Theorem clwlkclwwlklem3 29982

Description: Lemma 3 for clwlkclwwlk 29983. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem3	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑓,𝑉,𝑖

Proof of Theorem clwlkclwwlklem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅)
2		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → 𝑓 ∈ Word dom 𝐸)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → 𝑓 ∈ Word dom 𝐸)
4	1, 3	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑓 ∈ Word dom 𝐸))
5		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
6		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉)
7	5, 6	anim12ci 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
8		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
9	8	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))))
11		clwlkclwwlklem2 29981	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑓 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
13		lencl 14551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
14		lencl 14551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
15		ffz0hash 14465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1))
16		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑓) + 1) − 1))
17	16	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((((♯‘𝑓) + 1) − 1) − 0))
18		nn0cn 12511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑓) ∈ ℂ)
19		peano2cn 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℂ → ((♯‘𝑓) + 1) ∈ ℂ)
20		peano2cnm 11549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((♯‘𝑓) + 1) ∈ ℂ → (((♯‘𝑓) + 1) − 1) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑓) + 1) − 1) ∈ ℂ)
22	21	subid1d 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (((♯‘𝑓) + 1) − 1))
23		1cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
24	18, 23	pncand 11595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑓) + 1) − 1) = (♯‘𝑓))
25	22, 24	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (♯‘𝑓))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((((♯‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (♯‘𝑓))
27	17, 26	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = (♯‘𝑓))
28	27	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((♯‘𝑓) − 1))
29	28	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((♯‘𝑓) − 1)))
30	29	raleqdv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
31		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → ((♯‘𝑃) − 2) = (((♯‘𝑓) + 1) − 2))
32		2cnd 12318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
33	18, 32, 23	subsub3d 11624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑓) + 1) − 2))
34		2m1e1 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (2 − 1) = 1
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
36	35	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑓) − 1))
37	33, 36	eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑓) + 1) − 2) = ((♯‘𝑓) − 1))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑓) + 1) − 2) = ((♯‘𝑓) − 1))
39	31, 38	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → ((♯‘𝑃) − 2) = ((♯‘𝑓) − 1))
40	39	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)))
41	40	preq1d 4715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)})
42	41	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
43	30, 42	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
44	43	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
45		3anass 1094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
46	44, 45	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
47	46	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
48	47	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
49	15, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) → ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
50	49	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 → ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
51	50	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
52	14, 14, 51	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
53	52	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
54	53	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
56	13, 55	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
57	56	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
58	57	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
59	12, 58	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
60	59	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
61	60	exlimdv 1933	. 2 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
62		clwlkclwwlklem1 29980	. 2 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
63	61, 62	impbid 212	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {cpr 4603   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ran crn 5655  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   ≤ cle 11270   − cmin 11466  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  ...cfz 13524  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Word cword 14531  lastSclsw 14580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-lsw 14581

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlk  29983