Theorem nn0onn0exALTV 48204

Description: For each odd nonnegative integer there is a nonnegative integer which, multiplied by 2 and increased by 1, results in the odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.) (Revised by AV, 22-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0onn0exALTV	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem nn0onn0exALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0oALTV 48201	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
2		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑚) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
4	3	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
5	4	eqeq2d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2) → (𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1) ↔ 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)))
6	5	adantl 483	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1) ↔ 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)))
7		nn0cn 12442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		peano2cnm 11455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
10		2cnd 12254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
11		2ne0 12280	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
13	9, 10, 12	divcan2d 11928	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
14	13	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
15		npcan1 11570	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
16	7, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
17	14, 16	eqtr2d 2777	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
18	17	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
19	2, 6, 18	rspcedvd 3564	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1))
20	1, 19	syldan 598	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = ((2 · 𝑚) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   − cmin 11372   / cdiv 11802  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432   Odd codd 48130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-even 48131  df-odd 48132

This theorem is referenced by: (None)