Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspsrvsca 20654
 Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
resspsr.u 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
resspsr.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
resspsrvsca ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsrvsca
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspsr.u . . 3 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2 eqid 2822 . . 3 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
3 eqid 2822 . . 3 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
4 resspsr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑈)
5 eqid 2822 . . 3 (.r𝐻) = (.r𝐻)
6 eqid 2822 . . 3 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → 𝑋𝑇)
8 resspsr.2 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
10 resspsr.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
1110subrgbas 19535 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
129, 11syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
137, 12eleqtrd 2916 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
14 simprr 772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14psrvsca 20627 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r𝐻)𝑌))
16 resspsr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
17 eqid 2822 . . . 4 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
18 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20 eqid 2822 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2118subrgss 19527 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
229, 21syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
2322, 7sseldd 3943 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
24 resspsr.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
2516, 10, 1, 4, 24, 8resspsrbas 20651 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
2624, 19ressbasss 16547 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑆)
2725, 26eqsstrdi 3996 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
2827adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
2928, 14sseldd 3943 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
3016, 17, 18, 19, 20, 6, 23, 29psrvsca 20627 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑆)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r𝑅)𝑌))
3110, 20ressmulr 16616 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝐻))
32 ofeq 7396 . . . . 5 ((.r𝑅) = (.r𝐻) → ∘f (.r𝑅) = ∘f (.r𝐻))
339, 31, 323syl 18 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → ∘f (.r𝑅) = ∘f (.r𝐻))
3433oveqd 7157 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r𝑅)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r𝐻)𝑌))
3530, 34eqtrd 2857 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑆)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r𝐻)𝑌))
364fvexi 6666 . . . 4 𝐵 ∈ V
3724, 17ressvsca 16642 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑃))
3836, 37mp1i 13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑃))
3938oveqd 7157 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑆)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))
4015, 35, 393eqtr2d 2863 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3134  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908  {csn 4539   × cxp 5530  ◡ccnv 5531   “ cima 5535  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∘f cof 7392   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  .rcmulr 16557   ·𝑠 cvsca 16560  SubRingcsubrg 19522   mPwSer cmps 20587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-tset 16575  df-subg 18267  df-ring 19290  df-subrg 19524  df-psr 20592 This theorem is referenced by:  ressmplvsca  20697
 Copyright terms: Public domain W3C validator