Theorem clwlkclwwlklem3 30071

Description: Lemma 3 for clwlkclwwlk 30072. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem3	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑓,𝑉,𝑖

Proof of Theorem clwlkclwwlklem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅)
2		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → 𝑓 ∈ Word dom 𝐸)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → 𝑓 ∈ Word dom 𝐸)
4	1, 3	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑓 ∈ Word dom 𝐸))
5		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
6		simpl2 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉)
7	5, 6	anim12ci 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
8		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
9	8	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))))
11		clwlkclwwlklem2 30070	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑓 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
13		lencl 14495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
14		lencl 14495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
15		ffz0hash 14409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1))
16		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑓) + 1) − 1))
17	16	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((((♯‘𝑓) + 1) − 1) − 0))
18		nn0cn 12447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑓) ∈ ℂ)
19		peano2cn 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℂ → ((♯‘𝑓) + 1) ∈ ℂ)
20		peano2cnm 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((♯‘𝑓) + 1) ∈ ℂ → (((♯‘𝑓) + 1) − 1) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑓) + 1) − 1) ∈ ℂ)
22	21	subid1d 11494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (((♯‘𝑓) + 1) − 1))
23		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
24	18, 23	pncand 11506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑓) + 1) − 1) = (♯‘𝑓))
25	22, 24	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (♯‘𝑓))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((((♯‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (♯‘𝑓))
27	17, 26	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = (♯‘𝑓))
28	27	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((♯‘𝑓) − 1))
29	28	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((♯‘𝑓) − 1)))
30	29	raleqdv 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
31		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → ((♯‘𝑃) − 2) = (((♯‘𝑓) + 1) − 2))
32		2cnd 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
33	18, 32, 23	subsub3d 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑓) + 1) − 2))
34		2m1e1 12302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (2 − 1) = 1
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
36	35	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑓) − 1))
37	33, 36	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑓) + 1) − 2) = ((♯‘𝑓) − 1))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑓) + 1) − 2) = ((♯‘𝑓) − 1))
39	31, 38	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → ((♯‘𝑃) − 2) = ((♯‘𝑓) − 1))
40	39	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)))
41	40	preq1d 4683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)})
42	41	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
43	30, 42	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
44	43	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
45		3anass 1095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
46	44, 45	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
47	46	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
48	47	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝑓) + 1) → ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
49	15, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) → ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
50	49	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 → ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
51	50	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
52	14, 14, 51	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
53	52	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
54	53	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
56	13, 55	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
57	56	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
58	57	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑓) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
59	12, 58	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
60	59	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
61	60	exlimdv 1935	. 2 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
62		clwlkclwwlklem1 30069	. 2 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
63	61, 62	impbid 212	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {cpr 4569   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ran crn 5632  ⟶wf 6494  –1-1→wf1 6495  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11180   − cmin 11377  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  lastSclsw 14524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlk  30072