Theorem ressprdsds 24528

Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressprdsds.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
ressprdsds.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
ressprdsds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
ressprdsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
ressprdsds.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
ressprdsds.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
ressprdsds.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
ressprdsds.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
ressprdsds.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑋)
ressprdsds.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ressprdsds	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem ressprdsds

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 7576	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
2	1	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
3		ressprdsds.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑍)
4		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
5		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
6	4, 5	ressds 17458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑍 → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
7	3, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
8	7	oveqd 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥)) = ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥)))
9	8	mpteq2dva 5204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))))
10	9	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))))
11	10	rneqd 5928	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))))
12	11	uneq1d 4121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
13	12	supeq1d 9402	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
16		ressprdsds.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑈)
18		ressprdsds.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
19	18	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
20		ressprdsds.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑋)
21	20	ralrimiva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
22	21	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
23		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	4, 23	ressbasss 17294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
26	25	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
27		ss2ixp 8904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
29		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))) = (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))
30		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
31		ressprdsds.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
32		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
33	32	rgenw 3083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V)
35		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
36	29, 30, 31, 18, 34, 35	prdsbas3 17529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
37	14, 15, 16, 18, 21, 23	prdsbas3 17529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
38	28, 36, 37	3sstr4d 3992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
39		ressprdsds.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
40		ressprdsds.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
41	40	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
42	39, 41	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
43		ressprdsds.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
44	43	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
45	38, 42, 44	3sstr4d 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
46	45	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
47	44	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
48	46, 47	sseqtrd 3973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
49		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
50	48, 49	sseldd 3938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
51		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
52	48, 51	sseldd 3938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
53		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
54	14, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53	prdsdsval2 17532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
55	31	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ∈ 𝑉)
56	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V)
57	42	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
58	49, 57	eleqtrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
59	51, 57	eleqtrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
60		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))
61		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
62	29, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61	prdsdsval2 17532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
63	13, 54, 62	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))𝑔))
64		ressprdsds.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
65	43	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
66	64, 65	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
67	66	oveqdr 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔))
68		ressprdsds.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
69	40	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝐻) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
70	68, 69	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
71	70	oveqdr 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))𝑔))
72	63, 67, 71	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓𝐸𝑔))
73	2, 72	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
74	73	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
75	18	mptexd 7222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ V)
76		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))
77	32, 76	dmmpti 6679	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) = 𝐼
78	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) = 𝐼)
79	29, 31, 75, 30, 78, 61	prdsdsfn 17513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))))
80	42	sqxpeqd 5693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))))
81	70, 80	fneq12d 6630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))))
82	79, 81	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵))
83	18	mptexd 7222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) ∈ V)
84		dmmptg 6243	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
85	21, 84	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
86	14, 16, 83, 15, 85, 53	prdsdsfn 17513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
87	44	sqxpeqd 5693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) = ((Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
88	66, 87	fneq12d 6630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ↔ (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))))
89	86, 88	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
90		xpss12 5676	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑌) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌)) → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
91	45, 45, 90	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
92		fnssres 6658	. . . 4 ⊢ ((𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
93	89, 91, 92	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
94		eqfnov2 7540	. . 3 ⊢ ((𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
95	82, 93, 94	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
96	74, 95	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {csn 4589   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  dom cdm 5661  ran crn 5662   ↾ cres 5663   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Xcixp 8891  supcsup 9396  0cc0 11095  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  distcds 17314  X_scprds 17493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-prds 17495

This theorem is referenced by:  resspwsds  24529  prdsbnd2  38446