MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503prm 16465
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 16449 . 2 139 ∈ ℙ
2 1nn0 11901 . . 3 1 ∈ ℕ0
3 8nn 11720 . . 3 8 ∈ ℕ
42, 3decnncl 12106 . 2 18 ∈ ℕ
5 2503prm.1 . . . . 5 𝑁 = 2503
6 2nn0 11902 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
7 5nn0 11905 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
86, 7deccl 12101 . . . . . . 7 25 ∈ ℕ0
9 0nn0 11900 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12101 . . . . . 6 250 ∈ ℕ0
11 2p1e3 11767 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
12 eqid 2798 . . . . . 6 2502 = 2502
1310, 6, 11, 12decsuc 12117 . . . . 5 (2502 + 1) = 2503
145, 13eqtr4i 2824 . . . 4 𝑁 = (2502 + 1)
1514oveq1i 7145 . . 3 (𝑁 − 1) = ((2502 + 1) − 1)
16 8nn0 11908 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12101 . . . . 5 18 ∈ ℕ0
18 3nn0 11903 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
192, 18deccl 12101 . . . . 5 13 ∈ ℕ0
20 9nn0 11909 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
21 eqid 2798 . . . . 5 139 = 139
22 6nn0 11906 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
232, 22deccl 12101 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
24 eqid 2798 . . . . . 6 13 = 13
25 eqid 2798 . . . . . 6 16 = 16
26 7nn0 11907 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
27 eqid 2798 . . . . . . 7 18 = 18
28 6cn 11716 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
29 ax-1cn 10584 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
30 6p1e7 11773 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
3128, 29, 30addcomli 10821 . . . . . . . 8 (1 + 6) = 7
3226dec0h 12108 . . . . . . . 8 7 = 07
3331, 32eqtri 2821 . . . . . . 7 (1 + 6) = 07
3429mulid1i 10634 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
3529addid2i 10817 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35oveq12i 7147 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
37 1p1e2 11750 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3836, 37eqtri 2821 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
39 8cn 11722 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
4039mulid1i 10634 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
4140oveq1i 7145 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + 7) = (8 + 7)
42 8p7e15 12171 . . . . . . . 8 (8 + 7) = 15
4341, 42eqtri 2821 . . . . . . 7 ((8 · 1) + 7) = 15
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 12138 . . . . . 6 ((18 · 1) + (1 + 6)) = 25
4522dec0h 12108 . . . . . . 7 6 = 06
46 3cn 11706 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
4746mulid2i 10635 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
4846addid2i 10817 . . . . . . . . 9 (0 + 3) = 3
4947, 48oveq12i 7147 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
50 3p3e6 11777 . . . . . . . 8 (3 + 3) = 6
5149, 50eqtri 2821 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 3)) = 6
52 4nn0 11904 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
53 8t3e24 12202 . . . . . . . 8 (8 · 3) = 24
54 4cn 11710 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
55 6p4e10 12158 . . . . . . . . 9 (6 + 4) = 10
5628, 54, 55addcomli 10821 . . . . . . . 8 (4 + 6) = 10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 12148 . . . . . . 7 ((8 · 3) + 6) = 30
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 12138 . . . . . 6 ((18 · 3) + 6) = 60
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 12139 . . . . 5 ((18 · 13) + 16) = 250
60 9cn 11725 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℂ
6160mulid2i 10635 . . . . . . . 8 (1 · 9) = 9
6261oveq1i 7145 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 7) = (9 + 7)
63 9p7e16 12178 . . . . . . 7 (9 + 7) = 16
6462, 63eqtri 2821 . . . . . 6 ((1 · 9) + 7) = 16
65 9t8e72 12214 . . . . . . 7 (9 · 8) = 72
6660, 39, 65mulcomli 10639 . . . . . 6 (8 · 9) = 72
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 12151 . . . . 5 (18 · 9) = 162
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 12152 . . . 4 (18 · 139) = 2502
6910, 6deccl 12101 . . . . . 6 2502 ∈ ℕ0
7069nn0cni 11897 . . . . 5 2502 ∈ ℂ
7170, 29pncan3oi 10891 . . . 4 ((2502 + 1) − 1) = 2502
7268, 71eqtr4i 2824 . . 3 (18 · 139) = ((2502 + 1) − 1)
7315, 72eqtr4i 2824 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · 139)
7410, 18deccl 12101 . . . . . 6 2503 ∈ ℕ0
755, 74eqeltri 2886 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
7675nn0cni 11897 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
77 npcan 10884 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7876, 29, 77mp2an 691 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
7978eqcomi 2807 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
80 1nn 11636 . 2 1 ∈ ℕ
81 2nn 11698 . 2 2 ∈ ℕ
8219, 20deccl 12101 . . . . 5 139 ∈ ℕ0
8382numexp1 16403 . . . 4 (139↑1) = 139
8483oveq2i 7146 . . 3 (18 · (139↑1)) = (18 · 139)
8573, 84eqtr4i 2824 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · (139↑1))
86 8lt10 12218 . . . 4 8 < 10
87 1lt10 12225 . . . . 5 1 < 10
8880, 18, 2, 87declti 12124 . . . 4 1 < 13
892, 19, 16, 20, 86, 88decltc 12115 . . 3 18 < 139
9089, 83breqtrri 5057 . 2 18 < (139↑1)
9152503lem2 16463 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
9252503lem3 16464 . 2 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
931, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92pockthi 16233 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2111  (class class class)co 7135  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cmin 10859  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  0cn0 11885  cdc 12086  cexp 13425  cprime 16005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-odz 16092  df-phi 16093  df-pc 16164
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator