Theorem 2503prm 17079

Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2503prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;2503

Assertion

Ref	Expression
2503prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2503prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		139prm 17063	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℙ
2		1nn0 12489	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		8nn 12308	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 12698	. 2 ⊢ ;18 ∈ ℕ
5		2503prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;2503
6		2nn0 12490	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		5nn0 12493	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12693	. . . . . . 7 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
9		0nn0 12488	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12693	. . . . . 6 ⊢ ;;250 ∈ ℕ0
11		2p1e3 12355	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
12		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ;;;2502 = ;;;2502
13	10, 6, 11, 12	decsuc 12709	. . . . 5 ⊢ (;;;2502 + 1) = ;;;2503
14	5, 13	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;2502 + 1)
15	14	oveq1i 7414	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ((;;;2502 + 1) − 1)
16		8nn0 12496	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 12693	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		3nn0 12491	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19	2, 18	deccl 12693	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
20		9nn0 12497	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
21		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ;;139 = ;;139
22		6nn0 12494	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23	2, 22	deccl 12693	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
24		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ;13 = ;13
25		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		7nn0 12495	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
27		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ ;18 = ;18
28		6cn 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
29		ax-1cn 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		6p1e7 12361	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
31	28, 29, 30	addcomli 11407	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
32	26	dec0h 12700	. . . . . . . 8 ⊢ 7 = ;07
33	31, 32	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 6) = ;07
34	29	mulridi 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
35	29	addlidi 11403	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
36	34, 35	oveq12i 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
37		1p1e2 12338	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
38	36, 37	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
39		8cn 12310	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
40	39	mulridi 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 1) = 8
41	40	oveq1i 7414	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 1) + 7) = (8 + 7)
42		8p7e15 12763	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 7) = ;15
43	41, 42	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((8 · 1) + 7) = ;15
44	2, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43	decmac 12730	. . . . . 6 ⊢ ((;18 · 1) + (1 + 6)) = ;25
45	22	dec0h 12700	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
46		3cn 12294	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
47	46	mullidi 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 3) = 3
48	46	addlidi 11403	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 3) = 3
49	47, 48	oveq12i 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
50		3p3e6 12365	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 3) = 6
51	49, 50	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 3)) = 6
52		4nn0 12492	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
53		8t3e24 12794	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 3) = ;24
54		4cn 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
55		6p4e10 12750	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 4) = ;10
56	28, 54, 55	addcomli 11407	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 6) = ;10
57	6, 52, 22, 53, 11, 56	decaddci2 12740	. . . . . . 7 ⊢ ((8 · 3) + 6) = ;30
58	2, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57	decmac 12730	. . . . . 6 ⊢ ((;18 · 3) + 6) = ;60
59	2, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58	decma2c 12731	. . . . 5 ⊢ ((;18 · ;13) + ;16) = ;;250
60		9cn 12313	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℂ
61	60	mullidi 11220	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 9) = 9
62	61	oveq1i 7414	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 9) + 7) = (9 + 7)
63		9p7e16 12770	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 7) = ;16
64	62, 63	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 9) + 7) = ;16
65		9t8e72 12806	. . . . . . 7 ⊢ (9 · 8) = ;72
66	60, 39, 65	mulcomli 11224	. . . . . 6 ⊢ (8 · 9) = ;72
67	20, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66	decmul1c 12743	. . . . 5 ⊢ (;18 · 9) = ;;162
68	17, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67	decmul2c 12744	. . . 4 ⊢ (;18 · ;;139) = ;;;2502
69	10, 6	deccl 12693	. . . . . 6 ⊢ ;;;2502 ∈ ℕ0
70	69	nn0cni 12485	. . . . 5 ⊢ ;;;2502 ∈ ℂ
71	70, 29	pncan3oi 11477	. . . 4 ⊢ ((;;;2502 + 1) − 1) = ;;;2502
72	68, 71	eqtr4i 2757	. . 3 ⊢ (;18 · ;;139) = ((;;;2502 + 1) − 1)
73	15, 72	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;18 · ;;139)
74	10, 18	deccl 12693	. . . . . 6 ⊢ ;;;2503 ∈ ℕ0
75	5, 74	eqeltri 2823	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
76	75	nn0cni 12485	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
77		npcan 11470	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
78	76, 29, 77	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
79	78	eqcomi 2735	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
80		1nn 12224	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
81		2nn 12286	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
82	19, 20	deccl 12693	. . . . 5 ⊢ ;;139 ∈ ℕ0
83	82	numexp1 17016	. . . 4 ⊢ (;;139↑1) = ;;139
84	83	oveq2i 7415	. . 3 ⊢ (;18 · (;;139↑1)) = (;18 · ;;139)
85	73, 84	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;18 · (;;139↑1))
86		8lt10 12810	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
87		1lt10 12817	. . . . 5 ⊢ 1 < ;10
88	80, 18, 2, 87	declti 12716	. . . 4 ⊢ 1 < ;13
89	2, 19, 16, 20, 86, 88	decltc 12707	. . 3 ⊢ ;18 < ;;139
90	89, 83	breqtrri 5168	. 2 ⊢ ;18 < (;;139↑1)
91	5	2503lem2 17077	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
92	5	2503lem3 17078	. 2 ⊢ (((2↑;18) − 1) gcd 𝑁) = 1
93	1, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92	pockthi 16846	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11249   − cmin 11445  2c2 12268  3c3 12269  4c4 12270  5c5 12271  6c6 12272  7c7 12273  8c8 12274  9c9 12275  ℕ₀cn0 12473  ;cdc 12678  ↑cexp 14029  ℙcprime 16612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-odz 16704  df-phi 16705  df-pc 16776

This theorem is referenced by: (None)