Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0onn0ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0onn0ex 47484
Description: For each odd nonnegative integer there is a nonnegative integer which, multiplied by 2 and increased by 1, results in the odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0onn0ex ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
Distinct variable group:   ๐‘š,๐‘

Proof of Theorem nn0onn0ex
StepHypRef Expression
1 nn0o 16333 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
2 simpr 484 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
3 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘š = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†’ (2 ยท ๐‘š) = (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
43oveq1d 7420 . . . . 5 (๐‘š = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
54eqeq2d 2737 . . . 4 (๐‘š = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†’ (๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1) โ†” ๐‘ = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1)))
65adantl 481 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘š = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1) โ†” ๐‘ = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1)))
7 nn0cn 12486 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8 peano2cnm 11530 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
10 2cnd 12294 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
11 2ne0 12320 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โ‰  0)
139, 10, 12divcan2d 11996 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ โˆ’ 1))
1413oveq1d 7420 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
15 npcan1 11643 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
167, 15syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
1714, 16eqtr2d 2767 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
1817adantr 480 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
192, 6, 18rspcedvd 3608 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
201, 19syldan 590 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ๐‘ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„•0cn0 12476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator