Theorem 2503prm 17116

Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2503prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;2503

Assertion

Ref	Expression
2503prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2503prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		139prm 17100	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℙ
2		1nn0 12526	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		8nn 12345	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 12735	. 2 ⊢ ;18 ∈ ℕ
5		2503prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;2503
6		2nn0 12527	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		5nn0 12530	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12730	. . . . . . 7 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
9		0nn0 12525	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;;250 ∈ ℕ0
11		2p1e3 12392	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
12		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ;;;2502 = ;;;2502
13	10, 6, 11, 12	decsuc 12746	. . . . 5 ⊢ (;;;2502 + 1) = ;;;2503
14	5, 13	eqtr4i 2759	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;2502 + 1)
15	14	oveq1i 7436	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ((;;;2502 + 1) − 1)
16		8nn0 12533	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 12730	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		3nn0 12528	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19	2, 18	deccl 12730	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
20		9nn0 12534	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
21		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ;;139 = ;;139
22		6nn0 12531	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23	2, 22	deccl 12730	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
24		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ;13 = ;13
25		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		7nn0 12532	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
27		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ ;18 = ;18
28		6cn 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
29		ax-1cn 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		6p1e7 12398	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
31	28, 29, 30	addcomli 11444	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
32	26	dec0h 12737	. . . . . . . 8 ⊢ 7 = ;07
33	31, 32	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 6) = ;07
34	29	mulridi 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
35	29	addlidi 11440	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
36	34, 35	oveq12i 7438	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
37		1p1e2 12375	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
38	36, 37	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
39		8cn 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
40	39	mulridi 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 1) = 8
41	40	oveq1i 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 1) + 7) = (8 + 7)
42		8p7e15 12800	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 7) = ;15
43	41, 42	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ ((8 · 1) + 7) = ;15
44	2, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43	decmac 12767	. . . . . 6 ⊢ ((;18 · 1) + (1 + 6)) = ;25
45	22	dec0h 12737	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
46		3cn 12331	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
47	46	mullidi 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 3) = 3
48	46	addlidi 11440	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 3) = 3
49	47, 48	oveq12i 7438	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
50		3p3e6 12402	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 3) = 6
51	49, 50	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 3)) = 6
52		4nn0 12529	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
53		8t3e24 12831	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 3) = ;24
54		4cn 12335	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
55		6p4e10 12787	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 4) = ;10
56	28, 54, 55	addcomli 11444	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 6) = ;10
57	6, 52, 22, 53, 11, 56	decaddci2 12777	. . . . . . 7 ⊢ ((8 · 3) + 6) = ;30
58	2, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57	decmac 12767	. . . . . 6 ⊢ ((;18 · 3) + 6) = ;60
59	2, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58	decma2c 12768	. . . . 5 ⊢ ((;18 · ;13) + ;16) = ;;250
60		9cn 12350	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℂ
61	60	mullidi 11257	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 9) = 9
62	61	oveq1i 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 9) + 7) = (9 + 7)
63		9p7e16 12807	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 7) = ;16
64	62, 63	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 9) + 7) = ;16
65		9t8e72 12843	. . . . . . 7 ⊢ (9 · 8) = ;72
66	60, 39, 65	mulcomli 11261	. . . . . 6 ⊢ (8 · 9) = ;72
67	20, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66	decmul1c 12780	. . . . 5 ⊢ (;18 · 9) = ;;162
68	17, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67	decmul2c 12781	. . . 4 ⊢ (;18 · ;;139) = ;;;2502
69	10, 6	deccl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;;;2502 ∈ ℕ0
70	69	nn0cni 12522	. . . . 5 ⊢ ;;;2502 ∈ ℂ
71	70, 29	pncan3oi 11514	. . . 4 ⊢ ((;;;2502 + 1) − 1) = ;;;2502
72	68, 71	eqtr4i 2759	. . 3 ⊢ (;18 · ;;139) = ((;;;2502 + 1) − 1)
73	15, 72	eqtr4i 2759	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;18 · ;;139)
74	10, 18	deccl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;;;2503 ∈ ℕ0
75	5, 74	eqeltri 2825	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
76	75	nn0cni 12522	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
77		npcan 11507	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
78	76, 29, 77	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
79	78	eqcomi 2737	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
80		1nn 12261	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
81		2nn 12323	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
82	19, 20	deccl 12730	. . . . 5 ⊢ ;;139 ∈ ℕ0
83	82	numexp1 17053	. . . 4 ⊢ (;;139↑1) = ;;139
84	83	oveq2i 7437	. . 3 ⊢ (;18 · (;;139↑1)) = (;18 · ;;139)
85	73, 84	eqtr4i 2759	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;18 · (;;139↑1))
86		8lt10 12847	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
87		1lt10 12854	. . . . 5 ⊢ 1 < ;10
88	80, 18, 2, 87	declti 12753	. . . 4 ⊢ 1 < ;13
89	2, 19, 16, 20, 86, 88	decltc 12744	. . 3 ⊢ ;18 < ;;139
90	89, 83	breqtrri 5179	. 2 ⊢ ;18 < (;;139↑1)
91	5	2503lem2 17114	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
92	5	2503lem3 17115	. 2 ⊢ (((2↑;18) − 1) gcd 𝑁) = 1
93	1, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92	pockthi 16883	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   < clt 11286   − cmin 11482  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  5c5 12308  6c6 12309  7c7 12310  8c8 12311  9c9 12312  ℕ₀cn0 12510  ;cdc 12715  ↑cexp 14066  ℙcprime 16649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-odz 16741  df-phi 16742  df-pc 16813

This theorem is referenced by: (None)