MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1cubr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cubr 26208
Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1cubr.r ๐‘… = {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)}
Assertion
Ref Expression
1cubr (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘3) = 1))

Proof of Theorem 1cubr
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cubr.r . . . . 5 ๐‘… = {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)}
2 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
3 neg1cn 12274 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„‚
4 ax-icn 11117 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
5 3cn 12241 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„‚
6 sqrtcl 15253 . . . . . . . . . . 11 (3 โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜3) โˆˆ โ„‚)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜3) โˆˆ โ„‚
84, 7mulcli 11169 . . . . . . . . 9 (i ยท (โˆšโ€˜3)) โˆˆ โ„‚
93, 8addcli 11168 . . . . . . . 8 (-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) โˆˆ โ„‚
10 halfcl 12385 . . . . . . . 8 ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚
123, 8subcli 11484 . . . . . . . 8 (-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) โˆˆ โ„‚
13 halfcl 12385 . . . . . . . 8 ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚
152, 11, 143pm3.2i 1340 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚)
162elexi 3467 . . . . . . 7 1 โˆˆ V
17 ovex 7395 . . . . . . 7 ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ V
18 ovex 7395 . . . . . . 7 ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ V
1916, 17, 18tpss 4800 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚) โ†” {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)} โŠ† โ„‚)
2015, 19mpbi 229 . . . . 5 {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)} โŠ† โ„‚
211, 20eqsstri 3983 . . . 4 ๐‘… โŠ† โ„‚
2221sseli 3945 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2322pm4.71ri 562 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘…))
24 3nn 12239 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•
25 cxpeq 26126 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„• โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) = 1 โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›))))
2624, 2, 25mp3an23 1454 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘3) = 1 โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›))))
27 eltpg 4651 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)} โ†” (๐ด = 1 โˆจ ๐ด = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆจ ๐ด = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2))))
281eleq2i 2830 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†” ๐ด โˆˆ {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)})
29 3m1e2 12288 . . . . . . . . . 10 (3 โˆ’ 1) = 2
30 2cn 12235 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
3130addid2i 11350 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
3229, 31eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 (3 โˆ’ 1) = (0 + 2)
3332oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (0...(3 โˆ’ 1)) = (0...(0 + 2))
34 0z 12517 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„ค
35 fztp 13504 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
3733, 36eqtri 2765 . . . . . . 7 (0...(3 โˆ’ 1)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
3837rexeqi 3315 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ {0, (0 + 1), (0 + 2)}๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)))
39 3ne0 12266 . . . . . . . . . . 11 3 โ‰  0
405, 39reccli 11892 . . . . . . . . . 10 (1 / 3) โˆˆ โ„‚
41 1cxp 26043 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1โ†‘๐‘(1 / 3)) = 1)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1โ†‘๐‘(1 / 3)) = 1
4342oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›))
4443eqeq2i 2750 . . . . . . 7 (๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” ๐ด = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)))
4544rexbii 3098 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘› โˆˆ {0, (0 + 1), (0 + 2)}๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ {0, (0 + 1), (0 + 2)}๐ด = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)))
4634elexi 3467 . . . . . . 7 0 โˆˆ V
47 ovex 7395 . . . . . . 7 (0 + 1) โˆˆ V
48 ovex 7395 . . . . . . 7 (0 + 2) โˆˆ V
49 oveq2 7370 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = 0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›) = ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘0))
5030, 5, 39divcli 11904 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 3) โˆˆ โ„‚
51 cxpcl 26045 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 / 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1โ†‘๐‘(2 / 3)) โˆˆ โ„‚)
523, 50, 51mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (-1โ†‘๐‘(2 / 3)) โˆˆ โ„‚
53 exp0 13978 . . . . . . . . . . . 12 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘0) = 1)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘0) = 1
5549, 54eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = 0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›) = 1)
5655oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘› = 0 โ†’ (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = (1 ยท 1))
57 1t1e1 12322 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
5856, 57eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐‘› = 0 โ†’ (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = 1)
5958eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (๐‘› = 0 โ†’ (๐ด = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” ๐ด = 1))
60 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ๐‘› = (0 + 1))
612addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
6260, 61eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ๐‘› = 1)
6362oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›) = ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘1))
64 exp1 13980 . . . . . . . . . . . 12 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘1) = (-1โ†‘๐‘(2 / 3)))
6552, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘1) = (-1โ†‘๐‘(2 / 3))
6663, 65eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›) = (-1โ†‘๐‘(2 / 3)))
6766oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = (1 ยท (-1โ†‘๐‘(2 / 3))))
6852mulid2i 11167 . . . . . . . . . 10 (1 ยท (-1โ†‘๐‘(2 / 3))) = (-1โ†‘๐‘(2 / 3))
69 1cubrlem 26207 . . . . . . . . . . 11 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3)) = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆง ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2) = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2))
7069simpli 485 . . . . . . . . . 10 (-1โ†‘๐‘(2 / 3)) = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)
7168, 70eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (1 ยท (-1โ†‘๐‘(2 / 3))) = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)
7267, 71eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2))
7372eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ (๐ด = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” ๐ด = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)))
74 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = (0 + 2) โ†’ ๐‘› = (0 + 2))
7574, 31eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (0 + 2) โ†’ ๐‘› = 2)
7675oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (0 + 2) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›) = ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2))
7776oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (0 + 2) โ†’ (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2)))
7852sqcli 14092 . . . . . . . . . . 11 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2) โˆˆ โ„‚
7978mulid2i 11167 . . . . . . . . . 10 (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2)) = ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2)
8069simpri 487 . . . . . . . . . 10 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2) = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)
8179, 80eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2)) = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)
8277, 81eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐‘› = (0 + 2) โ†’ (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2))
8382eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (๐‘› = (0 + 2) โ†’ (๐ด = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” ๐ด = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)))
8446, 47, 48, 59, 73, 83rextp 4672 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘› โˆˆ {0, (0 + 1), (0 + 2)}๐ด = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” (๐ด = 1 โˆจ ๐ด = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆจ ๐ด = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)))
8538, 45, 843bitri 297 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” (๐ด = 1 โˆจ ๐ด = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆจ ๐ด = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)))
8627, 28, 853bitr4g 314 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›))))
8726, 86bitr4d 282 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘3) = 1 โ†” ๐ด โˆˆ ๐‘…))
8887pm5.32i 576 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘3) = 1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘…))
8923, 88bitr4i 278 1 (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘3) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ w3o 1087   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   โŠ† wss 3915  {ctp 4595  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  โ„คcz 12506  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  โˆšcsqrt 15125  โ†‘๐‘ccxp 25927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929
This theorem is referenced by:  cubic  26215
  Copyright terms: Public domain W3C validator