Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0onn0exALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0onn0exALTV 47624
Description: For each odd nonnegative integer there is a nonnegative integer which, multiplied by 2 and increased by 1, results in the odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.) (Revised by AV, 22-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0onn0exALTV ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1))
Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem nn0onn0exALTV
StepHypRef Expression
1 nn0oALTV 47621 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
2 simpr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑚) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
43oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
54eqeq2d 2746 . . . 4 (𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2) → (𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1) ↔ 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)))
65adantl 481 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1) ↔ 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)))
7 nn0cn 12534 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
8 peano2cnm 11573 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
10 2cnd 12342 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
11 2ne0 12368 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
139, 10, 12divcan2d 12043 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
1413oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
15 npcan1 11686 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
167, 15syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
1714, 16eqtr2d 2776 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
1817adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
192, 6, 18rspcedvd 3624 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1))
201, 19syldan 591 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  0cn0 12524   Odd codd 47550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-even 47551  df-odd 47552
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator