Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsqrexnreu Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: For each complex number, there exists a complex number to which the square of more than one (or no) other complex numbers can be added to result in the given complex number. Remark: This theorem, together with addsq2reu 26031, shows that there are cases in which there is a set together with a not unique other set fulfilling a wff, although there is a unique set fulfilling the wff together with another unique set (see addsq2reu 26031). For more details see comment for addsqnreup 26034. (Contributed by AV, 20-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
addsqrexnreu (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

StepHypRef Expression
1 peano2cnm 10943 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2 oveq1 7142 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
32eqeq1d 2800 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
43reubidv 3342 . . . 4 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
54notbid 321 . . 3 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
65adantl 485 . 2 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑎 = (𝐶 − 1)) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
7 ax-1cn 10586 . . . . 5 1 ∈ ℂ
8 neg1cn 11741 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
9 1nn 11638 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
10 nnneneg 11662 . . . . . 6 (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 1 ≠ -1
127, 8, 113pm3.2i 1336 . . . 4 (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1)
13 sq1 13556 . . . . . 6 (1↑2) = 1
1413eqcomi 2807 . . . . 5 1 = (1↑2)
15 neg1sqe1 13557 . . . . . 6 (-1↑2) = 1
1615eqcomi 2807 . . . . 5 1 = (-1↑2)
1714, 16pm3.2i 474 . . . 4 (1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2))
18 oveq1 7142 . . . . . 6 (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
1918eqeq2d 2809 . . . . 5 (𝑏 = 1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (1↑2)))
20 oveq1 7142 . . . . . 6 (𝑏 = -1 → (𝑏↑2) = (-1↑2))
2120eqeq2d 2809 . . . . 5 (𝑏 = -1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (-1↑2)))
2219, 212nreu 4349 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1) → ((1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2)) → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
2312, 17, 22mp2 9 . . 3 ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)
24 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
251adantr 484 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
26 sqcl 13482 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
2726adantl 485 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
2824, 25, 27subaddd 11006 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
29 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
30 1cnd 10627 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3129, 30nncand 10993 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
3231adantr 484 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
3332eqeq1d 2800 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ 1 = (𝑏↑2)))
3428, 33bitr3d 284 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ 1 = (𝑏↑2)))
3534reubidva 3341 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → (∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
3623, 35mtbiri 330 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
371, 6, 36rspcedvd 3574 1 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  ∃!wreu 3108  (class class class)co 7135  ℂcc 10526  1c1 10529   + caddc 10531   − cmin 10861  -cneg 10862  ℕcn 11627  2c2 11682  ↑cexp 13427 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-seq 13367  df-exp 13428 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator