Theorem nn0onn0exALTV 48088

Description: For each odd nonnegative integer there is a nonnegative integer which, multiplied by 2 and increased by 1, results in the odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.) (Revised by AV, 22-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0onn0exALTV	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem nn0onn0exALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0oALTV 48085	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3		oveq2 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑚) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
4	3	oveq1d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
5	4	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2) → (𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1) ↔ 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1) ↔ 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)))
7		nn0cn 12425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		peano2cnm 11461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
10		2cnd 12237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
11		2ne0 12263	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
13	9, 10, 12	divcan2d 11933	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
14	13	oveq1d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
15		npcan1 11576	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
16	7, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
17	14, 16	eqtr2d 2773	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
19	2, 6, 18	rspcedvd 3580	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1))
20	1, 19	syldan 592	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045   − cmin 11378   / cdiv 11808  2c2 12214  ℕ₀cn0 12415   Odd codd 48014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-even 48015  df-odd 48016

This theorem is referenced by: (None)