Theorem resspsrvsca 22284

Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspsr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
resspsr.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
resspsr.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
resspsrvsca	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsrvsca

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspsr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
4		resspsr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘𝐻) = (.r‘𝐻)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑇)
8		resspsr.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
10		resspsr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11	10	subrgbas 20833	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
13	7, 12	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
14		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14	psrvsca 22257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝐻)𝑌))
16		resspsr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
18		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	18	subrgss 20824	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
22	9, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
23	22, 7	sseldd 3909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
24		resspsr.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
25	16, 10, 1, 4, 24, 8	resspsrbas 22281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
26	24, 19	ressbasss 17417	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑆)
27	25, 26	eqsstrdi 3952	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
29	28, 14	sseldd 3909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
30	16, 17, 18, 19, 20, 6, 23, 29	psrvsca 22257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌))
31	10, 20	ressmulr 17478	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐻))
32		ofeq 7696	. . . . 5 ⊢ ((.r‘𝑅) = (.r‘𝐻) → ∘f (.r‘𝑅) = ∘f (.r‘𝐻))
33	9, 31, 32	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∘f (.r‘𝑅) = ∘f (.r‘𝐻))
34	33	oveqd 7437	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝐻)𝑌))
35	30, 34	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝐻)𝑌))
36	4	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
37	24, 17	ressvsca 17515	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
38	36, 37	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
39	38	oveqd 7437	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))
40	15, 35, 39	3eqtr2d 2801	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {csn 4583   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  ._rcmulr 17429   ·_𝑠 cvsca 17432  SubRingcsubrg 20821   mPwSer cmps 22212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-tset 17447  df-subg 19333  df-ring 20461  df-subrg 20822  df-psr 22217

This theorem is used by:  ressmplvsca  22339