MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsqrexnreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsqrexnreu 27349
Description: For each complex number, there exists a complex number to which the square of more than one (or no) other complex numbers can be added to result in the given complex number.

Remark: This theorem, together with addsq2reu 27347, shows that there are cases in which there is a set together with a not unique other set fulfilling a wff, although there is a unique set fulfilling the wff together with another unique set (see addsq2reu 27347). For more details see comment for addsqnreup 27350. (Contributed by AV, 20-Jun-2023.)

Assertion
Ref Expression
addsqrexnreu (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsqrexnreu
StepHypRef Expression
1 peano2cnm 11542 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2 oveq1 7421 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
32eqeq1d 2729 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
43reubidv 3389 . . . 4 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
54notbid 318 . . 3 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
65adantl 481 . 2 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑎 = (𝐶 − 1)) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
7 ax-1cn 11182 . . . . 5 1 ∈ ℂ
8 neg1cn 12342 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
9 1nn 12239 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
10 nnneneg 12263 . . . . . 6 (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 1 ≠ -1
127, 8, 113pm3.2i 1337 . . . 4 (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1)
13 sq1 14176 . . . . . 6 (1↑2) = 1
1413eqcomi 2736 . . . . 5 1 = (1↑2)
15 neg1sqe1 14177 . . . . . 6 (-1↑2) = 1
1615eqcomi 2736 . . . . 5 1 = (-1↑2)
1714, 16pm3.2i 470 . . . 4 (1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2))
18 oveq1 7421 . . . . . 6 (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
1918eqeq2d 2738 . . . . 5 (𝑏 = 1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (1↑2)))
20 oveq1 7421 . . . . . 6 (𝑏 = -1 → (𝑏↑2) = (-1↑2))
2120eqeq2d 2738 . . . . 5 (𝑏 = -1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (-1↑2)))
2219, 212nreu 4437 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1) → ((1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2)) → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
2312, 17, 22mp2 9 . . 3 ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)
24 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
251adantr 480 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
26 sqcl 14100 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
2726adantl 481 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
2824, 25, 27subaddd 11605 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
29 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
30 1cnd 11225 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3129, 30nncand 11592 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
3231adantr 480 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
3332eqeq1d 2729 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ 1 = (𝑏↑2)))
3428, 33bitr3d 281 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ 1 = (𝑏↑2)))
3534reubidva 3387 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → (∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
3623, 35mtbiri 327 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
371, 6, 36rspcedvd 3609 1 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wrex 3065  ∃!wreu 3369  (class class class)co 7414  cc 11122  1c1 11125   + caddc 11127  cmin 11460  -cneg 11461  cn 12228  2c2 12283  cexp 14044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-seq 13985  df-exp 14045
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator