Theorem 1cubr 26752

Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1cubr.r	⊢ 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}

Assertion

Ref	Expression
1cubr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

Proof of Theorem 1cubr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cubr.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
2		ax-1cn 11126	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		neg1cn 12171	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ax-icn 11127	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
5		3cn 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		sqrtcl 15328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℂ → (√‘3) ∈ ℂ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
8	4, 7	mulcli 11181	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
9	3, 8	addcli 11180	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
10		halfcl 12408	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ → ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
12	3, 8	subcli 11498	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ
13		halfcl 12408	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ → ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
15	2, 11, 14	3pm3.2i 1340	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
16	2	elexi 3470	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
17		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
18		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
19	16, 17, 18	tpss 4801	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ) ↔ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ)
20	15, 19	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ
21	1, 20	eqsstri 3993	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ ℂ
22	21	sseli 3942	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐴 ∈ ℂ)
23	22	pm4.71ri 560	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑅))
24		3nn 12265	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
25		cxpeq 26667	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
26	24, 2, 25	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
27		eltpg 4650	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))))
28	1	eleq2i 2820	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)})
29		3m1e2 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 − 1) = 2
30		2cn 12261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
31	30	addlidi 11362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
32	29, 31	eqtr4i 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
33	32	oveq2i 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
34		0z 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
35		fztp 13541	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
37	33, 36	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (0...(3 − 1)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
38	37	rexeqi 3298	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
39		3ne0 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
40	5, 39	reccli 11912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
41		1cxp 26581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℂ → (1↑𝑐(1 / 3)) = 1)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑𝑐(1 / 3)) = 1
43	42	oveq1i 7397	. . . . . . . 8 ⊢ ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))
44	43	eqeq2i 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
45	44	rexbii 3076	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
46	34	elexi 3470	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
47		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) ∈ V
48		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) ∈ V
49		oveq2 7395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0))
50	30, 5, 39	divcli 11924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
51		cxpcl 26583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
52	3, 50, 51	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
53		exp0 14030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1
55	49, 54	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = 1)
56	55	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · 1))
57		1t1e1 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
58	56, 57	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = 1)
59	58	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = 1))
60		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = (0 + 1))
61	2	addlidi 11362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
62	60, 61	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = 1)
63	62	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1))
64		exp1 14032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
65	52, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
66	63, 65	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
67	66	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))))
68	52	mullidi 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))) = (-1↑𝑐(2 / 3))
69		1cubrlem 26751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
70	69	simpli 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
71	68, 70	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
72	67, 71	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
73	72	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)))
74		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = (0 + 2))
75	74, 31	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = 2)
76	75	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2))
77	76	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)))
78	52	sqcli 14146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) ∈ ℂ
79	78	mullidi 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
80	69	simpri 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
81	79, 80	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
82	77, 81	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
83	82	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
84	46, 47, 48, 59, 73, 83	rextp 4670	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
85	38, 45, 84	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
86	27, 28, 85	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
87	26, 86	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ 𝐴 ∈ 𝑅))
88	87	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑅))
89	23, 88	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  {ctp 4593  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069  ici 11070   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  ℤcz 12529  ...cfz 13468  ↑cexp 14026  √csqrt 15199  ↑_𝑐ccxp 26464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-cxp 26466

This theorem is referenced by:  cubic  26759