MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1cubr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cubr 26347
Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1cubr.r ๐‘… = {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)}
Assertion
Ref Expression
1cubr (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘3) = 1))

Proof of Theorem 1cubr
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cubr.r . . . . 5 ๐‘… = {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)}
2 ax-1cn 11168 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
3 neg1cn 12326 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„‚
4 ax-icn 11169 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
5 3cn 12293 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„‚
6 sqrtcl 15308 . . . . . . . . . . 11 (3 โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜3) โˆˆ โ„‚)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜3) โˆˆ โ„‚
84, 7mulcli 11221 . . . . . . . . 9 (i ยท (โˆšโ€˜3)) โˆˆ โ„‚
93, 8addcli 11220 . . . . . . . 8 (-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) โˆˆ โ„‚
10 halfcl 12437 . . . . . . . 8 ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚
123, 8subcli 11536 . . . . . . . 8 (-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) โˆˆ โ„‚
13 halfcl 12437 . . . . . . . 8 ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚
152, 11, 143pm3.2i 1340 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚)
162elexi 3494 . . . . . . 7 1 โˆˆ V
17 ovex 7442 . . . . . . 7 ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ V
18 ovex 7442 . . . . . . 7 ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ V
1916, 17, 18tpss 4839 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆˆ โ„‚) โ†” {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)} โŠ† โ„‚)
2015, 19mpbi 229 . . . . 5 {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)} โŠ† โ„‚
211, 20eqsstri 4017 . . . 4 ๐‘… โŠ† โ„‚
2221sseli 3979 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2322pm4.71ri 562 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘…))
24 3nn 12291 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•
25 cxpeq 26265 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„• โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) = 1 โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›))))
2624, 2, 25mp3an23 1454 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘3) = 1 โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›))))
27 eltpg 4690 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)} โ†” (๐ด = 1 โˆจ ๐ด = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆจ ๐ด = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2))))
281eleq2i 2826 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†” ๐ด โˆˆ {1, ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2), ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)})
29 3m1e2 12340 . . . . . . . . . 10 (3 โˆ’ 1) = 2
30 2cn 12287 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
3130addlidi 11402 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
3229, 31eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 (3 โˆ’ 1) = (0 + 2)
3332oveq2i 7420 . . . . . . . 8 (0...(3 โˆ’ 1)) = (0...(0 + 2))
34 0z 12569 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„ค
35 fztp 13557 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
3733, 36eqtri 2761 . . . . . . 7 (0...(3 โˆ’ 1)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
3837rexeqi 3325 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ {0, (0 + 1), (0 + 2)}๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)))
39 3ne0 12318 . . . . . . . . . . 11 3 โ‰  0
405, 39reccli 11944 . . . . . . . . . 10 (1 / 3) โˆˆ โ„‚
41 1cxp 26180 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1โ†‘๐‘(1 / 3)) = 1)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1โ†‘๐‘(1 / 3)) = 1
4342oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›))
4443eqeq2i 2746 . . . . . . 7 (๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” ๐ด = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)))
4544rexbii 3095 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘› โˆˆ {0, (0 + 1), (0 + 2)}๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ {0, (0 + 1), (0 + 2)}๐ด = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)))
4634elexi 3494 . . . . . . 7 0 โˆˆ V
47 ovex 7442 . . . . . . 7 (0 + 1) โˆˆ V
48 ovex 7442 . . . . . . 7 (0 + 2) โˆˆ V
49 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = 0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›) = ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘0))
5030, 5, 39divcli 11956 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 3) โˆˆ โ„‚
51 cxpcl 26182 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 / 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1โ†‘๐‘(2 / 3)) โˆˆ โ„‚)
523, 50, 51mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (-1โ†‘๐‘(2 / 3)) โˆˆ โ„‚
53 exp0 14031 . . . . . . . . . . . 12 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘0) = 1)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘0) = 1
5549, 54eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = 0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›) = 1)
5655oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘› = 0 โ†’ (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = (1 ยท 1))
57 1t1e1 12374 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
5856, 57eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐‘› = 0 โ†’ (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = 1)
5958eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (๐‘› = 0 โ†’ (๐ด = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” ๐ด = 1))
60 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ๐‘› = (0 + 1))
612addlidi 11402 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
6260, 61eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ๐‘› = 1)
6362oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›) = ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘1))
64 exp1 14033 . . . . . . . . . . . 12 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘1) = (-1โ†‘๐‘(2 / 3)))
6552, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘1) = (-1โ†‘๐‘(2 / 3))
6663, 65eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›) = (-1โ†‘๐‘(2 / 3)))
6766oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = (1 ยท (-1โ†‘๐‘(2 / 3))))
6852mullidi 11219 . . . . . . . . . 10 (1 ยท (-1โ†‘๐‘(2 / 3))) = (-1โ†‘๐‘(2 / 3))
69 1cubrlem 26346 . . . . . . . . . . 11 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3)) = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆง ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2) = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2))
7069simpli 485 . . . . . . . . . 10 (-1โ†‘๐‘(2 / 3)) = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)
7168, 70eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (1 ยท (-1โ†‘๐‘(2 / 3))) = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)
7267, 71eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2))
7372eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ (๐ด = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” ๐ด = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)))
74 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = (0 + 2) โ†’ ๐‘› = (0 + 2))
7574, 31eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (0 + 2) โ†’ ๐‘› = 2)
7675oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (0 + 2) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›) = ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2))
7776oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (0 + 2) โ†’ (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2)))
7852sqcli 14145 . . . . . . . . . . 11 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2) โˆˆ โ„‚
7978mullidi 11219 . . . . . . . . . 10 (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2)) = ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2)
8069simpri 487 . . . . . . . . . 10 ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2) = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)
8179, 80eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘2)) = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)
8277, 81eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐‘› = (0 + 2) โ†’ (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2))
8382eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (๐‘› = (0 + 2) โ†’ (๐ด = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” ๐ด = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)))
8446, 47, 48, 59, 73, 83rextp 4711 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘› โˆˆ {0, (0 + 1), (0 + 2)}๐ด = (1 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” (๐ด = 1 โˆจ ๐ด = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆจ ๐ด = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)))
8538, 45, 843bitri 297 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›)) โ†” (๐ด = 1 โˆจ ๐ด = ((-1 + (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2) โˆจ ๐ด = ((-1 โˆ’ (i ยท (โˆšโ€˜3))) / 2)))
8627, 28, 853bitr4g 314 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))๐ด = ((1โ†‘๐‘(1 / 3)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / 3))โ†‘๐‘›))))
8726, 86bitr4d 282 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘3) = 1 โ†” ๐ด โˆˆ ๐‘…))
8887pm5.32i 576 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘3) = 1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘…))
8923, 88bitr4i 278 1 (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘3) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ w3o 1087   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071   โŠ† wss 3949  {ctp 4633  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  โˆšcsqrt 15180  โ†‘๐‘ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  cubic  26354
  Copyright terms: Public domain W3C validator