![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > nn0onn0ex | Structured version Visualization version GIF version |
Description: For each odd nonnegative integer there is a nonnegative integer which, multiplied by 2 and increased by 1, results in the odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
nn0onn0ex | โข ((๐ โ โ0 โง ((๐ + 1) / 2) โ โ0) โ โ๐ โ โ0 ๐ = ((2 ยท ๐) + 1)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nn0o 16333 | . 2 โข ((๐ โ โ0 โง ((๐ + 1) / 2) โ โ0) โ ((๐ โ 1) / 2) โ โ0) | |
2 | simpr 484 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ0) โ ((๐ โ 1) / 2) โ โ0) | |
3 | oveq2 7413 | . . . . . 6 โข (๐ = ((๐ โ 1) / 2) โ (2 ยท ๐) = (2 ยท ((๐ โ 1) / 2))) | |
4 | 3 | oveq1d 7420 | . . . . 5 โข (๐ = ((๐ โ 1) / 2) โ ((2 ยท ๐) + 1) = ((2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) + 1)) |
5 | 4 | eqeq2d 2737 | . . . 4 โข (๐ = ((๐ โ 1) / 2) โ (๐ = ((2 ยท ๐) + 1) โ ๐ = ((2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) + 1))) |
6 | 5 | adantl 481 | . . 3 โข (((๐ โ โ0 โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ0) โง ๐ = ((๐ โ 1) / 2)) โ (๐ = ((2 ยท ๐) + 1) โ ๐ = ((2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) + 1))) |
7 | nn0cn 12486 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ โ) | |
8 | peano2cnm 11530 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ โ (๐ โ 1) โ โ) | |
9 | 7, 8 | syl 17 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ 1) โ โ) |
10 | 2cnd 12294 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ0 โ 2 โ โ) | |
11 | 2ne0 12320 | . . . . . . . 8 โข 2 โ 0 | |
12 | 11 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ0 โ 2 โ 0) |
13 | 9, 10, 12 | divcan2d 11996 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ0 โ (2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) = (๐ โ 1)) |
14 | 13 | oveq1d 7420 | . . . . 5 โข (๐ โ โ0 โ ((2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) + 1) = ((๐ โ 1) + 1)) |
15 | npcan1 11643 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ ((๐ โ 1) + 1) = ๐) | |
16 | 7, 15 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ โ0 โ ((๐ โ 1) + 1) = ๐) |
17 | 14, 16 | eqtr2d 2767 | . . . 4 โข (๐ โ โ0 โ ๐ = ((2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) + 1)) |
18 | 17 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ0) โ ๐ = ((2 ยท ((๐ โ 1) / 2)) + 1)) |
19 | 2, 6, 18 | rspcedvd 3608 | . 2 โข ((๐ โ โ0 โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ0) โ โ๐ โ โ0 ๐ = ((2 ยท ๐) + 1)) |
20 | 1, 19 | syldan 590 | 1 โข ((๐ โ โ0 โง ((๐ + 1) / 2) โ โ0) โ โ๐ โ โ0 ๐ = ((2 ยท ๐) + 1)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 โwrex 3064 (class class class)co 7405 โcc 11110 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 ยท cmul 11117 โ cmin 11448 / cdiv 11875 2c2 12271 โ0cn0 12476 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12981 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |