Theorem clwlkclwwlklem3 30592

Description: Lemma 3 for clwlkclwwlk 30593. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem3	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑓,𝑉,𝑖

Proof of Theorem clwlkclwwlklem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅)
2		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → 𝑓 ∈ Word dom 𝐸)
3	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → 𝑓 ∈ Word dom 𝐸)
4	1, 3	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑓 ∈ Word dom 𝐸))
5		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
6		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉)
7	5, 6	anim12ci 626	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
8		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
9	8	anim1i 627	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))))
10	9	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))))
11		clwlkclwwlklem2 30591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑓 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
13		lencl 14678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
14		lencl 14678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
15		ffz0hash 14592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1))
16		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑓) + 1) − 1))
17	16	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((((♯‘𝑓) + 1) − 1) − 0))
18		nn0cn 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑓) ∈ ℂ)
19		peano2cn 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℂ → ((♯‘𝑓) + 1) ∈ ℂ)
20		peano2cnm 11624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((♯‘𝑓) + 1) ∈ ℂ → (((♯‘𝑓) + 1) − 1) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑓) + 1) − 1) ∈ ℂ)
22	21	subid1d 11658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (((♯‘𝑓) + 1) − 1))
23		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
24	18, 23	pncand 11670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑓) + 1) − 1) = (♯‘𝑓))
25	22, 24	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (♯‘𝑓))
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((((♯‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (♯‘𝑓))
27	17, 26	sylan9eqr 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = (♯‘𝑓))
28	27	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((♯‘𝑓) − 1))
29	28	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((♯‘𝑓) − 1)))
30	29	raleqdv 3319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
31		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → ((♯‘𝑃) − 2) = (((♯‘𝑓) + 1) − 2))
32		2cnd 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
33	18, 32, 23	subsub3d 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑓) + 1) − 2))
34		2m1e1 12467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (2 − 1) = 1
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
36	35	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑓) − 1))
37	33, 36	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑓) + 1) − 2) = ((♯‘𝑓) − 1))
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑓) + 1) − 2) = ((♯‘𝑓) − 1))
39	31, 38	sylan9eqr 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → ((♯‘𝑃) − 2) = ((♯‘𝑓) − 1))
40	39	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)))
41	40	preq1d 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)})
42	41	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
43	30, 42	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
44	43	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
45		3anass 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
46	44, 45	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
47	46	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
48	47	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
49	15, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) → ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
50	49	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 → ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
51	50	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
52	14, 14, 51	sylc 66	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
53	52	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
54	53	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
55	54	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
56	13, 55	syl5com 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
57	56	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
58	57	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
59	12, 58	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
60	59	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
61	60	exlimdv 1965	. 2 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
62		clwlkclwwlklem1 30590	. 2 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
63	61, 62	impbid 215	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {cpr 4585   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ran crn 5651  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   ≤ cle 11344   − cmin 11541  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658  lastSclsw 14707

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708

This theorem is used by:  clwlkclwwlk  30593