MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsqrexnreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsqrexnreu 26806
Description: For each complex number, there exists a complex number to which the square of more than one (or no) other complex numbers can be added to result in the given complex number.

Remark: This theorem, together with addsq2reu 26804, shows that there are cases in which there is a set together with a not unique other set fulfilling a wff, although there is a unique set fulfilling the wff together with another unique set (see addsq2reu 26804). For more details see comment for addsqnreup 26807. (Contributed by AV, 20-Jun-2023.)

Assertion
Ref Expression
addsqrexnreu (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsqrexnreu
StepHypRef Expression
1 peano2cnm 11474 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2 oveq1 7369 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
32eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
43reubidv 3374 . . . 4 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
54notbid 318 . . 3 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
65adantl 483 . 2 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑎 = (𝐶 − 1)) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
7 ax-1cn 11116 . . . . 5 1 ∈ ℂ
8 neg1cn 12274 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
9 1nn 12171 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
10 nnneneg 12195 . . . . . 6 (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 1 ≠ -1
127, 8, 113pm3.2i 1340 . . . 4 (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1)
13 sq1 14106 . . . . . 6 (1↑2) = 1
1413eqcomi 2746 . . . . 5 1 = (1↑2)
15 neg1sqe1 14107 . . . . . 6 (-1↑2) = 1
1615eqcomi 2746 . . . . 5 1 = (-1↑2)
1714, 16pm3.2i 472 . . . 4 (1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2))
18 oveq1 7369 . . . . . 6 (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
1918eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑏 = 1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (1↑2)))
20 oveq1 7369 . . . . . 6 (𝑏 = -1 → (𝑏↑2) = (-1↑2))
2120eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑏 = -1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (-1↑2)))
2219, 212nreu 4406 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1) → ((1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2)) → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
2312, 17, 22mp2 9 . . 3 ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)
24 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
251adantr 482 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
26 sqcl 14030 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
2726adantl 483 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
2824, 25, 27subaddd 11537 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
29 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
30 1cnd 11157 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3129, 30nncand 11524 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
3231adantr 482 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
3332eqeq1d 2739 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ 1 = (𝑏↑2)))
3428, 33bitr3d 281 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ 1 = (𝑏↑2)))
3534reubidva 3372 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → (∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
3623, 35mtbiri 327 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
371, 6, 36rspcedvd 3586 1 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wrex 3074  ∃!wreu 3354  (class class class)co 7362  cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061  cmin 11392  -cneg 11393  cn 12160  2c2 12215  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator