Theorem elnnnn0 11687

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem elnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 11383	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		npcan1 10800	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3	2	eleq1d 2844	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
4		peano2cnm 10689	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
5	4	biantrurd 528	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ)))
6	3, 5	bitr3d 273	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ)))
7		elnn0nn 11686	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℕ))
8	6, 7	syl6bbr 281	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
9	1, 8	biadanii 813	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  1c1 10273   + caddc 10275   − cmin 10606  ℕcn 11374  ℕ₀cn0 11642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-nn 11375  df-n0 11643

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  12854  facnn2  13387  faclbnd4lem1  13398