nn0sumshdiglemB - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > nn0sumshdiglemB		Structured version Visualization version GIF version

Theorem nn0sumshdiglemB 49420

Description: Lemma for nn0sumshdig 49423 (induction step, odd multiplier). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0sumshdiglemB	⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Distinct variable group: 𝑘,𝑎,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglemB Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12944	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)))
2		1t1e1 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
3	2	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 · 1)
4		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = 1)
5		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 + 1) = (#_b‘𝑎) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#_b‘𝑎)))
6	5	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#_b‘𝑎)))
7		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 1 → (#_b‘𝑎) = (#_b‘1))
8		blen1 49384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#_b‘1) = 1
9	7, 8	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (#_b‘𝑎) = 1)
10	9	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → (0..^(#_b‘𝑎)) = (0..^1))
11		fzo01 13772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^1) = {0}
12	10, 11	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (0..^(#_b‘𝑎)) = {0})
13	6, 12	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
14	13	sumeq1d 15747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
15		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)1))
16	15	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
17	16	sumeq2sdv 15750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
18		c0ex 11195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
19		ax-1cn 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	19, 19	mulcli 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 1) ∈ ℂ
21		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = (0(digit‘2)1))
22		1ex 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
23	22	prid2 4729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
24		0dig2pr01 49410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)1) = 1)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(digit‘2)1) = 1
26	21, 25	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = 1)
27		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
28		2cn 12311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
29		exp0 14097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2↑0) = 1
31	27, 30	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
32	26, 31	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
33	32	sumsn 15793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (1 · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
34	18, 20, 33	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1)
35	17, 34	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
36	35	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
37	14, 36	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
38	3, 4, 37	3eqtr4a 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
39	38	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
40	39	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
41	40	2a1d 27	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
42		eluzge2nn0 12911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
43		nn0ob 16437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ₀ → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
44	43	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ₀ → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀))
45	42, 44	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀))
46		blennngt2o2 49392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
47	46	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
48	45, 47	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
49	48	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
50		fveqeq2 6890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((#_b‘𝑥) = 𝑦 ↔ (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦))
51		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → 𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2))
52		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑘(digit‘2)𝑥) = (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
53	52	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
54	53	sumeq2sdv 15750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
55	51, 54	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
56	50, 55	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) ↔ ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))))
57	56	rspcva 3579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
58		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
59		nncn 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
60	59	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
61		blennn0elnn 49377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
62	61	nncnd 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
63	62	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
64	63	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
65		1cnd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℂ)
66	60, 64, 65	addcan2d 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ 𝑦 = (#_b‘((𝑎 − 1) / 2))))
67		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) ↔ (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦)
68		nnz 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
69	68	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
70		fzval3 13759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
71	69, 70	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
72	71	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0...𝑦))
73	72	sumeq1d 15747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
74		nnnn0 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ₀)
75		elnn0uz 12898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ₀ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘0))
76	74, 75	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘0))
77	76	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘0))
78		2nn 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 2 ∈ ℕ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
80		elfzelz 13547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
81	80	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
82		nn0rp0 13477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ₀ → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
83	42, 82	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
84	83	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
85	84	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
86		digvalnn0 49399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
88	87	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
89	88	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
90	89	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
91	90	nn0cnd 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
92		2nn0 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 2 ∈ ℕ₀)
94		elfznn0 13644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
95	93, 94	nn0expcld 14278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℕ₀)
96	95	nn0cnd 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
97	96	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
98	91, 97	mulcld 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
99		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
100	99, 27	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)))
101	30	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1)
102	100, 101	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
103	77, 98, 102	fsum1p 15800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
104	42	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
105	42, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
106	105	biimparc 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀)
107		0dig2nn0o 49413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
108	104, 106, 107	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
109	108	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
110	109	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (1 · 1))
111	110, 2	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 1)
112		1z 12619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℤ
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
114		0p1e1 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (0 + 1) = 1
115	114, 112	eqeltri 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0 + 1) ∈ ℤ
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 + 1) ∈ ℤ)
117	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
118		elfzelz 13547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
119	118	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
120	42	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
121	120, 82	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
122	117, 119, 121, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
123	122	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
124	123	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
125	124	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀))
126	125	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ₀)
127	126	nn0cnd 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
128		2cnd 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 2 ∈ ℂ)
129		elfznn 13577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ)
130	129	nnnn0d 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
131	114	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 + 1)...𝑦) = (1...𝑦)
132	130, 131	eleq2s 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
133	128, 132	expcld 14178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
134	133	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
135	127, 134	mulcld 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
136		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘(digit‘2)𝑎) = ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎))
137		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑖 + 1)))
138	136, 137	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
139	113, 116, 69, 135, 138	fsumshftm 15828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
140	111, 139	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
141	73, 103, 140	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
142	141	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
143	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
144		elfzoelz 13683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℤ)
145	144	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℤ)
146		nn0rp0 13477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
147	146	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
148	147	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
149		digvalnn0 49399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ₀)
150	143, 145, 148, 149	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ₀)
151	150	nn0cnd 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
152	151	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
153	152	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
154	153	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
155	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℕ₀)
156		elfzonn0 13732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
157	155, 156	nn0expcld 14278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℕ₀)
158	157	nn0cnd 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
159	158	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
160		2cnd 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
161	154, 159, 160	mulassd 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
162	161	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
163	162	sumeq2dv 15749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
164	163	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
165		0cn 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 0 ∈ ℂ
166		pncan1 11633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((0 + 1) − 1) = 0)
167	165, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 + 1) − 1) = 0
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 + 1) − 1) = 0)
169	168	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1)))
170		fzoval 13684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
171	68, 170	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
172	169, 171	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
173	172	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
174		simprlr 791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2))
175		elfznn0 13644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
176	167	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1))
177	175, 176	eleq2s 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
178		dignn0flhalf 49418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
179	174, 177, 178	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
180		eluzelz 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ ℤ)
181	180	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → 𝑎 ∈ ℤ)
182		nn0z 12610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
183		zob 16412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
184	180, 183	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
185	182, 184	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
186	185	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ)
187	181, 186	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
188	187	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
189	188	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
190	189	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
191		zofldiv2 49331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
192	190, 191	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
193	192	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
194	179, 193	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
195		2cnd 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 2 ∈ ℂ)
196	195, 177	expp1d 14179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
197	196	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
198	194, 197	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
199	173, 198	sumeq12dv 15753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
200	199	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
201		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
202		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (2↑𝑘) = (2↑𝑖))
203	201, 202	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
204	203	cbvsumv 15743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖))
205	204	eqeq2i 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
206	205	birani 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
207	206	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
208		fzofi 14006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0..^𝑦) ∈ Fin
209	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (0..^𝑦) ∈ Fin)
210		2cnd 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 2 ∈ ℂ)
211	158	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
212	151, 211	mulcld 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
213	212	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
214	213	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
215	214	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
216	215	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
217	209, 210, 216	fsummulc1 15832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
218	207, 217	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
219	164, 200, 218	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = (((𝑎 − 1) / 2) · 2))
220	219	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)))
221		eluzelcn 12869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑎 ∈ ℂ)
222		peano2cnm 11519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
223	221, 222	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
224		2cnd 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
225		2ne0 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ≠ 0
226	225	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ≠ 0)
227	223, 224, 226	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
228	227	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
229		divcan1 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
230	228, 229	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
231	230	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = (1 + (𝑎 − 1)))
232		1cnd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
233	232, 221	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
234	233	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
235		pncan3 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
236	234, 235	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
237	231, 236	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
238	237	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
239	238	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
240	142, 220, 239	3eqtrrd 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
241	240	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
242	241	imim2i 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
243	242	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
244	67, 243	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
245	66, 244	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
246	245	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
247	246	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
248	58, 247	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
249	248	com23 87	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
250	249	com14 97	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
251	250	exp4c 437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑦 ∈ ℕ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
252	251	com35 99	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
253	57, 252	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
254	253	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))))
255	254	pm2.43a 55	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
256	255	com25 100	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
257	256	impcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → ((#_b‘𝑎) = ((#_b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
258	49, 257	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
259	258	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
260	41, 259	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
261	1, 260	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
262	261	imp31 422	1 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ ((#_b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#_b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ wo 860 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 ∀wral 3079 Vcvv 3455 {csn 4589 {cpr 4591 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 Fincfn 8939 ℂcc 11093 0cc0 11095 1c1 11096 + caddc 11098 · cmul 11100 +∞cpnf 11235 − cmin 11436 / cdiv 11866 ℕcn 12228 2c2 12290 ℕ₀cn0 12499 ℤcz 12586 ℤ_≥cuz 12857 [,)cico 13369 ...cfz 13530 ..^cfzo 13678 ⌊cfl 13819 ↑cexp 14093 Σcsu 15733 #_bcblen 49369 digitcdig 49395

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-inf2 9606 ax-cnex 11151 ax-resscn 11152 ax-1cn 11153 ax-icn 11154 ax-addcl 11155 ax-addrcl 11156 ax-mulcl 11157 ax-mulrcl 11158 ax-mulcom 11159 ax-addass 11160 ax-mulass 11161 ax-distr 11162 ax-i2m1 11163 ax-1ne0 11164 ax-1rid 11165 ax-rnegex 11166 ax-rrecex 11167 ax-cnre 11168 ax-pre-lttri 11169 ax-pre-lttrn 11170 ax-pre-ltadd 11171 ax-pre-mulgt0 11172 ax-pre-sup 11173 ax-addf 11174

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-tp 4594 df-op 4596 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-iin 4959 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-se 5615 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-of 7674 df-om 7859 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-supp 8153 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-1o 8449 df-2o 8450 df-er 8690 df-map 8822 df-pm 8823 df-ixp 8892 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-fsupp 9318 df-fi 9367 df-sup 9398 df-inf 9399 df-oi 9468 df-card 9921 df-pnf 11240 df-mnf 11241 df-xr 11242 df-ltxr 11243 df-le 11244 df-sub 11438 df-neg 11439 df-div 11867 df-nn 12229 df-2 12298 df-3 12299 df-4 12300 df-5 12301 df-6 12302 df-7 12303 df-8 12304 df-9 12305 df-n0 12500 df-z 12587 df-dec 12707 df-uz 12858 df-q 12968 df-rp 13012 df-xneg 13132 df-xadd 13133 df-xmul 13134 df-ioo 13371 df-ioc 13372 df-ico 13373 df-icc 13374 df-fz 13531 df-fzo 13679 df-fl 13821 df-mod 13899 df-seq 14034 df-exp 14094 df-fac 14306 df-bc 14335 df-hash 14363 df-shft 15100 df-cj 15146 df-re 15147 df-im 15148 df-sqrt 15282 df-abs 15283 df-limsup 15518 df-clim 15535 df-rlim 15536 df-sum 15734 df-ef 16116 df-sin 16118 df-cos 16119 df-pi 16121 df-dvds 16306 df-struct 17202 df-sets 17219 df-slot 17237 df-ndx 17249 df-base 17265 df-ress 17286 df-plusg 17318 df-mulr 17319 df-starv 17320 df-sca 17321 df-vsca 17322 df-ip 17323 df-tset 17324 df-ple 17325 df-ds 17327 df-unif 17328 df-hom 17329 df-cco 17330 df-rest 17470 df-topn 17471 df-0g 17489 df-gsum 17490 df-topgen 17491 df-pt 17492 df-prds 17495 df-xrs 17551 df-qtop 17556 df-imas 17557 df-xps 17559 df-mre 17633 df-mrc 17634 df-acs 17636 df-mgm 18693 df-sgrp 18772 df-mnd 18788 df-submnd 18837 df-mulg 19129 df-cntz 19382 df-cmn 19847 df-psmet 21514 df-xmet 21515 df-met 21516 df-bl 21517 df-mopn 21518 df-fbas 21519 df-fg 21520 df-cnfld 21523 df-top 23051 df-topon 23068 df-topsp 23090 df-bases 23103 df-cld 23176 df-ntr 23177 df-cls 23178 df-nei 23255 df-lp 23293 df-perf 23294 df-cn 23384 df-cnp 23385 df-haus 23472 df-tx 23719 df-hmeo 23912 df-fil 24003 df-fm 24095 df-flim 24096 df-flf 24097 df-xms 24477 df-ms 24478 df-tms 24479 df-cncf 25037 df-limc 26025 df-dv 26026 df-log 26721 df-cxp 26722 df-logb 26930 df-blen 49370 df-dig 49396

This theorem is referenced by: nn0sumshdiglem1 49421

W3C validator