Theorem 1cubr 26780

Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1cubr.r	⊢ 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}

Assertion

Ref	Expression
1cubr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

Proof of Theorem 1cubr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cubr.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
2		ax-1cn 11064	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		neg1cn 12110	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ax-icn 11065	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
5		3cn 12206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		sqrtcl 15269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℂ → (√‘3) ∈ ℂ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
8	4, 7	mulcli 11119	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
9	3, 8	addcli 11118	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
10		halfcl 12347	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ → ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
12	3, 8	subcli 11437	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ
13		halfcl 12347	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ → ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
15	2, 11, 14	3pm3.2i 1340	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
16	2	elexi 3459	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
17		ovex 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
18		ovex 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
19	16, 17, 18	tpss 4789	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ) ↔ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ)
20	15, 19	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ
21	1, 20	eqsstri 3981	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ ℂ
22	21	sseli 3930	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐴 ∈ ℂ)
23	22	pm4.71ri 560	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑅))
24		3nn 12204	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
25		cxpeq 26695	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
26	24, 2, 25	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
27		eltpg 4639	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))))
28	1	eleq2i 2823	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)})
29		3m1e2 12248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 − 1) = 2
30		2cn 12200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
31	30	addlidi 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
32	29, 31	eqtr4i 2757	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
33	32	oveq2i 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
34		0z 12479	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
35		fztp 13480	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
37	33, 36	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ (0...(3 − 1)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
38	37	rexeqi 3291	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
39		3ne0 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
40	5, 39	reccli 11851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
41		1cxp 26609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℂ → (1↑𝑐(1 / 3)) = 1)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑𝑐(1 / 3)) = 1
43	42	oveq1i 7356	. . . . . . . 8 ⊢ ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))
44	43	eqeq2i 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
45	44	rexbii 3079	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
46	34	elexi 3459	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
47		ovex 7379	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) ∈ V
48		ovex 7379	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) ∈ V
49		oveq2 7354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0))
50	30, 5, 39	divcli 11863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
51		cxpcl 26611	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
52	3, 50, 51	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
53		exp0 13972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1
55	49, 54	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = 1)
56	55	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · 1))
57		1t1e1 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
58	56, 57	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = 1)
59	58	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = 1))
60		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = (0 + 1))
61	2	addlidi 11301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
62	60, 61	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = 1)
63	62	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1))
64		exp1 13974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
65	52, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
66	63, 65	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
67	66	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))))
68	52	mullidi 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))) = (-1↑𝑐(2 / 3))
69		1cubrlem 26779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
70	69	simpli 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
71	68, 70	eqtri 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
72	67, 71	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
73	72	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)))
74		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = (0 + 2))
75	74, 31	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = 2)
76	75	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2))
77	76	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)))
78	52	sqcli 14088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) ∈ ℂ
79	78	mullidi 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
80	69	simpri 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
81	79, 80	eqtri 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
82	77, 81	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
83	82	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
84	46, 47, 48, 59, 73, 83	rextp 4659	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
85	38, 45, 84	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
86	27, 28, 85	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
87	26, 86	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ 𝐴 ∈ 𝑅))
88	87	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑅))
89	23, 88	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902  {ctp 4580  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007  ici 11008   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  -cneg 11345   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  3c3 12181  ℤcz 12468  ...cfz 13407  ↑cexp 13968  √csqrt 15140  ↑_𝑐ccxp 26492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-psmet 21284  df-xmet 21285  df-met 21286  df-bl 21287  df-mopn 21288  df-fbas 21289  df-fg 21290  df-cnfld 21293  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-log 26493  df-cxp 26494

This theorem is referenced by:  cubic  26787