Theorem ressprdsds 24690

Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressprdsds.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
ressprdsds.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
ressprdsds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
ressprdsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
ressprdsds.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
ressprdsds.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
ressprdsds.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
ressprdsds.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
ressprdsds.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑋)
ressprdsds.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ressprdsds	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem ressprdsds

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 7586	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
3		ressprdsds.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑍)
4		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
5		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
6	4, 5	ressds 17581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑍 → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
7	3, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
8	7	oveqd 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥)) = ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥)))
9	8	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))))
10	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))))
11	10	rneqd 5920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))))
12	11	uneq1d 4114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
13	12	supeq1d 9438	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
14		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
15		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
16		ressprdsds.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑈)
18		ressprdsds.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
20		ressprdsds.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑋)
21	20	ralrimiva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
22	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
23		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	4, 23	ressbasss 17417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
26	25	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
27		ss2ixp 8938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
29		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))) = (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))
30		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
31		ressprdsds.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
32		ovex 7453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
33	32	rgenw 3081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V)
35		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
36	29, 30, 31, 18, 34, 35	prdsbas3 17652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
37	14, 15, 16, 18, 21, 23	prdsbas3 17652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
38	28, 36, 37	3sstr4d 3986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
39		ressprdsds.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
40		ressprdsds.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
41	40	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
42	39, 41	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
43		ressprdsds.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
44	43	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
45	38, 42, 44	3sstr4d 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
46	45	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
47	44	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
48	46, 47	sseqtrd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
49		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
50	48, 49	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
51		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
52	48, 51	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
53		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
54	14, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53	prdsdsval2 17655	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
55	31	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ∈ 𝑉)
56	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V)
57	42	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
58	49, 57	eleqtrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
59	51, 57	eleqtrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
60		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))
61		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
62	29, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61	prdsdsval2 17655	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
63	13, 54, 62	3eqtr4d 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))𝑔))
64		ressprdsds.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
65	43	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
66	64, 65	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
67	66	oveqdr 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔))
68		ressprdsds.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
69	40	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝐻) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
70	68, 69	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
71	70	oveqdr 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))𝑔))
72	63, 67, 71	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓𝐸𝑔))
73	2, 72	eqtr2d 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
74	73	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
75	18	mptexd 7230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ V)
76		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))
77	32, 76	dmmpti 6683	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) = 𝐼
78	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) = 𝐼)
79	29, 31, 75, 30, 78, 61	prdsdsfn 17636	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))))
80	42	sqxpeqd 5683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))))
81	70, 80	fneq12d 6634	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))))
82	79, 81	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵))
83	18	mptexd 7230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) ∈ V)
84		dmmptg 6243	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
85	21, 84	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
86	14, 16, 83, 15, 85, 53	prdsdsfn 17636	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
87	44	sqxpeqd 5683	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) = ((Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
88	66, 87	fneq12d 6634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ↔ (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))))
89	86, 88	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
90		xpss12 5666	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑌) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌)) → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
91	45, 45, 90	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
92		fnssres 6662	. . . 4 ⊢ ((𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
93	89, 91, 92	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
94		eqfnov2 7550	. . 3 ⊢ ((𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
95	82, 93, 94	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
96	74, 95	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Xcixp 8925  supcsup 9432  0cc0 11200  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  distcds 17437  X_scprds 17616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-prds 17618

This theorem is used by:  resspwsds  24691  prdsbnd2  38729