Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tan4thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tan4thpi 25034
 Description: The tangent of π / 4. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tan4thpi (tan‘(π / 4)) = 1

Proof of Theorem tan4thpi
StepHypRef Expression
1 pire 24978 . . . . 5 π ∈ ℝ
2 4nn 11714 . . . . 5 4 ∈ ℕ
3 nndivre 11672 . . . . 5 ((π ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (π / 4) ∈ ℝ)
41, 2, 3mp2an 688 . . . 4 (π / 4) ∈ ℝ
54recni 10649 . . 3 (π / 4) ∈ ℂ
6 sincos4thpi 25033 . . . . 5 ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))
76simpri 486 . . . 4 (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8 sqrt2re 15598 . . . . . 6 (√‘2) ∈ ℝ
98recni 10649 . . . . 5 (√‘2) ∈ ℂ
10 2re 11705 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
11 0le2 11733 . . . . . . . 8 0 ≤ 2
12 resqrtth 14610 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2)↑2) = 2)
1310, 11, 12mp2an 688 . . . . . . 7 ((√‘2)↑2) = 2
14 2ne0 11735 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1513, 14eqnetri 3091 . . . . . 6 ((√‘2)↑2) ≠ 0
16 sqne0 13484 . . . . . . 7 ((√‘2) ∈ ℂ → (((√‘2)↑2) ≠ 0 ↔ (√‘2) ≠ 0))
179, 16ax-mp 5 . . . . . 6 (((√‘2)↑2) ≠ 0 ↔ (√‘2) ≠ 0)
1815, 17mpbi 231 . . . . 5 (√‘2) ≠ 0
19 recne0 11305 . . . . 5 (((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0) → (1 / (√‘2)) ≠ 0)
209, 18, 19mp2an 688 . . . 4 (1 / (√‘2)) ≠ 0
217, 20eqnetri 3091 . . 3 (cos‘(π / 4)) ≠ 0
22 tanval 15476 . . 3 (((π / 4) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 4)) ≠ 0) → (tan‘(π / 4)) = ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4))))
235, 21, 22mp2an 688 . 2 (tan‘(π / 4)) = ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4)))
246simpli 484 . . 3 (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
2524, 7oveq12i 7162 . 2 ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4))) = ((1 / (√‘2)) / (1 / (√‘2)))
269, 18reccli 11364 . . 3 (1 / (√‘2)) ∈ ℂ
2726, 20dividi 11367 . 2 ((1 / (√‘2)) / (1 / (√‘2))) = 1
2823, 25, 273eqtri 2853 1 (tan‘(π / 4)) = 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021   class class class wbr 5063  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  4c4 11688  ↑cexp 13424  √csqrt 14587  sincsin 15412  cosccos 15413  tanctan 15414  πcpi 15415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-tan 15420  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399 This theorem is referenced by:  atan1  25438
 Copyright terms: Public domain W3C validator