MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503prm 17177
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 17161 . 2 139 ∈ ℙ
2 1nn0 12542 . . 3 1 ∈ ℕ0
3 8nn 12361 . . 3 8 ∈ ℕ
42, 3decnncl 12753 . 2 18 ∈ ℕ
5 2503prm.1 . . . . 5 𝑁 = 2503
6 2nn0 12543 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
7 5nn0 12546 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
86, 7deccl 12748 . . . . . . 7 25 ∈ ℕ0
9 0nn0 12541 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12748 . . . . . 6 250 ∈ ℕ0
11 2p1e3 12408 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
12 eqid 2737 . . . . . 6 2502 = 2502
1310, 6, 11, 12decsuc 12764 . . . . 5 (2502 + 1) = 2503
145, 13eqtr4i 2768 . . . 4 𝑁 = (2502 + 1)
1514oveq1i 7441 . . 3 (𝑁 − 1) = ((2502 + 1) − 1)
16 8nn0 12549 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12748 . . . . 5 18 ∈ ℕ0
18 3nn0 12544 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
192, 18deccl 12748 . . . . 5 13 ∈ ℕ0
20 9nn0 12550 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
21 eqid 2737 . . . . 5 139 = 139
22 6nn0 12547 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
232, 22deccl 12748 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
24 eqid 2737 . . . . . 6 13 = 13
25 eqid 2737 . . . . . 6 16 = 16
26 7nn0 12548 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
27 eqid 2737 . . . . . . 7 18 = 18
28 6cn 12357 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
29 ax-1cn 11213 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
30 6p1e7 12414 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
3128, 29, 30addcomli 11453 . . . . . . . 8 (1 + 6) = 7
3226dec0h 12755 . . . . . . . 8 7 = 07
3331, 32eqtri 2765 . . . . . . 7 (1 + 6) = 07
3429mulridi 11265 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
3529addlidi 11449 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
37 1p1e2 12391 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3836, 37eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
39 8cn 12363 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
4039mulridi 11265 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
4140oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + 7) = (8 + 7)
42 8p7e15 12818 . . . . . . . 8 (8 + 7) = 15
4341, 42eqtri 2765 . . . . . . 7 ((8 · 1) + 7) = 15
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 12785 . . . . . 6 ((18 · 1) + (1 + 6)) = 25
4522dec0h 12755 . . . . . . 7 6 = 06
46 3cn 12347 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
4746mullidi 11266 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
4846addlidi 11449 . . . . . . . . 9 (0 + 3) = 3
4947, 48oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
50 3p3e6 12418 . . . . . . . 8 (3 + 3) = 6
5149, 50eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 3)) = 6
52 4nn0 12545 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
53 8t3e24 12849 . . . . . . . 8 (8 · 3) = 24
54 4cn 12351 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
55 6p4e10 12805 . . . . . . . . 9 (6 + 4) = 10
5628, 54, 55addcomli 11453 . . . . . . . 8 (4 + 6) = 10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 12795 . . . . . . 7 ((8 · 3) + 6) = 30
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 12785 . . . . . 6 ((18 · 3) + 6) = 60
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 12786 . . . . 5 ((18 · 13) + 16) = 250
60 9cn 12366 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℂ
6160mullidi 11266 . . . . . . . 8 (1 · 9) = 9
6261oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 7) = (9 + 7)
63 9p7e16 12825 . . . . . . 7 (9 + 7) = 16
6462, 63eqtri 2765 . . . . . 6 ((1 · 9) + 7) = 16
65 9t8e72 12861 . . . . . . 7 (9 · 8) = 72
6660, 39, 65mulcomli 11270 . . . . . 6 (8 · 9) = 72
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 12798 . . . . 5 (18 · 9) = 162
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 12799 . . . 4 (18 · 139) = 2502
6910, 6deccl 12748 . . . . . 6 2502 ∈ ℕ0
7069nn0cni 12538 . . . . 5 2502 ∈ ℂ
7170, 29pncan3oi 11524 . . . 4 ((2502 + 1) − 1) = 2502
7268, 71eqtr4i 2768 . . 3 (18 · 139) = ((2502 + 1) − 1)
7315, 72eqtr4i 2768 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · 139)
7410, 18deccl 12748 . . . . . 6 2503 ∈ ℕ0
755, 74eqeltri 2837 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
7675nn0cni 12538 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
77 npcan 11517 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7876, 29, 77mp2an 692 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
7978eqcomi 2746 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
80 1nn 12277 . 2 1 ∈ ℕ
81 2nn 12339 . 2 2 ∈ ℕ
8219, 20deccl 12748 . . . . 5 139 ∈ ℕ0
8382numexp1 17114 . . . 4 (139↑1) = 139
8483oveq2i 7442 . . 3 (18 · (139↑1)) = (18 · 139)
8573, 84eqtr4i 2768 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · (139↑1))
86 8lt10 12865 . . . 4 8 < 10
87 1lt10 12872 . . . . 5 1 < 10
8880, 18, 2, 87declti 12771 . . . 4 1 < 13
892, 19, 16, 20, 86, 88decltc 12762 . . 3 18 < 139
9089, 83breqtrri 5170 . 2 18 < (139↑1)
9152503lem2 17175 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
9252503lem3 17176 . 2 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
931, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92pockthi 16945 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  0cn0 12526  cdc 12733  cexp 14102  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-pc 16875
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator