Theorem resspsrvsca 21997

Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspsr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
resspsr.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
resspsr.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
resspsrvsca	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsrvsca

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspsr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
4		resspsr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝐻) = (.r‘𝐻)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑇)
8		resspsr.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
10		resspsr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11	10	subrgbas 20581	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
13	7, 12	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
14		simprr 773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14	psrvsca 21969	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝐻)𝑌))
16		resspsr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	18	subrgss 20572	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
22	9, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
23	22, 7	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
24		resspsr.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
25	16, 10, 1, 4, 24, 8	resspsrbas 21994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
26	24, 19	ressbasss 17284	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑆)
27	25, 26	eqsstrdi 4028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
29	28, 14	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
30	16, 17, 18, 19, 20, 6, 23, 29	psrvsca 21969	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌))
31	10, 20	ressmulr 17351	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐻))
32		ofeq 7700	. . . . 5 ⊢ ((.r‘𝑅) = (.r‘𝐻) → ∘f (.r‘𝑅) = ∘f (.r‘𝐻))
33	9, 31, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∘f (.r‘𝑅) = ∘f (.r‘𝐻))
34	33	oveqd 7448	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝐻)𝑌))
35	30, 34	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝐻)𝑌))
36	4	fvexi 6920	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
37	24, 17	ressvsca 17388	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
38	36, 37	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
39	38	oveqd 7448	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))
40	15, 35, 39	3eqtr2d 2783	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  {csn 4626   × cxp 5683  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17298   ·_𝑠 cvsca 17301  SubRingcsubrg 20569   mPwSer cmps 21924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-subg 19141  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-psr 21929

This theorem is referenced by:  ressmplvsca  22049