MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsqrexnreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsqrexnreu 27466
Description: For each complex number, there exists a complex number to which the square of more than one (or no) other complex numbers can be added to result in the given complex number.

Remark: This theorem, together with addsq2reu 27464, shows that there are cases in which there is a set together with a not unique other set fulfilling a wff, although there is a unique set fulfilling the wff together with another unique set (see addsq2reu 27464). For more details see comment for addsqnreup 27467. (Contributed by AV, 20-Jun-2023.)

Assertion
Ref Expression
addsqrexnreu (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsqrexnreu
StepHypRef Expression
1 peano2cnm 11565 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2 oveq1 7421 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
32eqeq1d 2728 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
43reubidv 3383 . . . 4 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
54notbid 317 . . 3 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
65adantl 480 . 2 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑎 = (𝐶 − 1)) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
7 ax-1cn 11205 . . . . 5 1 ∈ ℂ
8 neg1cn 12370 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
9 1nn 12267 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
10 nnneneg 12291 . . . . . 6 (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 1 ≠ -1
127, 8, 113pm3.2i 1336 . . . 4 (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1)
13 sq1 14205 . . . . . 6 (1↑2) = 1
1413eqcomi 2735 . . . . 5 1 = (1↑2)
15 neg1sqe1 14206 . . . . . 6 (-1↑2) = 1
1615eqcomi 2735 . . . . 5 1 = (-1↑2)
1714, 16pm3.2i 469 . . . 4 (1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2))
18 oveq1 7421 . . . . . 6 (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
1918eqeq2d 2737 . . . . 5 (𝑏 = 1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (1↑2)))
20 oveq1 7421 . . . . . 6 (𝑏 = -1 → (𝑏↑2) = (-1↑2))
2120eqeq2d 2737 . . . . 5 (𝑏 = -1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (-1↑2)))
2219, 212nreu 4439 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1) → ((1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2)) → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
2312, 17, 22mp2 9 . . 3 ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)
24 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
251adantr 479 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
26 sqcl 14129 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
2726adantl 480 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
2824, 25, 27subaddd 11628 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
29 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
30 1cnd 11248 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3129, 30nncand 11615 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
3231adantr 479 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
3332eqeq1d 2728 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ 1 = (𝑏↑2)))
3428, 33bitr3d 280 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ 1 = (𝑏↑2)))
3534reubidva 3381 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → (∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
3623, 35mtbiri 326 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
371, 6, 36rspcedvd 3610 1 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  ∃!wreu 3363  (class class class)co 7414  cc 11145  1c1 11148   + caddc 11150  cmin 11483  -cneg 11484  cn 12256  2c2 12311  cexp 14073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-seq 14014  df-exp 14074
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator