Theorem nn0sumshdiglemB 48731

Description: Lemma for nn0sumshdig 48734 (induction step, odd multiplier). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdiglemB	⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglemB

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12823	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		1t1e1 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
3	2	eqcomi 2740	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 · 1)
4		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = 1)
5		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 + 1) = (#b‘𝑎) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#b‘𝑎)))
6	5	eqcoms 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#b‘𝑎)))
7		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 1 → (#b‘𝑎) = (#b‘1))
8		blen1 48695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#b‘1) = 1
9	7, 8	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (#b‘𝑎) = 1)
10	9	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → (0..^(#b‘𝑎)) = (0..^1))
11		fzo01 13647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^1) = {0}
12	10, 11	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (0..^(#b‘𝑎)) = {0})
13	6, 12	sylan9eqr 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
14	13	sumeq1d 15607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
15		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)1))
16	15	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
17	16	sumeq2sdv 15610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
18		c0ex 11106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
19		ax-1cn 11064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	19, 19	mulcli 11119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 1) ∈ ℂ
21		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = (0(digit‘2)1))
22		1ex 11108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
23	22	prid2 4713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
24		0dig2pr01 48721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)1) = 1)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(digit‘2)1) = 1
26	21, 25	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = 1)
27		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
28		2cn 12200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
29		exp0 13972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2↑0) = 1
31	27, 30	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
32	26, 31	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
33	32	sumsn 15653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (1 · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
34	18, 20, 33	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1)
35	17, 34	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
37	14, 36	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
38	3, 4, 37	3eqtr4a 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
39	38	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
40	39	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
41	40	2a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
42		eluzge2nn0 12790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑎 ∈ ℕ0)
43		nn0ob 16295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
44	43	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
46		blennngt2o2 48703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
47	46	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
48	45, 47	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
49	48	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
50		fveqeq2 6831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((#b‘𝑥) = 𝑦 ↔ (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦))
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → 𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2))
52		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑘(digit‘2)𝑥) = (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
53	52	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
54	53	sumeq2sdv 15610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
55	51, 54	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
56	50, 55	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))))
57	56	rspcva 3570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
58		eqeq1 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
59		nncn 12133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
60	59	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
61		blennn0elnn 48688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
62	61	nncnd 12141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
64	63	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
65		1cnd 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℂ)
66	60, 64, 65	addcan2d 11317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ 𝑦 = (#b‘((𝑎 − 1) / 2))))
67		eqcom 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ↔ (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦)
68		nnz 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
69	68	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
70		fzval3 13634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
72	71	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0...𝑦))
73	72	sumeq1d 15607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
74		nnnn0 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
75		elnn0uz 12777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘0))
76	74, 75	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘0))
77	76	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘0))
78		2nn 12198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 2 ∈ ℕ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
80		elfzelz 13424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
81	80	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
82		nn0rp0 13355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
83	42, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
85	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
86		digvalnn0 48710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
88	87	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
89	88	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
90	89	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
91	90	nn0cnd 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
92		2nn0 12398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ∈ ℕ0
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
94		elfznn0 13520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
95	93, 94	nn0expcld 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
96	95	nn0cnd 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
98	91, 97	mulcld 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
99		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
100	99, 27	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)))
101	30	oveq2i 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1)
102	100, 101	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
103	77, 98, 102	fsum1p 15660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
104	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
105	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
106	105	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
107		0dig2nn0o 48724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
108	104, 106, 107	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
109	108	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
110	109	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (1 · 1))
111	110, 2	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 1)
112		1z 12502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℤ
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
114		0p1e1 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (0 + 1) = 1
115	114, 112	eqeltri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0 + 1) ∈ ℤ
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 + 1) ∈ ℤ)
117	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
118		elfzelz 13424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
119	118	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
120	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
121	120, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
122	117, 119, 121, 86	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
123	122	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
124	123	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
125	124	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
126	125	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
127	126	nn0cnd 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
128		2cnd 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 2 ∈ ℂ)
129		elfznn 13453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ)
130	129	nnnn0d 12442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
131	114	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 + 1)...𝑦) = (1...𝑦)
132	130, 131	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
133	128, 132	expcld 14053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
135	127, 134	mulcld 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
136		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘(digit‘2)𝑎) = ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎))
137		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑖 + 1)))
138	136, 137	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
139	113, 116, 69, 135, 138	fsumshftm 15688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
140	111, 139	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
141	73, 103, 140	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
142	141	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
143	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
144		elfzoelz 13559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℤ)
145	144	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℤ)
146		nn0rp0 13355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
147	146	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
148	147	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
149		digvalnn0 48710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ0)
150	143, 145, 148, 149	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ0)
151	150	nn0cnd 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
152	151	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
153	152	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
154	153	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
155	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
156		elfzonn0 13607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℕ0)
157	155, 156	nn0expcld 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℕ0)
158	157	nn0cnd 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
159	158	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
160		2cnd 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
161	154, 159, 160	mulassd 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
162	161	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
163	162	sumeq2dv 15609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
164	163	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
165		0cn 11104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 0 ∈ ℂ
166		pncan1 11541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((0 + 1) − 1) = 0)
167	165, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 + 1) − 1) = 0
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 + 1) − 1) = 0)
169	168	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1)))
170		fzoval 13560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
171	68, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
172	169, 171	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
173	172	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
174		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2))
175		elfznn0 13520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
176	167	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1))
177	175, 176	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
178		dignn0flhalf 48729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
179	174, 177, 178	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
180		eluzelz 12742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑎 ∈ ℤ)
181	180	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℤ)
182		nn0z 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
183		zob 16270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
184	180, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
185	182, 184	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
186	185	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ)
187	181, 186	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
188	187	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
189	188	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
190	189	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
191		zofldiv2 48642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
192	190, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
193	192	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
194	179, 193	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
195		2cnd 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 2 ∈ ℂ)
196	195, 177	expp1d 14054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
197	196	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
198	194, 197	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
199	173, 198	sumeq12dv 15613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
200	199	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
201		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
202		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (2↑𝑘) = (2↑𝑖))
203	201, 202	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
204	203	cbvsumv 15603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖))
205	204	eqeq2i 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
206	205	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
207	206	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
208	207	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
209		fzofi 13881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0..^𝑦) ∈ Fin
210	209	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (0..^𝑦) ∈ Fin)
211		2cnd 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 2 ∈ ℂ)
212	158	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
213	151, 212	mulcld 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
214	213	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
215	214	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
216	215	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
217	216	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
218	210, 211, 217	fsummulc1 15692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
219	208, 218	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
220	164, 200, 219	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = (((𝑎 − 1) / 2) · 2))
221	220	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)))
222		eluzelcn 12744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑎 ∈ ℂ)
223		peano2cnm 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
224	222, 223	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
225		2cnd 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
226		2ne0 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ≠ 0
227	226	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≠ 0)
228	224, 225, 227	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
229	228	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
230		divcan1 11785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
231	229, 230	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
232	231	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = (1 + (𝑎 − 1)))
233		1cnd 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
234	233, 222	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
235	234	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
236		pncan3 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
237	235, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
238	232, 237	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
239	238	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
240	239	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
241	142, 221, 240	3eqtrrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
242	241	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
243	242	imim2i 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
244	243	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
245	67, 244	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
246	66, 245	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
247	246	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
248	247	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
249	58, 248	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
250	249	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
251	250	com14 96	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
252	251	exp4c 432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑦 ∈ ℕ → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
253	252	com35 98	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
254	57, 253	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
255	254	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))))
256	255	pm2.43a 54	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
257	256	com25 99	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
258	257	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
259	49, 258	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
260	259	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
261	41, 260	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
262	1, 261	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
263	262	imp31 417	1 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  Vcvv 3436  {csn 4573  {cpr 4575  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  +∞cpnf 11143   − cmin 11344   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  [,)cico 13247  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  ⌊cfl 13694  ↑cexp 13968  Σcsu 15593  #_bcblen 48680  digitcdig 48706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-dvds 16164  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cncf 24798  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26492  df-cxp 26493  df-logb 26702  df-blen 48681  df-dig 48707

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem1  48732