Theorem resub 15087

Description: Real part distributes over subtraction. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
resub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝐵)))

Proof of Theorem resub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11391	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		readd 15086	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + -𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘-𝐵)))
3	1, 2	sylan2 599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + -𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘-𝐵)))
4		reneg 15085	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
6	5	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘-𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + -(ℜ‘𝐵)))
7	3, 6	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + -𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + -(ℜ‘𝐵)))
8		negsub 11440	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
9	8	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + -𝐵)) = (ℜ‘(𝐴 − 𝐵)))
10		recl 15070	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11171	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
12		recl 15070	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11171	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
14		negsub 11440	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + -(ℜ‘𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2an 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + -(ℜ‘𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝐵)))
16	7, 9, 15	3eqtr3d 2783	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   + caddc 11039   − cmin 11375  -cneg 11376  ℜcre 15057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061

This theorem is referenced by:  resubd  15176  recn2  15561  caucvgr  15636  tanregt0  26528  logcnlem4  26634  isosctrlem1  26807  acoscos  26882  acosbnd  26889  atanlogsublem  26904  isosctrlem1ALT  45384