Theorem 2503prm 17073

Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2503prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;2503

Assertion

Ref	Expression
2503prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2503prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		139prm 17057	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℙ
2		1nn0 12488	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		8nn 12307	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 12697	. 2 ⊢ ;18 ∈ ℕ
5		2503prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;2503
6		2nn0 12489	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		5nn0 12492	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12692	. . . . . . 7 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
9		0nn0 12487	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12692	. . . . . 6 ⊢ ;;250 ∈ ℕ0
11		2p1e3 12354	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
12		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;;;2502 = ;;;2502
13	10, 6, 11, 12	decsuc 12708	. . . . 5 ⊢ (;;;2502 + 1) = ;;;2503
14	5, 13	eqtr4i 2764	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;2502 + 1)
15	14	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ((;;;2502 + 1) − 1)
16		8nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 12692	. . . . 5 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
18		3nn0 12490	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19	2, 18	deccl 12692	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
20		9nn0 12496	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
21		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;;139 = ;;139
22		6nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23	2, 22	deccl 12692	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
24		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;13 = ;13
25		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		7nn0 12494	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
27		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;18 = ;18
28		6cn 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
29		ax-1cn 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		6p1e7 12360	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
31	28, 29, 30	addcomli 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 6) = 7
32	26	dec0h 12699	. . . . . . . 8 ⊢ 7 = ;07
33	31, 32	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 6) = ;07
34	29	mulridi 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
35	29	addlidi 11402	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
36	34, 35	oveq12i 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
37		1p1e2 12337	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
38	36, 37	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
39		8cn 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
40	39	mulridi 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 1) = 8
41	40	oveq1i 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 · 1) + 7) = (8 + 7)
42		8p7e15 12762	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 7) = ;15
43	41, 42	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((8 · 1) + 7) = ;15
44	2, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43	decmac 12729	. . . . . 6 ⊢ ((;18 · 1) + (1 + 6)) = ;25
45	22	dec0h 12699	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
46		3cn 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
47	46	mullidi 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 3) = 3
48	46	addlidi 11402	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 3) = 3
49	47, 48	oveq12i 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
50		3p3e6 12364	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 3) = 6
51	49, 50	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 3)) = 6
52		4nn0 12491	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
53		8t3e24 12793	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 3) = ;24
54		4cn 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
55		6p4e10 12749	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 4) = ;10
56	28, 54, 55	addcomli 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 6) = ;10
57	6, 52, 22, 53, 11, 56	decaddci2 12739	. . . . . . 7 ⊢ ((8 · 3) + 6) = ;30
58	2, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57	decmac 12729	. . . . . 6 ⊢ ((;18 · 3) + 6) = ;60
59	2, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58	decma2c 12730	. . . . 5 ⊢ ((;18 · ;13) + ;16) = ;;250
60		9cn 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℂ
61	60	mullidi 11219	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 9) = 9
62	61	oveq1i 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 9) + 7) = (9 + 7)
63		9p7e16 12769	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 7) = ;16
64	62, 63	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 9) + 7) = ;16
65		9t8e72 12805	. . . . . . 7 ⊢ (9 · 8) = ;72
66	60, 39, 65	mulcomli 11223	. . . . . 6 ⊢ (8 · 9) = ;72
67	20, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66	decmul1c 12742	. . . . 5 ⊢ (;18 · 9) = ;;162
68	17, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67	decmul2c 12743	. . . 4 ⊢ (;18 · ;;139) = ;;;2502
69	10, 6	deccl 12692	. . . . . 6 ⊢ ;;;2502 ∈ ℕ0
70	69	nn0cni 12484	. . . . 5 ⊢ ;;;2502 ∈ ℂ
71	70, 29	pncan3oi 11476	. . . 4 ⊢ ((;;;2502 + 1) − 1) = ;;;2502
72	68, 71	eqtr4i 2764	. . 3 ⊢ (;18 · ;;139) = ((;;;2502 + 1) − 1)
73	15, 72	eqtr4i 2764	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;18 · ;;139)
74	10, 18	deccl 12692	. . . . . 6 ⊢ ;;;2503 ∈ ℕ0
75	5, 74	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
76	75	nn0cni 12484	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
77		npcan 11469	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
78	76, 29, 77	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
79	78	eqcomi 2742	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
80		1nn 12223	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
81		2nn 12285	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
82	19, 20	deccl 12692	. . . . 5 ⊢ ;;139 ∈ ℕ0
83	82	numexp1 17010	. . . 4 ⊢ (;;139↑1) = ;;139
84	83	oveq2i 7420	. . 3 ⊢ (;18 · (;;139↑1)) = (;18 · ;;139)
85	73, 84	eqtr4i 2764	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;18 · (;;139↑1))
86		8lt10 12809	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
87		1lt10 12816	. . . . 5 ⊢ 1 < ;10
88	80, 18, 2, 87	declti 12715	. . . 4 ⊢ 1 < ;13
89	2, 19, 16, 20, 86, 88	decltc 12706	. . 3 ⊢ ;18 < ;;139
90	89, 83	breqtrri 5176	. 2 ⊢ ;18 < (;;139↑1)
91	5	2503lem2 17071	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
92	5	2503lem3 17072	. 2 ⊢ (((2↑;18) − 1) gcd 𝑁) = 1
93	1, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92	pockthi 16840	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248   − cmin 11444  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  ℕ₀cn0 12472  ;cdc 12677  ↑cexp 14027  ℙcprime 16608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-odz 16698  df-phi 16699  df-pc 16770

This theorem is referenced by: (None)