Theorem elnnnn0 11543

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem elnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 11234	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		npcan1 10661	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3	2	eleq1d 2835	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
4		peano2cnm 10553	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
5	4	biantrurd 522	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ)))
6	3, 5	bitr3d 270	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ)))
7		elnn0nn 11542	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ))
8	6, 7	syl6bbr 278	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
9	1, 8	biadan2 820	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  1c1 10143   + caddc 10145   − cmin 10472  ℕcn 11226  ℕ₀cn0 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-sub 10474  df-nn 11227  df-n0 11500

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  12743  facnn2  13273  faclbnd4lem1  13284