nn0sumshdiglemB - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem nn0sumshdiglemB 49553

Description: Lemma for nn0sumshdig 49556 (induction step, odd multiplier). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0sumshdiglemB	⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Distinct variable group: 𝑘,𝑎,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglemB Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12977	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)))
2		1t1e1 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
3	2	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 · 1)
4		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = 1)
5		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 + 1) = (#_b‘𝑎) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#_b‘𝑎)))
6	5	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#_b‘𝑎)))
7		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 1 → (#_b‘𝑎) = (#_b‘1))
8		blen1 49517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#_b‘1) = 1
9	7, 8	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (#_b‘𝑎) = 1)
10	9	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → (0..^(#_b‘𝑎)) = (0..^1))
11		fzo01 13806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^1) = {0}
12	10, 11	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (0..^(#_b‘𝑎)) = {0})
13	6, 12	sylan9eqr 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
14	13	sumeq1d 15790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
15		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)1))
16	15	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
17	16	sumeq2sdv 15793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
18		c0ex 11227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
19		ax-1cn 11185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	19, 19	mulcli 11243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 1) ∈ ℂ
21		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = (0(digit‘2)1))
22		1ex 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
23	22	prid2 4724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
24		0dig2pr01 49543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)1) = 1)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(digit‘2)1) = 1
26	21, 25	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = 1)
27		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
28		2cn 12343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
29		exp0 14132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2↑0) = 1
31	27, 30	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
32	26, 31	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
33	32	sumsn 15835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (1 · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
34	18, 20, 33	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1)
35	17, 34	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
37	14, 36	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
38	3, 4, 37	3eqtr4a 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
39	38	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
40	39	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
41	40	2a1d 27	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
42		eluzge2nn0 12944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
43		nn0ob 16477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ₀ → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
44	43	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ₀ → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀))
45	42, 44	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀))
46		blennngt2o2 49525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
47	46	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
48	45, 47	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
49	48	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
50		fveqeq2 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((#_b‘𝑥) = 𝑦 ↔ (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦))
51		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → 𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2))
52		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑘(digit‘2)𝑥) = (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
53	52	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
54	53	sumeq2sdv 15793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
55	51, 54	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
56	50, 55	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) ↔ ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))))
57	56	rspcva 3574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
58		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
59		nncn 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
60	59	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
61		blennn0elnn 49510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
62	61	nncnd 12276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
64	63	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
65		1cnd 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℂ)
66	60, 64, 65	addcan2d 11441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ 𝑦 = (#_b‘((𝑎 − 1) / 2))))
67		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ↔ (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦)
68		nnz 12639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
69	68	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
70		fzval3 13793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
71	69, 70	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
72	71	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0...𝑦))
73	72	sumeq1d 15790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
74		nnnn0 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ₀)
75		elnn0uz 12931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ₀ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘0))
76	74, 75	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘0))
77	76	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘0))
78		2nn 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 2 ∈ ℕ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
80		elfzelz 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
81	80	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
82		nn0rp0 13511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ₀ → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
83	42, 82	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
84	83	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
85	84	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
86		digvalnn0 49532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
88	87	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
89	88	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
90	89	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
91	90	nn0cnd 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
92		2nn0 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 2 ∈ ℕ₀)
94		elfznn0 13678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
95	93, 94	nn0expcld 14313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℕ₀)
96	95	nn0cnd 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
97	96	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
98	91, 97	mulcld 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
99		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
100	99, 27	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)))
101	30	oveq2i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1)
102	100, 101	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
103	77, 98, 102	fsum1p 15842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
104	42	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
105	42, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
106	105	biimparc 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀)
107		0dig2nn0o 49546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
108	104, 106, 107	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
109	108	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
110	109	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (1 · 1))
111	110, 2	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 1)
112		1z 12651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℤ
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
114		0p1e1 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (0 + 1) = 1
115	114, 112	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0 + 1) ∈ ℤ
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 + 1) ∈ ℤ)
117	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
118		elfzelz 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
119	118	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
120	42	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
121	120, 82	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
122	117, 119, 121, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
123	122	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
124	123	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
125	124	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
126	125	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
127	126	nn0cnd 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
128		2cnd 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 2 ∈ ℂ)
129		elfznn 13611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ)
130	129	nnnn0d 12592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
131	114	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 + 1)...𝑦) = (1...𝑦)
132	130, 131	eleq2s 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
133	128, 132	expcld 14213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
134	133	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
135	127, 134	mulcld 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
136		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘(digit‘2)𝑎) = ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎))
137		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑖 + 1)))
138	136, 137	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
139	113, 116, 69, 135, 138	fsumshftm 15870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
140	111, 139	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
141	73, 103, 140	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
142	141	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
143	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
144		elfzoelz 13717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℤ)
145	144	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℤ)
146		nn0rp0 13511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
147	146	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
148	147	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
149		digvalnn0 49532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ₀)
150	143, 145, 148, 149	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ₀)
151	150	nn0cnd 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
152	151	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
153	152	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
154	153	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
155	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℕ₀)
156		elfzonn0 13766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
157	155, 156	nn0expcld 14313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℕ₀)
158	157	nn0cnd 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
159	158	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
160		2cnd 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
161	154, 159, 160	mulassd 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
162	161	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
163	162	sumeq2dv 15792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
164	163	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
165		0cn 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 0 ∈ ℂ
166		pncan1 11665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((0 + 1) − 1) = 0)
167	165, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 + 1) − 1) = 0
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 + 1) − 1) = 0)
169	168	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1)))
170		fzoval 13718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
171	68, 170	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
172	169, 171	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
173	172	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
174		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2))
175		elfznn0 13678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
176	167	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1))
177	175, 176	eleq2s 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
178		dignn0flhalf 49551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
179	174, 177, 178	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
180		eluzelz 12900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ ℤ)
181	180	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → 𝑎 ∈ ℤ)
182		nn0z 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
183		zob 16452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
184	180, 183	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
185	182, 184	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
186	185	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ)
187	181, 186	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
188	187	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
189	188	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
190	189	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
191		zofldiv2 49464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
192	190, 191	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
193	192	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
194	179, 193	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
195		2cnd 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 2 ∈ ℂ)
196	195, 177	expp1d 14214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
197	196	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
198	194, 197	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
199	173, 198	sumeq12dv 15795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
200	199	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
201		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
202		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (2↑𝑘) = (2↑𝑖))
203	201, 202	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
204	203	cbvsumv 15786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖))
205	204	eqeq2i 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
206	205	birani 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
207	206	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
208		fzofi 14041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0..^𝑦) ∈ Fin
209	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (0..^𝑦) ∈ Fin)
210		2cnd 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 2 ∈ ℂ)
211	158	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
212	151, 211	mulcld 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
213	212	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
214	213	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
215	214	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
216	215	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
217	209, 210, 216	fsummulc1 15874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
218	207, 217	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
219	164, 200, 218	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = (((𝑎 − 1) / 2) · 2))
220	219	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)))
221		eluzelcn 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ ℂ)
222		peano2cnm 11551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
223	221, 222	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
224		2cnd 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
225		2ne0 12374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ≠ 0
226	225	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ≠ 0)
227	223, 224, 226	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
228	227	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
229		divcan1 11908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
230	228, 229	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
231	230	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = (1 + (𝑎 − 1)))
232		1cnd 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
233	232, 221	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
234	233	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
235		pncan3 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
236	234, 235	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
237	231, 236	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
238	237	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
239	238	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
240	142, 220, 239	3eqtrrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
241	240	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
242	241	imim2i 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
243	242	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
244	67, 243	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
245	66, 244	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
246	245	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
247	246	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
248	58, 247	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
249	248	com23 87	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
250	249	com14 97	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
251	250	exp4c 438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑦 ∈ ℕ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
252	251	com35 99	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
253	57, 252	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
254	253	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))))
255	254	pm2.43a 55	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
256	255	com25 100	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
257	256	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
258	49, 257	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
259	258	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
260	41, 259	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
261	1, 260	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
262	261	imp31 423	1 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2955 ∀wral 3076 Vcvv 3450 {csn 4584 {cpr 4586 ‘cfv 6533 (class class class)co 7414 Fincfn 8955 ℂcc 11125 0cc0 11127 1c1 11128 + caddc 11130 · cmul 11132 +∞cpnf 11267 − cmin 11468 / cdiv 11898 ℕcn 12260 2c2 12322 ℕ₀cn0 12531 ℤcz 12618 ℤ_≥cuz 12890 [,)cico 13403 ...cfz 13564 ..^cfzo 13712 ⌊cfl 13854 ↑cexp 14128 Σcsu 15776 #_bcblen 49502 digitcdig 49528

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-rep 5232 ax-sep 5251 ax-nul 5263 ax-pow 5330 ax-pr 5398 ax-un 7737 ax-inf2 9623 ax-cnex 11183 ax-resscn 11184 ax-1cn 11185 ax-icn 11186 ax-addcl 11187 ax-addrcl 11188 ax-mulcl 11189 ax-mulrcl 11190 ax-mulcom 11191 ax-addass 11192 ax-mulass 11193 ax-distr 11194 ax-i2m1 11195 ax-1ne0 11196 ax-1rid 11197 ax-rnegex 11198 ax-rrecex 11199 ax-cnre 11200 ax-pre-lttri 11201 ax-pre-lttrn 11202 ax-pre-ltadd 11203 ax-pre-mulgt0 11204 ax-pre-sup 11205 ax-addf 11206

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-se 5609 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6299 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-isom 6542 df-riota 7371 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7679 df-om 7864 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-supp 8160 df-frecs 8281 df-wrecs 8312 df-recs 8361 df-rdg 8400 df-1o 8458 df-2o 8459 df-er 8699 df-map 8831 df-pm 8832 df-ixp 8908 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-fin 8959 df-fsupp 9335 df-fi 9384 df-sup 9415 df-inf 9416 df-oi 9485 df-card 9947 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11899 df-nn 12261 df-2 12330 df-3 12331 df-4 12332 df-5 12333 df-6 12334 df-7 12335 df-8 12336 df-9 12337 df-n0 12532 df-z 12619 df-dec 12740 df-uz 12891 df-q 13001 df-rp 13046 df-xneg 13166 df-xadd 13167 df-xmul 13168 df-ioo 13405 df-ioc 13406 df-ico 13407 df-icc 13408 df-fz 13565 df-fzo 13713 df-fl 13856 df-mod 13934 df-seq 14069 df-exp 14129 df-fac 14341 df-bc 14370 df-hash 14398 df-shft 15143 df-cj 15189 df-re 15190 df-im 15191 df-sqrt 15325 df-abs 15326 df-limsup 15561 df-clim 15578 df-rlim 15579 df-sum 15777 df-ef 16156 df-sin 16158 df-cos 16159 df-pi 16161 df-dvds 16346 df-struct 17242 df-sets 17259 df-slot 17277 df-ndx 17289 df-base 17305 df-ress 17326 df-plusg 17358 df-mulr 17359 df-starv 17360 df-sca 17361 df-vsca 17362 df-ip 17363 df-tset 17364 df-ple 17365 df-ds 17367 df-unif 17368 df-hom 17369 df-cco 17370 df-rest 17510 df-topn 17511 df-0g 17529 df-gsum 17530 df-topgen 17531 df-pt 17532 df-prds 17535 df-xrs 17591 df-qtop 17596 df-imas 17597 df-xps 17599 df-mre 17673 df-mrc 17674 df-acs 17676 df-mgm 18733 df-sgrp 18824 df-mnd 18840 df-submnd 18895 df-mulg 19194 df-cntz 19447 df-cmn 19912 df-psmet 21580 df-xmet 21581 df-met 21582 df-bl 21583 df-mopn 21584 df-fbas 21585 df-fg 21586 df-cnfld 21589 df-top 23122 df-topon 23139 df-topsp 23161 df-bases 23174 df-cld 23247 df-ntr 23248 df-cls 23249 df-nei 23326 df-lp 23364 df-perf 23365 df-cn 23455 df-cnp 23456 df-haus 23543 df-tx 23791 df-hmeo 23984 df-fil 24075 df-fm 24167 df-flim 24168 df-flf 24169 df-xms 24549 df-ms 24550 df-tms 24551 df-cncf 25109 df-limc 26096 df-dv 26097 df-log 26796 df-cxp 26797 df-logb 27005 df-blen 49503 df-dig 49529

This theorem is used by: nn0sumshdiglem1 49554

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