Theorem reccli 11956

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
reccl.2	⊢ 𝐴 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
reccli	⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℂ

Proof of Theorem reccli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccl.2	. 2 ⊢ 𝐴 ≠ 0
2		divclz.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	2	recclzi 11951	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℂ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   / cdiv 11882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883

This theorem is used by:  halfcn  12469  halfpm6th  12477  sqrecii  14232  bpoly2  16128  bpoly3  16129  bpoly4  16130  fsumcube  16131  sinhval  16227  cos01bnd  16259  cos1bnd  16260  flodddiv4  16490  dvmptim  26158  tan4thpi  26708  tan4thpiOLD  26709  sincos6thpi  26710  sincos3rdpi  26711  1cubrlem  27035  1cubr  27036  cubic  27043  bposlem8  27484  pntibndlem2  27784  2sqr3minply  34193  2sqr3nconstr  34194  cos9thpiminplylem4  34198  cos9thpinconstrlem2  34203  ftc1anclem6  38382  goldrasin  47652