MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressprdsds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ressprdsds 23884
Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressprdsds.y (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
ressprdsds.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))
ressprdsds.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
ressprdsds.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
ressprdsds.e 𝐸 = (distβ€˜π»)
ressprdsds.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
ressprdsds.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
ressprdsds.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
ressprdsds.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
ressprdsds.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍)
Assertion
Ref Expression
ressprdsds (πœ‘ β†’ 𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝑇(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem ressprdsds
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 7575 . . . . 5 ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
21adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔) = (𝑓𝐷𝑔))
3 ressprdsds.a . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍)
4 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 β†Ύs 𝐴) = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘…)
64, 5ressds 17357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ 𝑍 β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
73, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
87oveqd 7428 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯)))
98mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))))
109adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))))
1110rneqd 5937 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))))
1211uneq1d 4162 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) = (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
1312supeq1d 9443 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
14 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
16 ressprdsds.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
18 ressprdsds.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
20 ressprdsds.r . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
2120ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
244, 23ressbasss 17185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2625ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
27 ss2ixp 8906 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…))
29 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))) = (𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) = (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))
31 ressprdsds.t . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
32 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ V
3332rgenw 3065 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))
3629, 30, 31, 18, 34, 35prdsbas3 17429 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
3714, 15, 16, 18, 21, 23prdsbas3 17429 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…))
3828, 36, 373sstr4d 4029 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) βŠ† (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
39 ressprdsds.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
40 ressprdsds.h . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))
4140fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
4239, 41eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
43 ressprdsds.y . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
4443fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
4538, 42, 443sstr4d 4029 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4744adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
4846, 47sseqtrd 4022 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
49 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
5048, 49sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
51 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
5248, 51sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
53 eqid 2732 . . . . . . 7 (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
5414, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53prdsdsval2 17432 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓(distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
5531adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
5633a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
5742adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
5849, 57eleqtrd 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
5951, 57eleqtrd 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
60 eqid 2732 . . . . . . 7 (distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))
61 eqid 2732 . . . . . . 7 (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) = (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))
6229, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61prdsdsval2 17432 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓(distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))𝑔) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(distβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
6313, 54, 623eqtr4d 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓(distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔) = (𝑓(distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))𝑔))
64 ressprdsds.d . . . . . . 7 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
6543fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
6664, 65eqtrid 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))
6766oveqdr 7439 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓(distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))𝑔))
68 ressprdsds.e . . . . . . 7 𝐸 = (distβ€˜π»)
6940fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π») = (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
7068, 69eqtrid 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))
7170oveqdr 7439 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))𝑔))
7263, 67, 713eqtr4d 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓𝐸𝑔))
732, 72eqtr2d 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
7473ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
7518mptexd 7228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)) ∈ V)
76 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))
7732, 76dmmpti 6694 . . . . . 6 dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)) = 𝐼
7877a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)) = 𝐼)
7929, 31, 75, 30, 78, 61prdsdsfn 17413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Fn ((Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Γ— (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))))
8042sqxpeqd 5708 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = ((Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Γ— (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴))))))
8170, 80fneq12d 6644 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ↔ (distβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Fn ((Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))) Γ— (Baseβ€˜(𝑇Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 β†Ύs 𝐴)))))))
8279, 81mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
8318mptexd 7228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) ∈ V)
84 dmmptg 6241 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
8521, 84syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
8614, 16, 83, 15, 85, 53prdsdsfn 17413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Γ— (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
8744sqxpeqd 5708 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)) = ((Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Γ— (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))))
8866, 87fneq12d 6644 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐷 Fn ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)) ↔ (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Fn ((Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))) Γ— (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))))))
8986, 88mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)))
90 xpss12 5691 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)))
9145, 45, 90syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)))
92 fnssres 6673 . . . 4 ((𝐷 Fn ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† ((Baseβ€˜π‘Œ) Γ— (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
9389, 91, 92syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
94 eqfnov2 7541 . . 3 ((𝐸 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ (𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔)))
9582, 93, 94syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐸𝑔) = (𝑓(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔)))
9674, 95mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Xcixp 8893  supcsup 9437  0cc0 11112  β„*cxr 11249   < clt 11250  Basecbs 17146   β†Ύs cress 17175  distcds 17208  Xscprds 17393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-prds 17395
This theorem is referenced by:  resspwsds  23885  prdsbnd2  36749
  Copyright terms: Public domain W3C validator