Theorem addsqrexnreu 27678

Description: For each complex number, there exists a complex number to which the square of more than one (or no) other complex numbers can be added to result in the given complex number.

Remark: This theorem, together with addsq2reu 27676, shows that there are cases in which there is a set together with a not unique other set fulfilling a wff, although there is a unique set fulfilling the wff together with another unique set (see addsq2reu 27676). For more details see comment for addsqnreup 27679. (Contributed by AV, 20-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
addsqrexnreu	⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsqrexnreu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cnm 11548	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2		oveq1 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
3	2	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4	3	reubidv 3381	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
5	4	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑎 = (𝐶 − 1)) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
7		ax-1cn 11182	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		neg1cn 12227	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		1nn 12268	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
10		nnneneg 12295	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ -1
12	7, 8, 11	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1)
13		sq1 14259	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
14	13	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ 1 = (1↑2)
15		neg1sqe1 14260	. . . . . 6 ⊢ (-1↑2) = 1
16	15	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ 1 = (-1↑2)
17	14, 16	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2))
18		oveq1 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
19	18	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (1↑2)))
20		oveq1 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = -1 → (𝑏↑2) = (-1↑2))
21	20	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = -1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (-1↑2)))
22	19, 21	2nreu 4402	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1) → ((1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2)) → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
23	12, 17, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)
24		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
26		sqcl 14182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
27	26	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
28	24, 25, 27	subaddd 11611	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
29		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
30		1cnd 11226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31	29, 30	nncand 11598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
32	31	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
33	32	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ 1 = (𝑏↑2)))
34	28, 33	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ 1 = (𝑏↑2)))
35	34	reubidva 3379	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
36	23, 35	mtbiri 330	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
37	1, 6, 36	rspcedvd 3578	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  1c1 11125   + caddc 11127   − cmin 11465  -cneg 11466  ℕcn 12257  2c2 12319  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by: (None)