MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503prm 16769
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 16753 . 2 139 ∈ ℙ
2 1nn0 12179 . . 3 1 ∈ ℕ0
3 8nn 11998 . . 3 8 ∈ ℕ
42, 3decnncl 12386 . 2 18 ∈ ℕ
5 2503prm.1 . . . . 5 𝑁 = 2503
6 2nn0 12180 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
7 5nn0 12183 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
86, 7deccl 12381 . . . . . . 7 25 ∈ ℕ0
9 0nn0 12178 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12381 . . . . . 6 250 ∈ ℕ0
11 2p1e3 12045 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
12 eqid 2738 . . . . . 6 2502 = 2502
1310, 6, 11, 12decsuc 12397 . . . . 5 (2502 + 1) = 2503
145, 13eqtr4i 2769 . . . 4 𝑁 = (2502 + 1)
1514oveq1i 7265 . . 3 (𝑁 − 1) = ((2502 + 1) − 1)
16 8nn0 12186 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12381 . . . . 5 18 ∈ ℕ0
18 3nn0 12181 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
192, 18deccl 12381 . . . . 5 13 ∈ ℕ0
20 9nn0 12187 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
21 eqid 2738 . . . . 5 139 = 139
22 6nn0 12184 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
232, 22deccl 12381 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
24 eqid 2738 . . . . . 6 13 = 13
25 eqid 2738 . . . . . 6 16 = 16
26 7nn0 12185 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
27 eqid 2738 . . . . . . 7 18 = 18
28 6cn 11994 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
29 ax-1cn 10860 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
30 6p1e7 12051 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
3128, 29, 30addcomli 11097 . . . . . . . 8 (1 + 6) = 7
3226dec0h 12388 . . . . . . . 8 7 = 07
3331, 32eqtri 2766 . . . . . . 7 (1 + 6) = 07
3429mulid1i 10910 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
3529addid2i 11093 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35oveq12i 7267 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
37 1p1e2 12028 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3836, 37eqtri 2766 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
39 8cn 12000 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
4039mulid1i 10910 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
4140oveq1i 7265 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + 7) = (8 + 7)
42 8p7e15 12451 . . . . . . . 8 (8 + 7) = 15
4341, 42eqtri 2766 . . . . . . 7 ((8 · 1) + 7) = 15
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 12418 . . . . . 6 ((18 · 1) + (1 + 6)) = 25
4522dec0h 12388 . . . . . . 7 6 = 06
46 3cn 11984 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
4746mulid2i 10911 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
4846addid2i 11093 . . . . . . . . 9 (0 + 3) = 3
4947, 48oveq12i 7267 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
50 3p3e6 12055 . . . . . . . 8 (3 + 3) = 6
5149, 50eqtri 2766 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 3)) = 6
52 4nn0 12182 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
53 8t3e24 12482 . . . . . . . 8 (8 · 3) = 24
54 4cn 11988 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
55 6p4e10 12438 . . . . . . . . 9 (6 + 4) = 10
5628, 54, 55addcomli 11097 . . . . . . . 8 (4 + 6) = 10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 12428 . . . . . . 7 ((8 · 3) + 6) = 30
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 12418 . . . . . 6 ((18 · 3) + 6) = 60
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 12419 . . . . 5 ((18 · 13) + 16) = 250
60 9cn 12003 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℂ
6160mulid2i 10911 . . . . . . . 8 (1 · 9) = 9
6261oveq1i 7265 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 7) = (9 + 7)
63 9p7e16 12458 . . . . . . 7 (9 + 7) = 16
6462, 63eqtri 2766 . . . . . 6 ((1 · 9) + 7) = 16
65 9t8e72 12494 . . . . . . 7 (9 · 8) = 72
6660, 39, 65mulcomli 10915 . . . . . 6 (8 · 9) = 72
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 12431 . . . . 5 (18 · 9) = 162
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 12432 . . . 4 (18 · 139) = 2502
6910, 6deccl 12381 . . . . . 6 2502 ∈ ℕ0
7069nn0cni 12175 . . . . 5 2502 ∈ ℂ
7170, 29pncan3oi 11167 . . . 4 ((2502 + 1) − 1) = 2502
7268, 71eqtr4i 2769 . . 3 (18 · 139) = ((2502 + 1) − 1)
7315, 72eqtr4i 2769 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · 139)
7410, 18deccl 12381 . . . . . 6 2503 ∈ ℕ0
755, 74eqeltri 2835 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
7675nn0cni 12175 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
77 npcan 11160 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7876, 29, 77mp2an 688 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
7978eqcomi 2747 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
80 1nn 11914 . 2 1 ∈ ℕ
81 2nn 11976 . 2 2 ∈ ℕ
8219, 20deccl 12381 . . . . 5 139 ∈ ℕ0
8382numexp1 16706 . . . 4 (139↑1) = 139
8483oveq2i 7266 . . 3 (18 · (139↑1)) = (18 · 139)
8573, 84eqtr4i 2769 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · (139↑1))
86 8lt10 12498 . . . 4 8 < 10
87 1lt10 12505 . . . . 5 1 < 10
8880, 18, 2, 87declti 12404 . . . 4 1 < 13
892, 19, 16, 20, 86, 88decltc 12395 . . 3 18 < 139
9089, 83breqtrri 5097 . 2 18 < (139↑1)
9152503lem2 16767 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
9252503lem3 16768 . 2 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
931, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92pockthi 16536 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2108  (class class class)co 7255  cc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940  cmin 11135  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  8c8 11964  9c9 11965  0cn0 12163  cdc 12366  cexp 13710  cprime 16304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-odz 16394  df-phi 16395  df-pc 16466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator