MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503prm 17012
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 16996 . 2 139 ∈ ℙ
2 1nn0 12429 . . 3 1 ∈ ℕ0
3 8nn 12248 . . 3 8 ∈ ℕ
42, 3decnncl 12638 . 2 18 ∈ ℕ
5 2503prm.1 . . . . 5 𝑁 = 2503
6 2nn0 12430 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
7 5nn0 12433 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
86, 7deccl 12633 . . . . . . 7 25 ∈ ℕ0
9 0nn0 12428 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12633 . . . . . 6 250 ∈ ℕ0
11 2p1e3 12295 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
12 eqid 2736 . . . . . 6 2502 = 2502
1310, 6, 11, 12decsuc 12649 . . . . 5 (2502 + 1) = 2503
145, 13eqtr4i 2767 . . . 4 𝑁 = (2502 + 1)
1514oveq1i 7367 . . 3 (𝑁 − 1) = ((2502 + 1) − 1)
16 8nn0 12436 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12633 . . . . 5 18 ∈ ℕ0
18 3nn0 12431 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
192, 18deccl 12633 . . . . 5 13 ∈ ℕ0
20 9nn0 12437 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
21 eqid 2736 . . . . 5 139 = 139
22 6nn0 12434 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
232, 22deccl 12633 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
24 eqid 2736 . . . . . 6 13 = 13
25 eqid 2736 . . . . . 6 16 = 16
26 7nn0 12435 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
27 eqid 2736 . . . . . . 7 18 = 18
28 6cn 12244 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
29 ax-1cn 11109 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
30 6p1e7 12301 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
3128, 29, 30addcomli 11347 . . . . . . . 8 (1 + 6) = 7
3226dec0h 12640 . . . . . . . 8 7 = 07
3331, 32eqtri 2764 . . . . . . 7 (1 + 6) = 07
3429mulid1i 11159 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
3529addid2i 11343 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35oveq12i 7369 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
37 1p1e2 12278 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3836, 37eqtri 2764 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
39 8cn 12250 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
4039mulid1i 11159 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
4140oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + 7) = (8 + 7)
42 8p7e15 12703 . . . . . . . 8 (8 + 7) = 15
4341, 42eqtri 2764 . . . . . . 7 ((8 · 1) + 7) = 15
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 12670 . . . . . 6 ((18 · 1) + (1 + 6)) = 25
4522dec0h 12640 . . . . . . 7 6 = 06
46 3cn 12234 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
4746mulid2i 11160 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
4846addid2i 11343 . . . . . . . . 9 (0 + 3) = 3
4947, 48oveq12i 7369 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
50 3p3e6 12305 . . . . . . . 8 (3 + 3) = 6
5149, 50eqtri 2764 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 3)) = 6
52 4nn0 12432 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
53 8t3e24 12734 . . . . . . . 8 (8 · 3) = 24
54 4cn 12238 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
55 6p4e10 12690 . . . . . . . . 9 (6 + 4) = 10
5628, 54, 55addcomli 11347 . . . . . . . 8 (4 + 6) = 10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 12680 . . . . . . 7 ((8 · 3) + 6) = 30
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 12670 . . . . . 6 ((18 · 3) + 6) = 60
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 12671 . . . . 5 ((18 · 13) + 16) = 250
60 9cn 12253 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℂ
6160mulid2i 11160 . . . . . . . 8 (1 · 9) = 9
6261oveq1i 7367 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 7) = (9 + 7)
63 9p7e16 12710 . . . . . . 7 (9 + 7) = 16
6462, 63eqtri 2764 . . . . . 6 ((1 · 9) + 7) = 16
65 9t8e72 12746 . . . . . . 7 (9 · 8) = 72
6660, 39, 65mulcomli 11164 . . . . . 6 (8 · 9) = 72
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 12683 . . . . 5 (18 · 9) = 162
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 12684 . . . 4 (18 · 139) = 2502
6910, 6deccl 12633 . . . . . 6 2502 ∈ ℕ0
7069nn0cni 12425 . . . . 5 2502 ∈ ℂ
7170, 29pncan3oi 11417 . . . 4 ((2502 + 1) − 1) = 2502
7268, 71eqtr4i 2767 . . 3 (18 · 139) = ((2502 + 1) − 1)
7315, 72eqtr4i 2767 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · 139)
7410, 18deccl 12633 . . . . . 6 2503 ∈ ℕ0
755, 74eqeltri 2834 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
7675nn0cni 12425 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
77 npcan 11410 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7876, 29, 77mp2an 690 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
7978eqcomi 2745 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
80 1nn 12164 . 2 1 ∈ ℕ
81 2nn 12226 . 2 2 ∈ ℕ
8219, 20deccl 12633 . . . . 5 139 ∈ ℕ0
8382numexp1 16949 . . . 4 (139↑1) = 139
8483oveq2i 7368 . . 3 (18 · (139↑1)) = (18 · 139)
8573, 84eqtr4i 2767 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · (139↑1))
86 8lt10 12750 . . . 4 8 < 10
87 1lt10 12757 . . . . 5 1 < 10
8880, 18, 2, 87declti 12656 . . . 4 1 < 13
892, 19, 16, 20, 86, 88decltc 12647 . . 3 18 < 139
9089, 83breqtrri 5132 . 2 18 < (139↑1)
9152503lem2 17010 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
9252503lem3 17011 . 2 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
931, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92pockthi 16779 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cmin 11385  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  5c5 12211  6c6 12212  7c7 12213  8c8 12214  9c9 12215  0cn0 12413  cdc 12618  cexp 13967  cprime 16547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-odz 16637  df-phi 16638  df-pc 16709
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator