MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cubic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cubic 26722
Description: The cubic equation, which gives the roots of an arbitrary (nondegenerate) cubic function. Use rextp 4703 to convert the existential quantifier to a triple disjunction. This is Metamath 100 proof #37. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cubic.r ๐‘… = {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)}
cubic.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
cubic.z (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
cubic.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
cubic.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
cubic.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
cubic.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
cubic.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = (((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3)))
cubic.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ = ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘€โ†‘3))))
cubic.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (3 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
cubic.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (((2 ยท (๐ตโ†‘3)) โˆ’ ((9 ยท ๐ด) ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (27 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))))
cubic.0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
cubic (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘3)) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)) = 0 โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘‹ = -(((๐ต + (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) + (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) / (3 ยท ๐ด))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ÿ   ๐ต,๐‘Ÿ   ๐‘€,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘Ÿ   ๐œ‘,๐‘Ÿ   ๐‘‡,๐‘Ÿ   ๐‘‹,๐‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘Ÿ)   ๐ท(๐‘Ÿ)   ๐‘…(๐‘Ÿ)   ๐บ(๐‘Ÿ)

Proof of Theorem cubic
StepHypRef Expression
1 cubic.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 cubic.z . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
3 cubic.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 cubic.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 cubic.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
6 cubic.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
7 cubic.t . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = (((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3)))
8 cubic.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (((2 ยท (๐ตโ†‘3)) โˆ’ ((9 ยท ๐ด) ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (27 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))))
9 2cn 12286 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
10 3nn0 12489 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„•0
11 expcl 14046 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
123, 10, 11sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
13 mulcl 11191 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
149, 12, 13sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
15 9cn 12311 . . . . . . . . . . . 12 9 โˆˆ โ„‚
16 mulcl 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((9 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (9 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1715, 1, 16sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (9 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
183, 4mulcld 11233 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1917, 18mulcld 11233 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((9 ยท ๐ด) ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
2014, 19subcld 11570 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘3)) โˆ’ ((9 ยท ๐ด) ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
21 2nn0 12488 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•0
22 7nn 12303 . . . . . . . . . . . 12 7 โˆˆ โ„•
2321, 22decnncl 12696 . . . . . . . . . . 11 27 โˆˆ โ„•
2423nncni 12221 . . . . . . . . . 10 27 โˆˆ โ„‚
251sqcld 14110 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2625, 5mulcld 11233 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
27 mulcl 11191 . . . . . . . . . 10 ((27 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ (27 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2824, 26, 27sylancr 586 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (27 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2920, 28addcld 11232 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท (๐ตโ†‘3)) โˆ’ ((9 ยท ๐ด) ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (27 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
308, 29eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
31 cubic.g . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ = ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘€โ†‘3))))
3230sqcld 14110 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
33 4cn 12296 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„‚
34 cubic.m . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (3 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
353sqcld 14110 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
36 3cn 12292 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 โˆˆ โ„‚
371, 4mulcld 11233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
38 mulcl 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
3936, 37, 38sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
4035, 39subcld 11570 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (3 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
4134, 40eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
42 expcl 14046 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
4341, 10, 42sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
44 mulcl 11191 . . . . . . . . . . 11 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐‘€โ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
4533, 43, 44sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐‘€โ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
4632, 45subcld 11570 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘€โ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
4731, 46eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
4847sqrtcld 15386 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐บ) โˆˆ โ„‚)
4930, 48addcld 11232 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) โˆˆ โ„‚)
5049halfcld 12456 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2) โˆˆ โ„‚)
51 3ne0 12317 . . . . . 6 3 โ‰  0
5236, 51reccli 11943 . . . . 5 (1 / 3) โˆˆ โ„‚
53 cxpcl 26549 . . . . 5 ((((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3)) โˆˆ โ„‚)
5450, 52, 53sylancl 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3)) โˆˆ โ„‚)
557, 54eqeltrd 2825 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
567oveq1d 7417 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = ((((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3))โ†‘3))
57 3nn 12290 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•
58 cxproot 26565 . . . . 5 ((((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3))โ†‘3) = ((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2))
5950, 57, 58sylancl 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3))โ†‘3) = ((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2))
6056, 59eqtrd 2764 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = ((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2))
6147sqsqrtd 15388 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐บ)โ†‘2) = ๐บ)
6261, 31eqtrd 2764 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐บ)โ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘€โ†‘3))))
639a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6433a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
65 4ne0 12319 . . . . . . . . . 10 4 โ‰  0
6665a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
67 cubic.0 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
68 3z 12594 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„ค
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„ค)
7041, 67, 69expne0d 14118 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘3) โ‰  0)
7164, 43, 66, 70mulne0d 11865 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐‘€โ†‘3)) โ‰  0)
7262oveq2d 7418 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐บ)โ†‘2)) = ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘€โ†‘3)))))
73 subsq 14175 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜๐บ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐บ)โ†‘2)) = ((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) ยท (๐‘ โˆ’ (โˆšโ€˜๐บ))))
7430, 48, 73syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐บ)โ†‘2)) = ((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) ยท (๐‘ โˆ’ (โˆšโ€˜๐บ))))
7532, 45nncand 11575 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘€โ†‘3)))) = (4 ยท (๐‘€โ†‘3)))
7672, 74, 753eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) ยท (๐‘ โˆ’ (โˆšโ€˜๐บ))) = (4 ยท (๐‘€โ†‘3)))
7730, 48subcld 11570 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ (โˆšโ€˜๐บ)) โˆˆ โ„‚)
7877mul02d 11411 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 ยท (๐‘ โˆ’ (โˆšโ€˜๐บ))) = 0)
7971, 76, 783netr4d 3010 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) ยท (๐‘ โˆ’ (โˆšโ€˜๐บ))) โ‰  (0 ยท (๐‘ โˆ’ (โˆšโ€˜๐บ))))
80 oveq1 7409 . . . . . . . 8 ((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) = 0 โ†’ ((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) ยท (๐‘ โˆ’ (โˆšโ€˜๐บ))) = (0 ยท (๐‘ โˆ’ (โˆšโ€˜๐บ))))
8180necon3i 2965 . . . . . . 7 (((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) ยท (๐‘ โˆ’ (โˆšโ€˜๐บ))) โ‰  (0 ยท (๐‘ โˆ’ (โˆšโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) โ‰  0)
8279, 81syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) โ‰  0)
83 2ne0 12315 . . . . . . 7 2 โ‰  0
8483a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
8549, 63, 82, 84divne0d 12005 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2) โ‰  0)
8652a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / 3) โˆˆ โ„‚)
8750, 85, 86cxpne0d 26588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ + (โˆšโ€˜๐บ)) / 2)โ†‘๐‘(1 / 3)) โ‰  0)
887, 87eqnetrd 3000 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
891, 2, 3, 4, 5, 6, 55, 60, 48, 62, 34, 8, 88cubic2 26721 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘3)) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)) = 0 โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = -(((๐ต + (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) + (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) / (3 ยท ๐ด)))))
90 cubic.r . . . . . 6 ๐‘… = {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)}
91901cubr 26715 . . . . 5 (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘Ÿโ†‘3) = 1))
9291anbi1i 623 . . . 4 ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘‹ = -(((๐ต + (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) + (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) / (3 ยท ๐ด))) โ†” ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘Ÿโ†‘3) = 1) โˆง ๐‘‹ = -(((๐ต + (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) + (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) / (3 ยท ๐ด))))
93 anass 468 . . . 4 (((๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘Ÿโ†‘3) = 1) โˆง ๐‘‹ = -(((๐ต + (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) + (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) / (3 ยท ๐ด))) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = -(((๐ต + (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) + (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) / (3 ยท ๐ด)))))
9492, 93bitri 275 . . 3 ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘‹ = -(((๐ต + (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) + (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) / (3 ยท ๐ด))) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = -(((๐ต + (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) + (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) / (3 ยท ๐ด)))))
9594rexbii2 3082 . 2 (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘‹ = -(((๐ต + (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) + (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) / (3 ยท ๐ด)) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = -(((๐ต + (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) + (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) / (3 ยท ๐ด))))
9689, 95bitr4di 289 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘3)) + (๐ต ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((๐ถ ยท ๐‘‹) + ๐ท)) = 0 โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘‹ = -(((๐ต + (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) + (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) / (3 ยท ๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โˆƒwrex 3062  {ctp 4625  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108  ici 11109   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  7c7 12271  9c9 12273  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  cdc 12676  โ†‘cexp 14028  โˆšcsqrt 15182  โ†‘๐‘ccxp 26430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16201  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-limc 25739  df-dv 25740  df-log 26431  df-cxp 26432
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator