MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressprdsds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ressprdsds 23877
Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressprdsds.y (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
ressprdsds.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))
ressprdsds.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
ressprdsds.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
ressprdsds.e 𝐸 = (distβ€˜π»)
ressprdsds.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
ressprdsds.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
ressprdsds.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
ressprdsds.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
ressprdsds.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍)
Assertion
Ref Expression
ressprdsds (πœ‘ β†’ 𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝑇(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem ressprdsds
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 7573 . . . . 5 ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
21adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
3 ressprdsds.a . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍)
4 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 β†Ύs 𝐴) = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘…)
64, 5ressds 17355 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ 𝑍 β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
73, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
87oveqd 7426 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯)))
98mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))))
109adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))))
1110rneqd 5938 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))))
1211uneq1d 4163 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) = (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
1312supeq1d 9441 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
14 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
16 ressprdsds.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
1716adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
18 ressprdsds.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
1918adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
20 ressprdsds.r . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
2120ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
2221adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
23 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
244, 23ressbasss 17183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2625ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
27 ss2ixp 8904 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…))
29 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))) = (𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) = (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))
31 ressprdsds.t . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
32 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ V
3332rgenw 3066 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))
3629, 30, 31, 18, 34, 35prdsbas3 17427 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
3714, 15, 16, 18, 21, 23prdsbas3 17427 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…))
3828, 36, 373sstr4d 4030 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) βŠ† (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
39 ressprdsds.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
40 ressprdsds.h . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))
4140fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
4239, 41eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
43 ressprdsds.y . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
4443fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
4538, 42, 443sstr4d 4030 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4645adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4744adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
4846, 47sseqtrd 4023 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
49 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
5048, 49sseldd 3984 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
51 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
5248, 51sseldd 3984 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
53 eqid 2733 . . . . . . 7 (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
5414, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53prdsdsval2 17430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓(distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
5531adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
5633a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
5742adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
5849, 57eleqtrd 2836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
5951, 57eleqtrd 2836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
60 eqid 2733 . . . . . . 7 (distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))
61 eqid 2733 . . . . . . 7 (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) = (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))
6229, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61prdsdsval2 17430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓(distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))𝑔) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
6313, 54, 623eqtr4d 2783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓(distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = (𝑓(distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))𝑔))
64 ressprdsds.d . . . . . . 7 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
6543fveq2d 6896 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
6664, 65eqtrid 2785 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
6766oveqdr 7437 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓(distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔))
68 ressprdsds.e . . . . . . 7 𝐸 = (distβ€˜π»)
6940fveq2d 6896 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π») = (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
7068, 69eqtrid 2785 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
7170oveqdr 7437 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))𝑔))
7263, 67, 713eqtr4d 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓𝐸𝑔))
732, 72eqtr2d 2774 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
7473ralrimivva 3201 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
7518mptexd 7226 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)) ∈ V)
76 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))
7732, 76dmmpti 6695 . . . . . 6 dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)) = 𝐼
7877a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)) = 𝐼)
7929, 31, 75, 30, 78, 61prdsdsfn 17411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Fn ((Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Γ— (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))))
8042sqxpeqd 5709 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = ((Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Γ— (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))))
8170, 80fneq12d 6645 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ↔ (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Fn ((Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Γ— (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))))
8279, 81mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
8318mptexd 7226 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) ∈ V)
84 dmmptg 6242 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
8521, 84syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
8614, 16, 83, 15, 85, 53prdsdsfn 17411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Γ— (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
8744sqxpeqd 5709 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)) = ((Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Γ— (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
8866, 87fneq12d 6645 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐷 Fn ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)) ↔ (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Γ— (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))))
8986, 88mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)))
90 xpss12 5692 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)))
9145, 45, 90syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)))
92 fnssres 6674 . . . 4 ((𝐷 Fn ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
9389, 91, 92syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
94 eqfnov2 7539 . . 3 ((𝐸 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ (𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔)))
9582, 93, 94syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔)))
9674, 95mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Xcixp 8891  supcsup 9435  0cc0 11110  β„*cxr 11247   < clt 11248  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  distcds 17206  Xscprds 17391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-prds 17393
This theorem is referenced by:  resspwsds  23878  prdsbnd2  36663
  Copyright terms: Public domain W3C validator