Theorem ressprdsds 24310

Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressprdsds.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
ressprdsds.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
ressprdsds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
ressprdsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
ressprdsds.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
ressprdsds.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
ressprdsds.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
ressprdsds.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
ressprdsds.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑋)
ressprdsds.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ressprdsds	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem ressprdsds

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 7573	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
3		ressprdsds.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑍)
4		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
5		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
6	4, 5	ressds 17424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑍 → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (dist‘𝑅) = (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
8	7	oveqd 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥)) = ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥)))
9	8	mpteq2dva 5214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))))
11	10	rneqd 5918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))))
12	11	uneq1d 4142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
13	12	supeq1d 9458	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
14		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
15		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
16		ressprdsds.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑈)
18		ressprdsds.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
20		ressprdsds.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑋)
21	20	ralrimiva 3132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
23		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	4, 23	ressbasss 17260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
26	25	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅))
27		ss2ixp 8924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝑅) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ⊆ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
29		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))) = (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))
30		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
31		ressprdsds.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
32		ovex 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
33	32	rgenw 3055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V)
35		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
36	29, 30, 31, 18, 34, 35	prdsbas3 17495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
37	14, 15, 16, 18, 21, 23	prdsbas3 17495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
38	28, 36, 37	3sstr4d 4014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
39		ressprdsds.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
40		ressprdsds.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
41	40	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
42	39, 41	eqtrid 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
43		ressprdsds.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
44	43	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
45	38, 42, 44	3sstr4d 4014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌))
47	44	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
48	46, 47	sseqtrd 3995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
49		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
50	48, 49	sseldd 3959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
51		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
52	48, 51	sseldd 3959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
53		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
54	14, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53	prdsdsval2 17498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
55	31	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ∈ 𝑉)
56	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V)
57	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
58	49, 57	eleqtrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
59	51, 57	eleqtrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
60		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))
61		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
62	29, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61	prdsdsval2 17498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅 ↾s 𝐴))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
63	13, 54, 62	3eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))𝑔))
64		ressprdsds.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
65	43	fveq2d 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
66	64, 65	eqtrid 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
67	66	oveqdr 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔))
68		ressprdsds.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
69	40	fveq2d 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝐻) = (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
70	68, 69	eqtrid 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))
71	70	oveqdr 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))𝑔))
72	63, 67, 71	3eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓𝐸𝑔))
73	2, 72	eqtr2d 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
74	73	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
75	18	mptexd 7216	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ V)
76		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))
77	32, 76	dmmpti 6682	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) = 𝐼
78	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)) = 𝐼)
79	29, 31, 75, 30, 78, 61	prdsdsfn 17479	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))))
80	42	sqxpeqd 5686	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))))
81	70, 80	fneq12d 6633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (dist‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) Fn ((Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))) × (Base‘(𝑇Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))))))
82	79, 81	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵))
83	18	mptexd 7216	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) ∈ V)
84		dmmptg 6231	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
85	21, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
86	14, 16, 83, 15, 85, 53	prdsdsfn 17479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
87	44	sqxpeqd 5686	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) = ((Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
88	66, 87	fneq12d 6633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ↔ (dist‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) × (Base‘(𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))))
89	86, 88	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
90		xpss12 5669	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑌) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑌)) → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
91	45, 45, 90	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
92		fnssres 6661	. . . 4 ⊢ ((𝐷 Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
93	89, 91, 92	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
94		eqfnov2 7537	. . 3 ⊢ ((𝐸 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
95	82, 93, 94	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑔)))
96	74, 95	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ∪ cun 3924   ⊆ wss 3926  {csn 4601   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  dom cdm 5654  ran crn 5655   ↾ cres 5656   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Xcixp 8911  supcsup 9452  0cc0 11129  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  distcds 17280  X_scprds 17459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-prds 17461

This theorem is referenced by:  resspwsds  24311  prdsbnd2  37819