Theorem addsqrexnreu 27430

Description: For each complex number, there exists a complex number to which the square of more than one (or no) other complex numbers can be added to result in the given complex number.

Remark: This theorem, together with addsq2reu 27428, shows that there are cases in which there is a set together with a not unique other set fulfilling a wff, although there is a unique set fulfilling the wff together with another unique set (see addsq2reu 27428). For more details see comment for addsqnreup 27431. (Contributed by AV, 20-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
addsqrexnreu	⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsqrexnreu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cnm 11458	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2		oveq1 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
3	2	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4	3	reubidv 3361	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
5	4	notbid 319	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
6	5	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑎 = (𝐶 − 1)) → (¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
7		ax-1cn 11094	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		neg1cn 12142	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		1nn 12183	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
10		nnneneg 12210	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ -1
12	7, 8, 11	3pm3.2i 1346	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1)
13		sq1 14155	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
14	13	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ 1 = (1↑2)
15		neg1sqe1 14156	. . . . . 6 ⊢ (-1↑2) = 1
16	15	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ 1 = (-1↑2)
17	14, 16	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2))
18		oveq1 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
19	18	eqeq2d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (1↑2)))
20		oveq1 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = -1 → (𝑏↑2) = (-1↑2))
21	20	eqeq2d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = -1 → (1 = (𝑏↑2) ↔ 1 = (-1↑2)))
22	19, 21	2nreu 4379	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ -1) → ((1 = (1↑2) ∧ 1 = (-1↑2)) → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
23	12, 17, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)
24		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	1	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
26		sqcl 14078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
27	26	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
28	24, 25, 27	subaddd 11521	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
29		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
30		1cnd 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31	29, 30	nncand 11508	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
32	31	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐶 − (𝐶 − 1)) = 1)
33	32	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐶 − 1)) = (𝑏↑2) ↔ 1 = (𝑏↑2)))
34	28, 33	bitr3d 282	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ 1 = (𝑏↑2)))
35	34	reubidva 3359	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃!𝑏 ∈ ℂ 1 = (𝑏↑2)))
36	23, 35	mtbiri 328	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
37	1, 6, 36	rspcedvd 3569	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℂ ¬ ∃!𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3343  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  1c1 11037   + caddc 11039   − cmin 11375  -cneg 11376  ℕcn 12172  2c2 12234  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by: (None)