MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  readd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem readd 15075
Description: Real part distributes over addition. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
readd ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem readd
StepHypRef Expression
1 recl 15059 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
32recnd 11241 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 ax-icn 11166 . . . . . 6 i โˆˆ โ„‚
5 imcl 15060 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76recnd 11241 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
8 mulcl 11191 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
94, 7, 8sylancr 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
10 recl 15059 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1211recnd 11241 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
13 imcl 15060 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1514recnd 11241 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
16 mulcl 11191 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
174, 15, 16sylancr 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
183, 9, 12, 17add4d 11441 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
19 replim 15065 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
20 replim 15065 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
2119, 20oveqan12d 7421 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
224a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
2322, 7, 15adddid 11237 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
2423oveq2d 7418 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
2518, 21, 243eqtr4d 2774 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ต)))))
2625fveq2d 6886 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + ๐ต)) = (โ„œโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ต))))))
27 readdcl 11190 . . . 4 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
281, 10, 27syl2an 595 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
29 readdcl 11190 . . . 4 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
305, 13, 29syl2an 595 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
31 crre 15063 . . 3 ((((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)))
3228, 30, 31syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)))
3326, 32eqtrd 2764 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  ici 11109   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„œcre 15046  โ„‘cim 15047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050
This theorem is referenced by:  resub  15076  cjadd  15090  readdi  15133  readdd  15163  sqreulem  15308  fsumre  15756  gzaddcl  16875  atanlogsublem  26787
  Copyright terms: Public domain W3C validator