Theorem addsqrexnreu 27635

Description: For each complex number, there exists a complex number to which the square of more than one (or no) other complex numbers can be added to result in the given complex number.

Remark: This theorem, together with addsq2reu 27633, shows that there are cases in which there is a set together with a not unique other set fulfilling a wff, although there is a unique set fulfilling the wff together with another unique set (see addsq2reu 27633). For more details see comment for addsqnreup 27636. (Contributed by AV, 20-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
addsqrexnreu	⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsqrexnreu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cnm 11535	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
3	2	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4	3	reubidv 3387	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
5	4	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑎 = (𝐶 − 1)) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
7		ax-1cn 11169	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		neg1cn 12214	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		1nn 12255	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
10		nnneneg 12282	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ -1
12	7, 8, 11	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1)
13		sq1 14244	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
14	13	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ 1 = (1↑2)
15		neg1sqe1 14245	. . . . . 6 ⊢ (-1↑2) = 1
16	15	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ 1 = (-1↑2)
17	14, 16	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2))
18		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
19	18	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (1↑2)))
20		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = -1 → (𝑏↑2) = (-1↑2))
21	20	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = -1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (-1↑2)))
22	19, 21	2nreu 4409	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1) → ((1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2)) → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
23	12, 17, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)
24		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
26		sqcl 14167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
27	26	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
28	24, 25, 27	subaddd 11598	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
29		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
30		1cnd 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31	29, 30	nncand 11585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
32	31	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
33	32	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ 1 = (𝑏↑2)))
34	28, 33	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ 1 = (𝑏↑2)))
35	34	reubidva 3385	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
36	23, 35	mtbiri 330	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
37	1, 6, 36	rspcedvd 3585	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  ∃!wreu 3369  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  1c1 11112   + caddc 11114   − cmin 11452  -cneg 11453  ℕcn 12244  2c2 12306  ↑cexp 14110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-seq 14051  df-exp 14111

This theorem is used by: (None)