Theorem addsqrexnreu 27421

Description: For each complex number, there exists a complex number to which the square of more than one (or no) other complex numbers can be added to result in the given complex number.

Remark: This theorem, together with addsq2reu 27419, shows that there are cases in which there is a set together with a not unique other set fulfilling a wff, although there is a unique set fulfilling the wff together with another unique set (see addsq2reu 27419). For more details see comment for addsqnreup 27422. (Contributed by AV, 20-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
addsqrexnreu	⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsqrexnreu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cnm 11459	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
3	2	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4	3	reubidv 3368	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
5	4	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑎 = (𝐶 − 1)) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
7		ax-1cn 11096	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		neg1cn 12142	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		1nn 12168	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
10		nnneneg 12192	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ -1
12	7, 8, 11	3pm3.2i 1341	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1)
13		sq1 14130	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
14	13	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ 1 = (1↑2)
15		neg1sqe1 14131	. . . . . 6 ⊢ (-1↑2) = 1
16	15	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ 1 = (-1↑2)
17	14, 16	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2))
18		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
19	18	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (1↑2)))
20		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = -1 → (𝑏↑2) = (-1↑2))
21	20	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = -1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (-1↑2)))
22	19, 21	2nreu 4398	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1) → ((1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2)) → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
23	12, 17, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)
24		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
26		sqcl 14053	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
27	26	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
28	24, 25, 27	subaddd 11522	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
29		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
30		1cnd 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31	29, 30	nncand 11509	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
33	32	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ 1 = (𝑏↑2)))
34	28, 33	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ 1 = (𝑏↑2)))
35	34	reubidva 3366	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
36	23, 35	mtbiri 327	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
37	1, 6, 36	rspcedvd 3580	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3350  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376  -cneg 11377  ℕcn 12157  2c2 12212  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by: (None)