Theorem 1cubr 27203

Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1cubr.r	⊢ 𝑅 = {1, (( -1 + (i · (√‘3))) / 2), (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)}

Assertion

Ref	Expression
1cubr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

Proof of Theorem 1cubr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cubr.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {1, (( -1 + (i · (√‘3))) / 2), (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)}
2		ax-1cn 11288	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		neg1cn 12335	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ax-icn 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
5		3cn 12454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		sqrtcl 15561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℂ → (√‘3) ∈ ℂ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
8	4, 7	mulcli 11346	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
9	3, 8	addcli 11345	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
10		halfcl 12602	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ → (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
12	3, 8	subcli 11664	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ
13		halfcl 12602	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ → (( -1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
15	2, 11, 14	3pm3.2i 1358	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ (( -1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
16	2	elexi 3476	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
17		ovex 7479	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
18		ovex 7479	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
19	16, 17, 18	tpss 4795	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ (( -1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ) ↔ {1, (( -1 + (i · (√‘3))) / 2), (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ)
20	15, 19	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ {1, (( -1 + (i · (√‘3))) / 2), (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ
21	1, 20	eqsstri 3959	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ ℂ
22	21	sseli 3909	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐴 ∈ ℂ)
23	22	pm4.71ri 570	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑅))
24		3nn 12452	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
25		cxpeq 27118	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
26	24, 2, 25	mp3an23 1483	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
27		eltpg 4647	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {1, (( -1 + (i · (√‘3))) / 2), (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)} ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2))))
28	1	eleq2i 2856	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ {1, (( -1 + (i · (√‘3))) / 2), (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)})
29		3m1e2 12500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 − 1) = 2
30		2cn 12448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
31	30	addlidi 11528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
32	29, 31	eqtr4i 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
33	32	oveq2i 7457	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
34		0z 12734	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
35		fztp 13744	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
37	33, 36	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (0...(3 − 1)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
38	37	rexeqi 3322	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
39		3ne0 12482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
40	5, 39	reccli 12077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
41		1cxp 27033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℂ → (1↑𝑐(1 / 3)) = 1)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑𝑐(1 / 3)) = 1
43	42	oveq1i 7456	. . . . . . . 8 ⊢ ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))
44	43	eqeq2i 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
45	44	rexbii 3113	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
46	34	elexi 3476	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
47		ovex 7479	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) ∈ V
48		ovex 7479	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) ∈ V
49		oveq2 7454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 0 → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑0))
50	30, 5, 39	divcli 12089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
51		cxpcl 27035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → ( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
52	3, 50, 51	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
53		exp0 14238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1
55	49, 54	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = 1)
56	55	oveq2d 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · 1))
57		1t1e1 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
58	56, 57	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = 1)
59	58	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = 1))
60		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = (0 + 1))
61	2	addlidi 11528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
62	60, 61	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = 1)
63	62	oveq2d 7462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑1))
64		exp1 14240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ( -1↑𝑐(2 / 3)))
65	52, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ( -1↑𝑐(2 / 3))
66	63, 65	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ( -1↑𝑐(2 / 3)))
67	66	oveq2d 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ( -1↑𝑐(2 / 3))))
68	52	mullidi 11344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · ( -1↑𝑐(2 / 3))) = ( -1↑𝑐(2 / 3))
69		1cubrlem 27202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3)) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2))
70	69	simpli 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -1↑𝑐(2 / 3)) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)
71	68, 70	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · ( -1↑𝑐(2 / 3))) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)
72	67, 71	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2))
73	72	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (𝐴 = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)))
74		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = (0 + 2))
75	74, 31	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = 2)
76	75	oveq2d 7462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2))
77	76	oveq2d 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2)))
78	52	sqcli 14354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2) ∈ ℂ
79	78	mullidi 11344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2)
80	69	simpri 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)
81	79, 80	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)
82	77, 81	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2))
83	82	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (𝐴 = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)))
84	46, 47, 48, 59, 73, 83	rextp 4667	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)))
85	38, 45, 84	3bitri 300	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)))
86	27, 28, 85	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · (( -1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
87	26, 86	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ 𝐴 ∈ 𝑅))
88	87	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑅))
89	23, 88	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  {ctp 4592  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230  1c1 11231  ici 11232   + caddc 11233   · cmul 11235   − cmin 11571   -cneg 11572   / cdiv 12003  ℕcn 12365  2c2 12427  3c3 12428  ℤcz 12723  ...cfz 13669  ↑cexp 14234  √csqrt 15432  ↑_𝑐ccxp 26916

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ioc 13511  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-ef 16265  df-sin 16267  df-cos 16268  df-pi 16270  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-lp 23487  df-perf 23488  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-limc 26219  df-dv 26220  df-log 26917  df-cxp 26918

This theorem is used by:  cubic  27210