Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0onn0exALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0onn0exALTV 45981
Description: For each odd nonnegative integer there is a nonnegative integer which, multiplied by 2 and increased by 1, results in the odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.) (Revised by AV, 22-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0onn0exALTV ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
Distinct variable group:   ๐‘š,๐‘

Proof of Theorem nn0onn0exALTV
StepHypRef Expression
1 nn0oALTV 45978 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
2 simpr 486 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
3 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘š = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†’ (2 ยท ๐‘š) = (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
43oveq1d 7376 . . . . 5 (๐‘š = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
54eqeq2d 2744 . . . 4 (๐‘š = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†’ (๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1) โ†” ๐‘ = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1)))
65adantl 483 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘š = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1) โ†” ๐‘ = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1)))
7 nn0cn 12431 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8 peano2cnm 11475 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
10 2cnd 12239 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
11 2ne0 12265 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โ‰  0)
139, 10, 12divcan2d 11941 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ โˆ’ 1))
1413oveq1d 7376 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
15 npcan1 11588 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
167, 15syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
1714, 16eqtr2d 2774 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
1817adantr 482 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
192, 6, 18rspcedvd 3585 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
201, 19syldan 592 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  โ„•0cn0 12421   Odd codd 45907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-even 45908  df-odd 45909
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator