MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503prm 17116
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 ๐‘ = 2503
Assertion
Ref Expression
2503prm ๐‘ โˆˆ โ„™

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 17100 . 2 139 โˆˆ โ„™
2 1nn0 12526 . . 3 1 โˆˆ โ„•0
3 8nn 12345 . . 3 8 โˆˆ โ„•
42, 3decnncl 12735 . 2 18 โˆˆ โ„•
5 2503prm.1 . . . . 5 ๐‘ = 2503
6 2nn0 12527 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
7 5nn0 12530 . . . . . . . 8 5 โˆˆ โ„•0
86, 7deccl 12730 . . . . . . 7 25 โˆˆ โ„•0
9 0nn0 12525 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„•0
108, 9deccl 12730 . . . . . 6 250 โˆˆ โ„•0
11 2p1e3 12392 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
12 eqid 2728 . . . . . 6 2502 = 2502
1310, 6, 11, 12decsuc 12746 . . . . 5 (2502 + 1) = 2503
145, 13eqtr4i 2759 . . . 4 ๐‘ = (2502 + 1)
1514oveq1i 7436 . . 3 (๐‘ โˆ’ 1) = ((2502 + 1) โˆ’ 1)
16 8nn0 12533 . . . . . 6 8 โˆˆ โ„•0
172, 16deccl 12730 . . . . 5 18 โˆˆ โ„•0
18 3nn0 12528 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„•0
192, 18deccl 12730 . . . . 5 13 โˆˆ โ„•0
20 9nn0 12534 . . . . 5 9 โˆˆ โ„•0
21 eqid 2728 . . . . 5 139 = 139
22 6nn0 12531 . . . . . 6 6 โˆˆ โ„•0
232, 22deccl 12730 . . . . 5 16 โˆˆ โ„•0
24 eqid 2728 . . . . . 6 13 = 13
25 eqid 2728 . . . . . 6 16 = 16
26 7nn0 12532 . . . . . . 7 7 โˆˆ โ„•0
27 eqid 2728 . . . . . . 7 18 = 18
28 6cn 12341 . . . . . . . . 9 6 โˆˆ โ„‚
29 ax-1cn 11204 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
30 6p1e7 12398 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
3128, 29, 30addcomli 11444 . . . . . . . 8 (1 + 6) = 7
3226dec0h 12737 . . . . . . . 8 7 = 07
3331, 32eqtri 2756 . . . . . . 7 (1 + 6) = 07
3429mulridi 11256 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
3529addlidi 11440 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35oveq12i 7438 . . . . . . . 8 ((1 ยท 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
37 1p1e2 12375 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3836, 37eqtri 2756 . . . . . . 7 ((1 ยท 1) + (0 + 1)) = 2
39 8cn 12347 . . . . . . . . . 10 8 โˆˆ โ„‚
4039mulridi 11256 . . . . . . . . 9 (8 ยท 1) = 8
4140oveq1i 7436 . . . . . . . 8 ((8 ยท 1) + 7) = (8 + 7)
42 8p7e15 12800 . . . . . . . 8 (8 + 7) = 15
4341, 42eqtri 2756 . . . . . . 7 ((8 ยท 1) + 7) = 15
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 12767 . . . . . 6 ((18 ยท 1) + (1 + 6)) = 25
4522dec0h 12737 . . . . . . 7 6 = 06
46 3cn 12331 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„‚
4746mullidi 11257 . . . . . . . . 9 (1 ยท 3) = 3
4846addlidi 11440 . . . . . . . . 9 (0 + 3) = 3
4947, 48oveq12i 7438 . . . . . . . 8 ((1 ยท 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
50 3p3e6 12402 . . . . . . . 8 (3 + 3) = 6
5149, 50eqtri 2756 . . . . . . 7 ((1 ยท 3) + (0 + 3)) = 6
52 4nn0 12529 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„•0
53 8t3e24 12831 . . . . . . . 8 (8 ยท 3) = 24
54 4cn 12335 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„‚
55 6p4e10 12787 . . . . . . . . 9 (6 + 4) = 10
5628, 54, 55addcomli 11444 . . . . . . . 8 (4 + 6) = 10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 12777 . . . . . . 7 ((8 ยท 3) + 6) = 30
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 12767 . . . . . 6 ((18 ยท 3) + 6) = 60
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 12768 . . . . 5 ((18 ยท 13) + 16) = 250
60 9cn 12350 . . . . . . . . 9 9 โˆˆ โ„‚
6160mullidi 11257 . . . . . . . 8 (1 ยท 9) = 9
6261oveq1i 7436 . . . . . . 7 ((1 ยท 9) + 7) = (9 + 7)
63 9p7e16 12807 . . . . . . 7 (9 + 7) = 16
6462, 63eqtri 2756 . . . . . 6 ((1 ยท 9) + 7) = 16
65 9t8e72 12843 . . . . . . 7 (9 ยท 8) = 72
6660, 39, 65mulcomli 11261 . . . . . 6 (8 ยท 9) = 72
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 12780 . . . . 5 (18 ยท 9) = 162
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 12781 . . . 4 (18 ยท 139) = 2502
6910, 6deccl 12730 . . . . . 6 2502 โˆˆ โ„•0
7069nn0cni 12522 . . . . 5 2502 โˆˆ โ„‚
7170, 29pncan3oi 11514 . . . 4 ((2502 + 1) โˆ’ 1) = 2502
7268, 71eqtr4i 2759 . . 3 (18 ยท 139) = ((2502 + 1) โˆ’ 1)
7315, 72eqtr4i 2759 . 2 (๐‘ โˆ’ 1) = (18 ยท 139)
7410, 18deccl 12730 . . . . . 6 2503 โˆˆ โ„•0
755, 74eqeltri 2825 . . . . 5 ๐‘ โˆˆ โ„•0
7675nn0cni 12522 . . . 4 ๐‘ โˆˆ โ„‚
77 npcan 11507 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
7876, 29, 77mp2an 690 . . 3 ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘
7978eqcomi 2737 . 2 ๐‘ = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1)
80 1nn 12261 . 2 1 โˆˆ โ„•
81 2nn 12323 . 2 2 โˆˆ โ„•
8219, 20deccl 12730 . . . . 5 139 โˆˆ โ„•0
8382numexp1 17053 . . . 4 (139โ†‘1) = 139
8483oveq2i 7437 . . 3 (18 ยท (139โ†‘1)) = (18 ยท 139)
8573, 84eqtr4i 2759 . 2 (๐‘ โˆ’ 1) = (18 ยท (139โ†‘1))
86 8lt10 12847 . . . 4 8 < 10
87 1lt10 12854 . . . . 5 1 < 10
8880, 18, 2, 87declti 12753 . . . 4 1 < 13
892, 19, 16, 20, 86, 88decltc 12744 . . 3 18 < 139
9089, 83breqtrri 5179 . 2 18 < (139โ†‘1)
9152503lem2 17114 . 2 ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘)
9252503lem3 17115 . 2 (((2โ†‘18) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1
931, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92pockthi 16883 1 ๐‘ โˆˆ โ„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โˆ’ cmin 11482  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  5c5 12308  6c6 12309  7c7 12310  8c8 12311  9c9 12312  โ„•0cn0 12510  cdc 12715  โ†‘cexp 14066  โ„™cprime 16649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-odz 16741  df-phi 16742  df-pc 16813
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator