Theorem 1cubr 27175

Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1cubr.r	⊢ 𝑅 = {1, (( -1 + (i · (√‘3))) / 2), (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)}

Assertion

Ref	Expression
1cubr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

Proof of Theorem 1cubr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cubr.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {1, (( -1 + (i · (√‘3))) / 2), (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)}
2		ax-1cn 11261	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		neg1cn 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ax-icn 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
5		3cn 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		sqrtcl 15534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℂ → (√‘3) ∈ ℂ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
8	4, 7	mulcli 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
9	3, 8	addcli 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
10		halfcl 12575	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ → (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
12	3, 8	subcli 11637	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ
13		halfcl 12575	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ → (( -1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
15	2, 11, 14	3pm3.2i 1358	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ (( -1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
16	2	elexi 3472	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
17		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
18		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
19	16, 17, 18	tpss 4791	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ (( -1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ) ↔ {1, (( -1 + (i · (√‘3))) / 2), (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ)
20	15, 19	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ {1, (( -1 + (i · (√‘3))) / 2), (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ
21	1, 20	eqsstri 3954	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ ℂ
22	21	sseli 3904	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐴 ∈ ℂ)
23	22	pm4.71ri 570	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑅))
24		3nn 12425	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
25		cxpeq 27090	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
26	24, 2, 25	mp3an23 1482	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
27		eltpg 4643	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {1, (( -1 + (i · (√‘3))) / 2), (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)} ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2))))
28	1	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ {1, (( -1 + (i · (√‘3))) / 2), (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)})
29		3m1e2 12473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 − 1) = 2
30		2cn 12421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
31	30	addlidi 11501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
32	29, 31	eqtr4i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
33	32	oveq2i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
34		0z 12707	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
35		fztp 13717	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
37	33, 36	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (0...(3 − 1)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
38	37	rexeqi 3318	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
39		3ne0 12455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
40	5, 39	reccli 12050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
41		1cxp 27005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℂ → (1↑𝑐(1 / 3)) = 1)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑𝑐(1 / 3)) = 1
43	42	oveq1i 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))
44	43	eqeq2i 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
45	44	rexbii 3109	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
46	34	elexi 3472	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
47		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) ∈ V
48		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) ∈ V
49		oveq2 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 0 → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑0))
50	30, 5, 39	divcli 12062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
51		cxpcl 27007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → ( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
52	3, 50, 51	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
53		exp0 14211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1
55	49, 54	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = 1)
56	55	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · 1))
57		1t1e1 12507	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
58	56, 57	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = 1)
59	58	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = 1))
60		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = (0 + 1))
61	2	addlidi 11501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
62	60, 61	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = 1)
63	62	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑1))
64		exp1 14213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ( -1↑𝑐(2 / 3)))
65	52, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ( -1↑𝑐(2 / 3))
66	63, 65	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ( -1↑𝑐(2 / 3)))
67	66	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ( -1↑𝑐(2 / 3))))
68	52	mullidi 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · ( -1↑𝑐(2 / 3))) = ( -1↑𝑐(2 / 3))
69		1cubrlem 27174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3)) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2))
70	69	simpli 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -1↑𝑐(2 / 3)) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)
71	68, 70	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · ( -1↑𝑐(2 / 3))) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)
72	67, 71	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2))
73	72	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (𝐴 = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)))
74		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = (0 + 2))
75	74, 31	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = 2)
76	75	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2))
77	76	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2)))
78	52	sqcli 14327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2) ∈ ℂ
79	78	mullidi 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2)
80	69	simpri 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)
81	79, 80	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)
82	77, 81	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2))
83	82	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (𝐴 = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)))
84	46, 47, 48, 59, 73, 83	rextp 4663	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)))
85	38, 45, 84	3bitri 300	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)))
86	27, 28, 85	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
87	26, 86	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ 𝐴 ∈ 𝑅))
88	87	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑅))
89	23, 88	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  {ctp 4588  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204  ici 11205   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  3c3 12401  ℤcz 12696  ...cfz 13642  ↑cexp 14207  √csqrt 15405  ↑_𝑐ccxp 26888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192  df-log 26889  df-cxp 26890

This theorem is used by:  cubic  27182