MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cubic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cubic 25433
Description: The cubic equation, which gives the roots of an arbitrary (nondegenerate) cubic function. Use rextp 4616 to convert the existential quantifier to a triple disjunction. This is Metamath 100 proof #37. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cubic.r 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
cubic.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
cubic.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
cubic.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
cubic.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
cubic.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
cubic.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
cubic.t (𝜑𝑇 = (((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
cubic.g (𝜑𝐺 = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))))
cubic.m (𝜑𝑀 = ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))))
cubic.n (𝜑𝑁 = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))))
cubic.0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
cubic (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟𝑅 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝜑,𝑟   𝑇,𝑟   𝑋,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝐺(𝑟)

Proof of Theorem cubic
StepHypRef Expression
1 cubic.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cubic.z . . 3 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 cubic.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 cubic.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 cubic.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
6 cubic.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
7 cubic.t . . . 4 (𝜑𝑇 = (((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
8 cubic.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))))
9 2cn 11700 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
10 3nn0 11903 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℕ0
11 expcl 13443 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
123, 10, 11sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
13 mulcl 10610 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐵↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
149, 12, 13sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
15 9cn 11725 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
16 mulcl 10610 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (9 · 𝐴) ∈ ℂ)
1715, 1, 16sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (9 · 𝐴) ∈ ℂ)
183, 4mulcld 10650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
1917, 18mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
2014, 19subcld 10986 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
21 2nn0 11902 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
22 7nn 11717 . . . . . . . . . . . 12 7 ∈ ℕ
2321, 22decnncl 12106 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℕ
2423nncni 11635 . . . . . . . . . 10 27 ∈ ℂ
251sqcld 13504 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
2625, 5mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐷) ∈ ℂ)
27 mulcl 10610 . . . . . . . . . 10 ((27 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐷) ∈ ℂ) → (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
2824, 26, 27sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
2920, 28addcld 10649 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))) ∈ ℂ)
308, 29eqeltrd 2914 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
31 cubic.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))))
3230sqcld 13504 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
33 4cn 11710 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
34 cubic.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 = ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))))
353sqcld 13504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36 3cn 11706 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℂ
371, 4mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
38 mulcl 10610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
3936, 37, 38sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
4035, 39subcld 10986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
4134, 40eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
42 expcl 13443 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
4341, 10, 42sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
44 mulcl 10610 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → (4 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
4533, 43, 44sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
4632, 45subcld 10986 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
4731, 46eqeltrd 2914 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
4847sqrtcld 14788 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘𝐺) ∈ ℂ)
4930, 48addcld 10649 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + (√‘𝐺)) ∈ ℂ)
5049halfcld 11870 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2) ∈ ℂ)
51 3ne0 11731 . . . . . 6 3 ≠ 0
5236, 51reccli 11359 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
53 cxpcl 25263 . . . . 5 ((((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
5450, 52, 53sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
557, 54eqeltrd 2914 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
567oveq1d 7155 . . . 4 (𝜑 → (𝑇↑3) = ((((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3))↑3))
57 3nn 11704 . . . . 5 3 ∈ ℕ
58 cxproot 25279 . . . . 5 ((((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3))↑3) = ((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2))
5950, 57, 58sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3))↑3) = ((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2))
6056, 59eqtrd 2857 . . 3 (𝜑 → (𝑇↑3) = ((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2))
6147sqsqrtd 14790 . . . 4 (𝜑 → ((√‘𝐺)↑2) = 𝐺)
6261, 31eqtrd 2857 . . 3 (𝜑 → ((√‘𝐺)↑2) = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))))
639a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
6433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
65 4ne0 11733 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
6665a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ≠ 0)
67 cubic.0 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≠ 0)
68 3z 12003 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
7041, 67, 69expne0d 13512 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀↑3) ≠ 0)
7164, 43, 66, 70mulne0d 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · (𝑀↑3)) ≠ 0)
7262oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) − ((√‘𝐺)↑2)) = ((𝑁↑2) − ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3)))))
73 subsq 13568 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (√‘𝐺) ∈ ℂ) → ((𝑁↑2) − ((√‘𝐺)↑2)) = ((𝑁 + (√‘𝐺)) · (𝑁 − (√‘𝐺))))
7430, 48, 73syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) − ((√‘𝐺)↑2)) = ((𝑁 + (√‘𝐺)) · (𝑁 − (√‘𝐺))))
7532, 45nncand 10991 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) − ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3)))) = (4 · (𝑀↑3)))
7672, 74, 753eqtr3d 2865 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (√‘𝐺)) · (𝑁 − (√‘𝐺))) = (4 · (𝑀↑3)))
7730, 48subcld 10986 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − (√‘𝐺)) ∈ ℂ)
7877mul02d 10827 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 · (𝑁 − (√‘𝐺))) = 0)
7971, 76, 783netr4d 3088 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + (√‘𝐺)) · (𝑁 − (√‘𝐺))) ≠ (0 · (𝑁 − (√‘𝐺))))
80 oveq1 7147 . . . . . . . 8 ((𝑁 + (√‘𝐺)) = 0 → ((𝑁 + (√‘𝐺)) · (𝑁 − (√‘𝐺))) = (0 · (𝑁 − (√‘𝐺))))
8180necon3i 3043 . . . . . . 7 (((𝑁 + (√‘𝐺)) · (𝑁 − (√‘𝐺))) ≠ (0 · (𝑁 − (√‘𝐺))) → (𝑁 + (√‘𝐺)) ≠ 0)
8279, 81syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + (√‘𝐺)) ≠ 0)
83 2ne0 11729 . . . . . . 7 2 ≠ 0
8483a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
8549, 63, 82, 84divne0d 11421 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2) ≠ 0)
8652a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℂ)
8750, 85, 86cxpne0d 25302 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3)) ≠ 0)
887, 87eqnetrd 3078 . . 3 (𝜑𝑇 ≠ 0)
891, 2, 3, 4, 5, 6, 55, 60, 48, 62, 34, 8, 88cubic2 25432 . 2 (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
90 cubic.r . . . . . 6 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
91901cubr 25426 . . . . 5 (𝑟𝑅 ↔ (𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑟↑3) = 1))
9291anbi1i 626 . . . 4 ((𝑟𝑅𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))) ↔ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑟↑3) = 1) ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
93 anass 472 . . . 4 (((𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑟↑3) = 1) ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))) ↔ (𝑟 ∈ ℂ ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
9492, 93bitri 278 . . 3 ((𝑟𝑅𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))) ↔ (𝑟 ∈ ℂ ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
9594rexbii2 3233 . 2 (∃𝑟𝑅 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
9689, 95syl6bbr 292 1 (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟𝑅 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wrex 3131  {ctp 4543  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  7c7 11685  9c9 11687  0cn0 11885  cz 11969  cdc 12086  cexp 13425  csqrt 14583  𝑐ccxp 25145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-sin 15414  df-cos 15415  df-pi 15417  df-dvds 15599  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25146  df-cxp 25147
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator