . . 6 โข (๐ = ((๐ โ 1) / 2) โ (2 ยท ๐) = (2 ยท ((๐ โ 1) / 2))) | |
4 | 3 | oveq1d 7428 | . . . . 5 โข (๐ = ((๐ โ 1) / 2) โ ((2 ยท ๐) + 1) = ((2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) + 1)) |
5 | 4 | eqeq2d 2736 | . . . 4 โข (๐ = ((๐ โ 1) / 2) โ (๐ = ((2 ยท ๐) + 1) โ ๐ = ((2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) + 1))) |
6 | 5 | adantl 480 | . . 3 โข (((๐ โ โ0 โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ0) โง ๐ = ((๐ โ 1) / 2)) โ (๐ = ((2 ยท ๐) + 1) โ ๐ = ((2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) + 1))) |
7 | nn0cn 12507 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ โ) | |
8 | peano2cnm 11551 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ โ (๐ โ 1) โ โ) | |
9 | 7, 8 | syl 17 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ 1) โ โ) |
10 | 2cnd 12315 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ0 โ 2 โ โ) | |
11 | 2ne0 12341 | . . . . . . . 8 โข 2 โ 0 | |
12 | 11 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ0 โ 2 โ 0) |
13 | 9, 10, 12 | divcan2d 12017 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ0 โ (2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) = (๐ โ 1)) |
14 | 13 | oveq1d 7428 | . . . . 5 โข (๐ โ โ0 โ ((2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) + 1) = ((๐ โ 1) + 1)) |
15 | npcan1 11664 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ ((๐ โ 1) + 1) = ๐) | |
16 | 7, 15 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ โ0 โ ((๐ โ 1) + 1) = ๐) |
17 | 14, 16 | eqtr2d 2766 | . . . 4 โข (๐ โ โ0 โ ๐ = ((2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) + 1)) |
18 | 17 | adantr 479 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ0) โ ๐ = ((2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) + 1)) |
19 | 2, 6, 18 | rspcedvd 3605 | . 2 โข ((๐ โ โ0 โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ0) โ โ๐ โ โ0 ๐ = ((2 ยท ๐) + 1)) |
20 | 1, 19 | syldan 589 | 1 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ Odd ) โ โ๐ โ โ0 ๐ = ((2 ยท ๐) + 1)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2930 โwrex 3060 (class class class)co 7413 โcc 11131 0cc0 11133 1c1 11134 + caddc 11136 ยท cmul 11138 โ cmin 11469 / cdiv 11896 2c2 12292 โ0cn0 12497 Odd codd 47024 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-iun 4994 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7866 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-n0 12498 df-z 12584 df-even 47025 df-odd 47026 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |