MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressprdsds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ressprdsds 23868
Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressprdsds.y (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
ressprdsds.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))
ressprdsds.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
ressprdsds.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
ressprdsds.e 𝐸 = (distβ€˜π»)
ressprdsds.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
ressprdsds.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
ressprdsds.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
ressprdsds.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
ressprdsds.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍)
Assertion
Ref Expression
ressprdsds (πœ‘ β†’ 𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝑇(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem ressprdsds
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 7569 . . . . 5 ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
21adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
3 ressprdsds.a . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍)
4 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 β†Ύs 𝐴) = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘…)
64, 5ressds 17351 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ 𝑍 β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
73, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
87oveqd 7422 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯)))
98mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))))
109adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))))
1110rneqd 5935 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))))
1211uneq1d 4161 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) = (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
1312supeq1d 9437 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
14 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
16 ressprdsds.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
18 ressprdsds.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
20 ressprdsds.r . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
2120ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
244, 23ressbasss 17179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2625ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
27 ss2ixp 8900 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…))
29 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))) = (𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) = (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))
31 ressprdsds.t . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
32 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ V
3332rgenw 3065 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))
3629, 30, 31, 18, 34, 35prdsbas3 17423 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
3714, 15, 16, 18, 21, 23prdsbas3 17423 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…))
3828, 36, 373sstr4d 4028 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) βŠ† (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
39 ressprdsds.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
40 ressprdsds.h . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))
4140fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
4239, 41eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
43 ressprdsds.y . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
4443fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
4538, 42, 443sstr4d 4028 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4744adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
4846, 47sseqtrd 4021 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
49 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
5048, 49sseldd 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
51 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
5248, 51sseldd 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
53 eqid 2732 . . . . . . 7 (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
5414, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53prdsdsval2 17426 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓(distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
5531adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
5633a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
5742adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
5849, 57eleqtrd 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
5951, 57eleqtrd 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
60 eqid 2732 . . . . . . 7 (distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))
61 eqid 2732 . . . . . . 7 (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) = (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))
6229, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61prdsdsval2 17426 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓(distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))𝑔) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
6313, 54, 623eqtr4d 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓(distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = (𝑓(distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))𝑔))
64 ressprdsds.d . . . . . . 7 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
6543fveq2d 6892 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
6664, 65eqtrid 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
6766oveqdr 7433 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓(distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔))
68 ressprdsds.e . . . . . . 7 𝐸 = (distβ€˜π»)
6940fveq2d 6892 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π») = (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
7068, 69eqtrid 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
7170oveqdr 7433 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))𝑔))
7263, 67, 713eqtr4d 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓𝐸𝑔))
732, 72eqtr2d 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
7473ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
7518mptexd 7222 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)) ∈ V)
76 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))
7732, 76dmmpti 6691 . . . . . 6 dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)) = 𝐼
7877a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)) = 𝐼)
7929, 31, 75, 30, 78, 61prdsdsfn 17407 . . . 4 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Fn ((Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Γ— (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))))
8042sqxpeqd 5707 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = ((Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Γ— (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))))
8170, 80fneq12d 6641 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ↔ (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Fn ((Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Γ— (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))))
8279, 81mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
8318mptexd 7222 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) ∈ V)
84 dmmptg 6238 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
8521, 84syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
8614, 16, 83, 15, 85, 53prdsdsfn 17407 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Γ— (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
8744sqxpeqd 5707 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)) = ((Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Γ— (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
8866, 87fneq12d 6641 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐷 Fn ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)) ↔ (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Γ— (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))))
8986, 88mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)))
90 xpss12 5690 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)))
9145, 45, 90syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)))
92 fnssres 6670 . . . 4 ((𝐷 Fn ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
9389, 91, 92syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
94 eqfnov2 7535 . . 3 ((𝐸 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ (𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔)))
9582, 93, 94syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔)))
9674, 95mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6535  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Xcixp 8887  supcsup 9431  0cc0 11106  β„*cxr 11243   < clt 11244  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  distcds 17202  Xscprds 17387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-prds 17389
This theorem is referenced by:  resspwsds  23869  prdsbnd2  36651
  Copyright terms: Public domain W3C validator