Theorem reccli 11218

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
reccl.2	⊢ 𝐴 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
reccli	⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℂ

Proof of Theorem reccli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccl.2	. 2 ⊢ 𝐴 ≠ 0
2		divclz.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	2	recclzi 11213	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  (class class class)co 7016  ℂcc 10381  0cc0 10383  1c1 10384   / cdiv 11145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146

This theorem is referenced by:  halfcn  11700  halfpm6th  11706  sqrecii  13396  bpoly2  15244  bpoly3  15245  bpoly4  15246  fsumcube  15247  sinhval  15340  cos01bnd  15372  cos1bnd  15373  flodddiv4  15597  dvmptim  24250  tan4thpi  24783  sincos6thpi  24784  sincos3rdpi  24785  1cubrlem  25100  1cubr  25101  cubic  25108  bposlem8  25549  pntibndlem2  25849  ftc1anclem6  34503