MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem resspsrvsca 21927
Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
resspsr.u π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
resspsr.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
resspsrvsca ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Œ))
Proof of Theorem resspsrvsca
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspsr.u . . 3 π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2 eqid 2728 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
3 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
4 resspsr.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2728 . . 3 (.rβ€˜π») = (.rβ€˜π»)
6 eqid 2728 . . 3 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
7 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑇)
8 resspsr.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
98adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
10 resspsr.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
1110subrgbas 20527 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
129, 11syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
137, 12eleqtrd 2831 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
14 simprr 771 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14psrvsca 21899 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π»)π‘Œ))
16 resspsr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
17 eqid 2728 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
18 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
19 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
20 eqid 2728 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2118subrgss 20518 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
229, 21syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2322, 7sseldd 3983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
24 resspsr.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
2516, 10, 1, 4, 24, 8resspsrbas 21924 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
2624, 19ressbasss 17226 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†)
2725, 26eqsstrdi 4036 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
2827adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
2928, 14sseldd 3983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3016, 17, 18, 19, 20, 6, 23, 29psrvsca 21899 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘†)π‘Œ) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π‘…)π‘Œ))
3110, 20ressmulr 17295 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π»))
32 ofeq 7694 . . . . 5 ((.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π») β†’ ∘f (.rβ€˜π‘…) = ∘f (.rβ€˜π»))
339, 31, 323syl 18 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ∘f (.rβ€˜π‘…) = ∘f (.rβ€˜π»))
3433oveqd 7443 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π‘…)π‘Œ) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π»)π‘Œ))
3530, 34eqtrd 2768 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘†)π‘Œ) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π»)π‘Œ))
364fvexi 6916 . . . 4 𝐡 ∈ V
3724, 17ressvsca 17332 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ))
3836, 37mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ))
3938oveqd 7443 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘†)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Œ))
4015, 35, 393eqtr2d 2774 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  {csn 4632   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  .rcmulr 17241   ·𝑠 cvsca 17244  SubRingcsubrg 20513   mPwSer cmps 21844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-tset 17259  df-subg 19085  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-psr 21849
This theorem is referenced by:  ressmplvsca  21976
  Copyright terms: Public domain W3C validator