nn0sumshdiglemB - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem nn0sumshdiglemB 49242

Description: Lemma for nn0sumshdig 49245 (induction step, odd multiplier). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0sumshdiglemB	⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Distinct variable group: 𝑘,𝑎,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglemB Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12926	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)))
2		1t1e1 12379	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
3	2	eqcomi 2771	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 · 1)
4		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = 1)
5		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 + 1) = (#_b‘𝑎) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#_b‘𝑎)))
6	5	eqcoms 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#_b‘𝑎)))
7		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 1 → (#_b‘𝑎) = (#_b‘1))
8		blen1 49206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#_b‘1) = 1
9	7, 8	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (#_b‘𝑎) = 1)
10	9	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → (0..^(#_b‘𝑎)) = (0..^1))
11		fzo01 13753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^1) = {0}
12	10, 11	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (0..^(#_b‘𝑎)) = {0})
13	6, 12	sylan9eqr 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
14	13	sumeq1d 15727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
15		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)1))
16	15	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
17	16	sumeq2sdv 15730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
18		c0ex 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
19		ax-1cn 11131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	19, 19	mulcli 11189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 1) ∈ ℂ
21		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = (0(digit‘2)1))
22		1ex 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
23	22	prid2 4722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
24		0dig2pr01 49232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)1) = 1)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(digit‘2)1) = 1
26	21, 25	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = 1)
27		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
28		2cn 12293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
29		exp0 14078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2↑0) = 1
31	27, 30	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
32	26, 31	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
33	32	sumsn 15773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (1 · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
34	18, 20, 33	mp2an 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1)
35	17, 34	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
36	35	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
37	14, 36	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
38	3, 4, 37	3eqtr4a 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
39	38	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
40	39	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
41	40	2a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
42		eluzge2nn0 12893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
43		nn0ob 16418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ₀ → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
44	43	bicomd 225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ₀ → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀))
46		blennngt2o2 49214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
47	46	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
48	45, 47	sylbid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
49	48	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
50		fveqeq2 6876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((#_b‘𝑥) = 𝑦 ↔ (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦))
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → 𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2))
52		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑘(digit‘2)𝑥) = (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
53	52	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
54	53	sumeq2sdv 15730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
55	51, 54	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
56	50, 55	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) ↔ ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))))
57	56	rspcva 3579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
58		eqeq1 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
59		nncn 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
60	59	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
61		blennn0elnn 49199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
62	61	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
63	62	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
64	63	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
65		1cnd 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℂ)
66	60, 64, 65	addcan2d 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ 𝑦 = (#_b‘((𝑎 − 1) / 2))))
67		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ↔ (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦)
68		nnz 12589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
69	68	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
70		fzval3 13740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
72	71	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0...𝑦))
73	72	sumeq1d 15727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
74		nnnn0 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ₀)
75		elnn0uz 12880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ₀ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘0))
76	74, 75	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘0))
77	76	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘0))
78		2nn 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 2 ∈ ℕ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
80		elfzelz 13529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
81	80	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
82		nn0rp0 13459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ₀ → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
83	42, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
84	83	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
85	84	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
86		digvalnn0 49221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
88	87	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
89	88	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
90	89	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
91	90	nn0cnd 12544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
92		2nn0 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 2 ∈ ℕ₀)
94		elfznn0 13625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
95	93, 94	nn0expcld 14259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℕ₀)
96	95	nn0cnd 12544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
97	96	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
98	91, 97	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
99		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
100	99, 27	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)))
101	30	oveq2i 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1)
102	100, 101	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
103	77, 98, 102	fsum1p 15780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
104	42	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
105	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
106	105	biimparc 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀)
107		0dig2nn0o 49235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
108	104, 106, 107	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
109	108	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
110	109	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (1 · 1))
111	110, 2	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 1)
112		1z 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℤ
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
114		0p1e1 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (0 + 1) = 1
115	114, 112	eqeltri 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0 + 1) ∈ ℤ
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 + 1) ∈ ℤ)
117	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
118		elfzelz 13529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
119	118	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
120	42	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
121	120, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
122	117, 119, 121, 86	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
123	122	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
124	123	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
125	124	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
126	125	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
127	126	nn0cnd 12544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
128		2cnd 12296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 2 ∈ ℂ)
129		elfznn 13558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ)
130	129	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
131	114	oveq1i 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 + 1)...𝑦) = (1...𝑦)
132	130, 131	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
133	128, 132	expcld 14159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
134	133	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
135	127, 134	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
136		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘(digit‘2)𝑎) = ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎))
137		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑖 + 1)))
138	136, 137	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
139	113, 116, 69, 135, 138	fsumshftm 15808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
140	111, 139	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
141	73, 103, 140	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
142	141	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
143	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
144		elfzoelz 13664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℤ)
145	144	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℤ)
146		nn0rp0 13459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
147	146	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
148	147	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
149		digvalnn0 49221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ₀)
150	143, 145, 148, 149	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ₀)
151	150	nn0cnd 12544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
152	151	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
153	152	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
154	153	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
155	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℕ₀)
156		elfzonn0 13713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
157	155, 156	nn0expcld 14259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℕ₀)
158	157	nn0cnd 12544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
159	158	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
160		2cnd 12296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
161	154, 159, 160	mulassd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
162	161	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
163	162	sumeq2dv 15729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
164	163	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
165		0cn 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 0 ∈ ℂ
166		pncan1 11611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((0 + 1) − 1) = 0)
167	165, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 + 1) − 1) = 0
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 + 1) − 1) = 0)
169	168	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1)))
170		fzoval 13665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
171	68, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
172	169, 171	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
173	172	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
174		simprlr 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2))
175		elfznn0 13625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
176	167	oveq1i 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1))
177	175, 176	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
178		dignn0flhalf 49240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
179	174, 177, 178	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
180		eluzelz 12849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ ℤ)
181	180	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → 𝑎 ∈ ℤ)
182		nn0z 12592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
183		zob 16393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
184	180, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
185	182, 184	imbitrrid 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
186	185	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ)
187	181, 186	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
188	187	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
189	188	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
190	189	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
191		zofldiv2 49153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
192	190, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
193	192	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
194	179, 193	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
195		2cnd 12296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 2 ∈ ℂ)
196	195, 177	expp1d 14160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
197	196	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
198	194, 197	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
199	173, 198	sumeq12dv 15733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
200	199	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
201		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
202		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (2↑𝑘) = (2↑𝑖))
203	201, 202	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
204	203	cbvsumv 15723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖))
205	204	eqeq2i 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
206	205	birani 507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
207	206	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
208		fzofi 13987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0..^𝑦) ∈ Fin
209	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (0..^𝑦) ∈ Fin)
210		2cnd 12296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 2 ∈ ℂ)
211	158	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
212	151, 211	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
213	212	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
214	213	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
215	214	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
216	215	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
217	209, 210, 216	fsummulc1 15812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
218	207, 217	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
219	164, 200, 218	3eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = (((𝑎 − 1) / 2) · 2))
220	219	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)))
221		eluzelcn 12851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ ℂ)
222		peano2cnm 11497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
223	221, 222	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
224		2cnd 12296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
225		2ne0 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ≠ 0
226	225	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ≠ 0)
227	223, 224, 226	3jca 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
228	227	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
229		divcan1 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
230	228, 229	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
231	230	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = (1 + (𝑎 − 1)))
232		1cnd 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
233	232, 221	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
234	233	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
235		pncan3 11438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
236	234, 235	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
237	231, 236	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
238	237	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
239	238	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
240	142, 220, 239	3eqtrrd 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
241	240	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
242	241	imim2i 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
243	242	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
244	67, 243	biimtrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
245	66, 244	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
246	245	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
247	246	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
248	58, 247	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
249	248	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
250	249	com14 96	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
251	250	exp4c 436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑦 ∈ ℕ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
252	251	com35 98	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
253	57, 252	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
254	253	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))))
255	254	pm2.43a 54	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
256	255	com25 99	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
257	256	impcom 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
258	49, 257	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
259	258	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
260	41, 259	jaoi 868	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
261	1, 260	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
262	261	imp31 421	1 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∨ wo 858 ∧ w3a 1098 = wceq 1560 ∈ wcel 2142 ≠ wne 2957 ∀wral 3076 Vcvv 3454 {csn 4582 {cpr 4584 ‘cfv 6521 (class class class)co 7396 Fincfn 8927 ℂcc 11071 0cc0 11073 1c1 11074 + caddc 11076 · cmul 11078 +∞cpnf 11213 − cmin 11414 / cdiv 11844 ℕcn 12210 2c2 12272 ℕ₀cn0 12481 ℤcz 12568 ℤ_≥cuz 12839 [,)cico 13351 ...cfz 13512 ..^cfzo 13659 ⌊cfl 13800 ↑cexp 14074 Σcsu 15713 #_bcblen 49191 digitcdig 49217

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1815 ax-4 1829 ax-5 1930 ax-6 1987 ax-7 2028 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-rep 5227 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5322 ax-pr 5390 ax-un 7718 ax-inf2 9596 ax-cnex 11129 ax-resscn 11130 ax-1cn 11131 ax-icn 11132 ax-addcl 11133 ax-addrcl 11134 ax-mulcl 11135 ax-mulrcl 11136 ax-mulcom 11137 ax-addass 11138 ax-mulass 11139 ax-distr 11140 ax-i2m1 11141 ax-1ne0 11142 ax-1rid 11143 ax-rnegex 11144 ax-rrecex 11145 ax-cnre 11146 ax-pre-lttri 11147 ax-pre-lttrn 11148 ax-pre-ltadd 11149 ax-pre-mulgt0 11150 ax-pre-sup 11151 ax-addf 11152

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1099 df-3an 1100 df-tru 1563 df-fal 1573 df-ex 1800 df-nf 1804 df-sb 2091 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3456 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4906 df-iun 4951 df-iin 4952 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5542 df-eprel 5547 df-po 5555 df-so 5556 df-fr 5600 df-se 5601 df-we 5602 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-pred 6288 df-ord 6349 df-on 6350 df-lim 6351 df-suc 6352 df-iota 6477 df-fun 6523 df-fn 6524 df-f 6525 df-f1 6526 df-fo 6527 df-f1o 6528 df-fv 6529 df-isom 6530 df-riota 7353 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-mpo 7401 df-of 7660 df-om 7847 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-supp 8141 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8342 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-er 8678 df-map 8810 df-pm 8811 df-ixp 8880 df-en 8928 df-dom 8929 df-sdom 8930 df-fin 8931 df-fsupp 9308 df-fi 9357 df-sup 9388 df-inf 9389 df-oi 9458 df-card 9897 df-pnf 11218 df-mnf 11219 df-xr 11220 df-ltxr 11221 df-le 11222 df-sub 11416 df-neg 11417 df-div 11845 df-nn 12211 df-2 12280 df-3 12281 df-4 12282 df-5 12283 df-6 12284 df-7 12285 df-8 12286 df-9 12287 df-n0 12482 df-z 12569 df-dec 12689 df-uz 12840 df-q 12950 df-rp 12994 df-xneg 13114 df-xadd 13115 df-xmul 13116 df-ioo 13353 df-ioc 13354 df-ico 13355 df-icc 13356 df-fz 13513 df-fzo 13660 df-fl 13802 df-mod 13880 df-seq 14015 df-exp 14075 df-fac 14287 df-bc 14316 df-hash 14344 df-shft 15080 df-cj 15126 df-re 15127 df-im 15128 df-sqrt 15262 df-abs 15263 df-limsup 15498 df-clim 15515 df-rlim 15516 df-sum 15714 df-ef 16097 df-sin 16099 df-cos 16100 df-pi 16102 df-dvds 16287 df-struct 17183 df-sets 17200 df-slot 17218 df-ndx 17230 df-base 17246 df-ress 17267 df-plusg 17299 df-mulr 17300 df-starv 17301 df-sca 17302 df-vsca 17303 df-ip 17304 df-tset 17305 df-ple 17306 df-ds 17308 df-unif 17309 df-hom 17310 df-cco 17311 df-rest 17451 df-topn 17452 df-0g 17470 df-gsum 17471 df-topgen 17472 df-pt 17473 df-prds 17476 df-xrs 17532 df-qtop 17537 df-imas 17538 df-xps 17540 df-mre 17614 df-mrc 17615 df-acs 17617 df-mgm 18674 df-sgrp 18753 df-mnd 18769 df-submnd 18818 df-mulg 19110 df-cntz 19357 df-cmn 19822 df-psmet 21416 df-xmet 21417 df-met 21418 df-bl 21419 df-mopn 21420 df-fbas 21421 df-fg 21422 df-cnfld 21425 df-top 22954 df-topon 22971 df-topsp 22993 df-bases 23006 df-cld 23079 df-ntr 23080 df-cls 23081 df-nei 23158 df-lp 23196 df-perf 23197 df-cn 23287 df-cnp 23288 df-haus 23375 df-tx 23622 df-hmeo 23815 df-fil 23906 df-fm 23998 df-flim 23999 df-flf 24000 df-xms 24380 df-ms 24381 df-tms 24382 df-cncf 24940 df-limc 25928 df-dv 25929 df-log 26621 df-cxp 26622 df-logb 26830 df-blen 49192 df-dig 49218

This theorem is referenced by: nn0sumshdiglem1 49243

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