nn0sumshdiglemB - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > nn0sumshdiglemB		Structured version Visualization version GIF version

Theorem nn0sumshdiglemB 48470

Description: Lemma for nn0sumshdig 48473 (induction step, odd multiplier). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0sumshdiglemB	⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Distinct variable group: 𝑘,𝑎,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglemB Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12965	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)))
2		1t1e1 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
3	2	eqcomi 2744	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 · 1)
4		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = 1)
5		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 + 1) = (#_b‘𝑎) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#_b‘𝑎)))
6	5	eqcoms 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#_b‘𝑎)))
7		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 1 → (#_b‘𝑎) = (#_b‘1))
8		blen1 48434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#_b‘1) = 1
9	7, 8	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (#_b‘𝑎) = 1)
10	9	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → (0..^(#_b‘𝑎)) = (0..^1))
11		fzo01 13783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^1) = {0}
12	10, 11	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (0..^(#_b‘𝑎)) = {0})
13	6, 12	sylan9eqr 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
14	13	sumeq1d 15733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
15		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)1))
16	15	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
17	16	sumeq2sdv 15736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
18		c0ex 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
19		ax-1cn 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	19, 19	mulcli 11266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 1) ∈ ℂ
21		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = (0(digit‘2)1))
22		1ex 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
23	22	prid2 4768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
24		0dig2pr01 48460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)1) = 1)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(digit‘2)1) = 1
26	21, 25	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = 1)
27		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
28		2cn 12339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
29		exp0 14103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2↑0) = 1
31	27, 30	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
32	26, 31	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
33	32	sumsn 15779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (1 · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
34	18, 20, 33	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1)
35	17, 34	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
37	14, 36	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
38	3, 4, 37	3eqtr4a 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
39	38	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
40	39	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
41	40	2a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
42		eluzge2nn0 12927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
43		nn0ob 16418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ₀ → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
44	43	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ₀ → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀))
46		blennngt2o2 48442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
47	46	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
48	45, 47	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
49	48	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
50		fveqeq2 6916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((#_b‘𝑥) = 𝑦 ↔ (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦))
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → 𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2))
52		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑘(digit‘2)𝑥) = (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
53	52	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
54	53	sumeq2sdv 15736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
55	51, 54	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
56	50, 55	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) ↔ ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))))
57	56	rspcva 3620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
58		eqeq1 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
59		nncn 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
60	59	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
61		blennn0elnn 48427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
62	61	nncnd 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
64	63	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
65		1cnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℂ)
66	60, 64, 65	addcan2d 11463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ 𝑦 = (#_b‘((𝑎 − 1) / 2))))
67		eqcom 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ↔ (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦)
68		nnz 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
69	68	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
70		fzval3 13770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
72	71	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0...𝑦))
73	72	sumeq1d 15733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
74		nnnn0 12531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ₀)
75		elnn0uz 12921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ₀ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘0))
76	74, 75	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘0))
77	76	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘0))
78		2nn 12337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 2 ∈ ℕ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
80		elfzelz 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
81	80	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
82		nn0rp0 13492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ₀ → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
83	42, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
85	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
86		digvalnn0 48449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
88	87	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
89	88	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
90	89	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
91	90	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
92		2nn0 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 2 ∈ ℕ₀)
94		elfznn0 13657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
95	93, 94	nn0expcld 14282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℕ₀)
96	95	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
98	91, 97	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
99		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
100	99, 27	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)))
101	30	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1)
102	100, 101	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
103	77, 98, 102	fsum1p 15786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
104	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
105	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
106	105	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀)
107		0dig2nn0o 48463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
108	104, 106, 107	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
109	108	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
110	109	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (1 · 1))
111	110, 2	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 1)
112		1z 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℤ
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
114		0p1e1 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (0 + 1) = 1
115	114, 112	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0 + 1) ∈ ℤ
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 + 1) ∈ ℤ)
117	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
118		elfzelz 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
119	118	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
120	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
121	120, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
122	117, 119, 121, 86	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
123	122	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
124	123	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
125	124	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
126	125	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
127	126	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
128		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 2 ∈ ℂ)
129		elfznn 13590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ)
130	129	nnnn0d 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
131	114	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 + 1)...𝑦) = (1...𝑦)
132	130, 131	eleq2s 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
133	128, 132	expcld 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
135	127, 134	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
136		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘(digit‘2)𝑎) = ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎))
137		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑖 + 1)))
138	136, 137	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
139	113, 116, 69, 135, 138	fsumshftm 15814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
140	111, 139	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
141	73, 103, 140	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
142	141	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
143	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
144		elfzoelz 13696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℤ)
145	144	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℤ)
146		nn0rp0 13492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
147	146	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
148	147	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
149		digvalnn0 48449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ₀)
150	143, 145, 148, 149	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ₀)
151	150	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
152	151	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
153	152	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
154	153	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
155	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℕ₀)
156		elfzonn0 13744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
157	155, 156	nn0expcld 14282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℕ₀)
158	157	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
159	158	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
160		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
161	154, 159, 160	mulassd 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
162	161	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
163	162	sumeq2dv 15735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
164	163	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
165		0cn 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 0 ∈ ℂ
166		pncan1 11685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((0 + 1) − 1) = 0)
167	165, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 + 1) − 1) = 0
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 + 1) − 1) = 0)
169	168	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1)))
170		fzoval 13697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
171	68, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
172	169, 171	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
173	172	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
174		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2))
175		elfznn0 13657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
176	167	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1))
177	175, 176	eleq2s 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
178		dignn0flhalf 48468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
179	174, 177, 178	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
180		eluzelz 12886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ ℤ)
181	180	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → 𝑎 ∈ ℤ)
182		nn0z 12636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
183		zob 16393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
184	180, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
185	182, 184	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
186	185	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ)
187	181, 186	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
188	187	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
189	188	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
190	189	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
191		zofldiv2 48381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
192	190, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
193	192	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
194	179, 193	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
195		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 2 ∈ ℂ)
196	195, 177	expp1d 14184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
197	196	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
198	194, 197	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
199	173, 198	sumeq12dv 15739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
200	199	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
201		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
202		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (2↑𝑘) = (2↑𝑖))
203	201, 202	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
204	203	cbvsumv 15729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖))
205	204	eqeq2i 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
206	205	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
207	206	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
208	207	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
209		fzofi 14012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0..^𝑦) ∈ Fin
210	209	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (0..^𝑦) ∈ Fin)
211		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 2 ∈ ℂ)
212	158	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
213	151, 212	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
214	213	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
215	214	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
216	215	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
217	216	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
218	210, 211, 217	fsummulc1 15818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
219	208, 218	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
220	164, 200, 219	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = (((𝑎 − 1) / 2) · 2))
221	220	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)))
222		eluzelcn 12888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ ℂ)
223		peano2cnm 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
224	222, 223	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
225		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
226		2ne0 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ≠ 0
227	226	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ≠ 0)
228	224, 225, 227	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
229	228	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
230		divcan1 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
231	229, 230	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
232	231	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = (1 + (𝑎 − 1)))
233		1cnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
234	233, 222	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
235	234	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
236		pncan3 11514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
237	235, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
238	232, 237	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
239	238	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
240	239	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
241	142, 221, 240	3eqtrrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
242	241	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
243	242	imim2i 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
244	243	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
245	67, 244	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
246	66, 245	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
247	246	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
248	247	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
249	58, 248	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
250	249	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
251	250	com14 96	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
252	251	exp4c 432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑦 ∈ ℕ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
253	252	com35 98	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
254	57, 253	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
255	254	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))))
256	255	pm2.43a 54	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
257	256	com25 99	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
258	257	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
259	49, 258	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
260	259	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
261	41, 260	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
262	1, 261	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
263	262	imp31 417	1 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2938 ∀wral 3059 Vcvv 3478 {csn 4631 {cpr 4633 ‘cfv 6563 (class class class)co 7431 Fincfn 8984 ℂcc 11151 0cc0 11153 1c1 11154 + caddc 11156 · cmul 11158 +∞cpnf 11290 − cmin 11490 / cdiv 11918 ℕcn 12264 2c2 12319 ℕ₀cn0 12524 ℤcz 12611 ℤ_≥cuz 12876 [,)cico 13386 ...cfz 13544 ..^cfzo 13691 ⌊cfl 13827 ↑cexp 14099 Σcsu 15719 #_bcblen 48419 digitcdig 48445

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-rep 5285 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-inf2 9679 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230 ax-pre-sup 11231 ax-addf 11232

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3378 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-pss 3983 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-tp 4636 df-op 4638 df-uni 4913 df-int 4952 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5583 df-eprel 5589 df-po 5597 df-so 5598 df-fr 5641 df-se 5642 df-we 5643 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-pred 6323 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-isom 6572 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-of 7697 df-om 7888 df-1st 8013 df-2nd 8014 df-supp 8185 df-frecs 8305 df-wrecs 8336 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-1o 8505 df-2o 8506 df-er 8744 df-map 8867 df-pm 8868 df-ixp 8937 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-fin 8988 df-fsupp 9400 df-fi 9449 df-sup 9480 df-inf 9481 df-oi 9548 df-card 9977 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-div 11919 df-nn 12265 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-5 12330 df-6 12331 df-7 12332 df-8 12333 df-9 12334 df-n0 12525 df-z 12612 df-dec 12732 df-uz 12877 df-q 12989 df-rp 13033 df-xneg 13152 df-xadd 13153 df-xmul 13154 df-ioo 13388 df-ioc 13389 df-ico 13390 df-icc 13391 df-fz 13545 df-fzo 13692 df-fl 13829 df-mod 13907 df-seq 14040 df-exp 14100 df-fac 14310 df-bc 14339 df-hash 14367 df-shft 15103 df-cj 15135 df-re 15136 df-im 15137 df-sqrt 15271 df-abs 15272 df-limsup 15504 df-clim 15521 df-rlim 15522 df-sum 15720 df-ef 16100 df-sin 16102 df-cos 16103 df-pi 16105 df-dvds 16288 df-struct 17181 df-sets 17198 df-slot 17216 df-ndx 17228 df-base 17246 df-ress 17275 df-plusg 17311 df-mulr 17312 df-starv 17313 df-sca 17314 df-vsca 17315 df-ip 17316 df-tset 17317 df-ple 17318 df-ds 17320 df-unif 17321 df-hom 17322 df-cco 17323 df-rest 17469 df-topn 17470 df-0g 17488 df-gsum 17489 df-topgen 17490 df-pt 17491 df-prds 17494 df-xrs 17549 df-qtop 17554 df-imas 17555 df-xps 17557 df-mre 17631 df-mrc 17632 df-acs 17634 df-mgm 18666 df-sgrp 18745 df-mnd 18761 df-submnd 18810 df-mulg 19099 df-cntz 19348 df-cmn 19815 df-psmet 21374 df-xmet 21375 df-met 21376 df-bl 21377 df-mopn 21378 df-fbas 21379 df-fg 21380 df-cnfld 21383 df-top 22916 df-topon 22933 df-topsp 22955 df-bases 22969 df-cld 23043 df-ntr 23044 df-cls 23045 df-nei 23122 df-lp 23160 df-perf 23161 df-cn 23251 df-cnp 23252 df-haus 23339 df-tx 23586 df-hmeo 23779 df-fil 23870 df-fm 23962 df-flim 23963 df-flf 23964 df-xms 24346 df-ms 24347 df-tms 24348 df-cncf 24918 df-limc 25916 df-dv 25917 df-log 26613 df-cxp 26614 df-logb 26823 df-blen 48420 df-dig 48446

This theorem is referenced by: nn0sumshdiglem1 48471

W3C validator