MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressprdsds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressprdsds 22956
Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressprdsds.y (𝜑𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))
ressprdsds.h (𝜑𝐻 = (𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
ressprdsds.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
ressprdsds.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
ressprdsds.e 𝐸 = (dist‘𝐻)
ressprdsds.s (𝜑𝑆𝑈)
ressprdsds.t (𝜑𝑇𝑉)
ressprdsds.i (𝜑𝐼𝑊)
ressprdsds.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑋)
ressprdsds.a ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴𝑍)
Assertion
Ref Expression
ressprdsds (𝜑𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem ressprdsds
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 7289 . . . . 5 ((𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
21adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
3 ressprdsds.a . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴𝑍)
4 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅s 𝐴) = (𝑅s 𝐴)
5 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
64, 5ressds 16664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑍 → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅s 𝐴)))
73, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅s 𝐴)))
87oveqd 7147 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥)))
98mpteq2dva 5134 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))))
109adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))))
1110rneqd 5781 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))))
1211uneq1d 4114 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
1312supeq1d 8886 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
14 eqid 2821 . . . . . . 7 (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)) = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
15 eqid 2821 . . . . . . 7 (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))
16 ressprdsds.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑈)
1716adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑆𝑈)
18 ressprdsds.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑊)
1918adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑊)
20 ressprdsds.r . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑋)
2120ralrimiva 3170 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
2221adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
23 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
244, 23ressbasss 16534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅)
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
2625ralrimiva 3170 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
27 ss2ixp 8449 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅) → X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)) ⊆ X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
29 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))) = (𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))
30 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
31 ressprdsds.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇𝑉)
32 ovex 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅s 𝐴) ∈ V
3332rgenw 3138 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐼 (𝑅s 𝐴) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝑅s 𝐴) ∈ V)
35 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑅s 𝐴)) = (Base‘(𝑅s 𝐴))
3629, 30, 31, 18, 34, 35prdsbas3 16732 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) = X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅s 𝐴)))
3714, 15, 16, 18, 21, 23prdsbas3 16732 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) = X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
3828, 36, 373sstr4d 3990 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
39 ressprdsds.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐻)
40 ressprdsds.h . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 = (𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
4140fveq2d 6647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
4239, 41syl5eq 2868 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
43 ressprdsds.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))
4443fveq2d 6647 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
4538, 42, 443sstr4d 3990 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
4645adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
4744adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
4846, 47sseqtrd 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
49 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
5048, 49sseldd 3944 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
51 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
5248, 51sseldd 3944 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
53 eqid 2821 . . . . . . 7 (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))
5414, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53prdsdsval2 16735 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
5531adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑇𝑉)
5633a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑅s 𝐴) ∈ V)
5742adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
5849, 57eleqtrd 2914 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
5951, 57eleqtrd 2914 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
60 eqid 2821 . . . . . . 7 (dist‘(𝑅s 𝐴)) = (dist‘(𝑅s 𝐴))
61 eqid 2821 . . . . . . 7 (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
6229, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61prdsdsval2 16735 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅s 𝐴))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
6313, 54, 623eqtr4d 2866 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))𝑔))
64 ressprdsds.d . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘𝑌)
6543fveq2d 6647 . . . . . . 7 (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
6664, 65syl5eq 2868 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))
6766oveqdr 7158 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))𝑔))
68 ressprdsds.e . . . . . . 7 𝐸 = (dist‘𝐻)
6940fveq2d 6647 . . . . . . 7 (𝜑 → (dist‘𝐻) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
7068, 69syl5eq 2868 . . . . . 6 (𝜑𝐸 = (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))
7170oveqdr 7158 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))𝑔))
7263, 67, 713eqtr4d 2866 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓𝐸𝑔))
732, 72eqtr2d 2857 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
7473ralrimivva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
7518mptexd 6960 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) ∈ V)
76 eqid 2821 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))
7732, 76dmmpti 6465 . . . . . 6 dom (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) = 𝐼
7877a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)) = 𝐼)
7929, 31, 75, 30, 78, 61prdsdsfn 16716 . . . 4 (𝜑 → (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))))
8042sqxpeqd 5560 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))))
8170, 80fneq12d 6421 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (dist‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))))))
8279, 81mpbird 260 . . 3 (𝜑𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵))
8318mptexd 6960 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) ∈ V)
84 dmmptg 6069 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → dom (𝑥𝐼𝑅) = 𝐼)
8521, 84syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑥𝐼𝑅) = 𝐼)
8614, 16, 83, 15, 85, 53prdsdsfn 16716 . . . . 5 (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))))
8744sqxpeqd 5560 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) = ((Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)))))
8866, 87fneq12d 6421 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ↔ (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))))))
8986, 88mpbird 260 . . . 4 (𝜑𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
90 xpss12 5543 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑌) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌)) → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
9145, 45, 90syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
92 fnssres 6443 . . . 4 ((𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
9389, 91, 92syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
94 eqfnov2 7255 . . 3 ((𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
9582, 93, 94syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
9674, 95mpbird 260 1 (𝜑𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  Vcvv 3471  cun 3908  wss 3910  {csn 4540  cmpt 5119   × cxp 5526  dom cdm 5528  ran crn 5529  cres 5530   Fn wfn 6323  cfv 6328  (class class class)co 7130  Xcixp 8436  supcsup 8880  0cc0 10514  *cxr 10651   < clt 10652  Basecbs 16461  s cress 16462  distcds 16552  Xscprds 16697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-hom 16567  df-cco 16568  df-prds 16699
This theorem is referenced by:  resspwsds  22957  prdsbnd2  35111
  Copyright terms: Public domain W3C validator