MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspsrvsca 21410
Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
resspsr.u π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
resspsr.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
resspsrvsca ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Œ))

Proof of Theorem resspsrvsca
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspsr.u . . 3 π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2 eqid 2733 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
3 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
4 resspsr.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2733 . . 3 (.rβ€˜π») = (.rβ€˜π»)
6 eqid 2733 . . 3 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
7 simprl 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑇)
8 resspsr.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
98adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
10 resspsr.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
1110subrgbas 20273 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
129, 11syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
137, 12eleqtrd 2836 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
14 simprr 772 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14psrvsca 21382 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π»)π‘Œ))
16 resspsr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
17 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
18 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
19 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
20 eqid 2733 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2118subrgss 20265 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
229, 21syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2322, 7sseldd 3949 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
24 resspsr.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
2516, 10, 1, 4, 24, 8resspsrbas 21407 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
2624, 19ressbasss 17129 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†)
2725, 26eqsstrdi 4002 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
2827adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
2928, 14sseldd 3949 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3016, 17, 18, 19, 20, 6, 23, 29psrvsca 21382 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘†)π‘Œ) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π‘…)π‘Œ))
3110, 20ressmulr 17196 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π»))
32 ofeq 7624 . . . . 5 ((.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π») β†’ ∘f (.rβ€˜π‘…) = ∘f (.rβ€˜π»))
339, 31, 323syl 18 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ∘f (.rβ€˜π‘…) = ∘f (.rβ€˜π»))
3433oveqd 7378 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π‘…)π‘Œ) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π»)π‘Œ))
3530, 34eqtrd 2773 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘†)π‘Œ) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π»)π‘Œ))
364fvexi 6860 . . . 4 𝐡 ∈ V
3724, 17ressvsca 17233 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ))
3836, 37mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ))
3938oveqd 7378 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘†)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Œ))
4015, 35, 393eqtr2d 2779 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  {csn 4590   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  .rcmulr 17142   ·𝑠 cvsca 17145  SubRingcsubrg 20260   mPwSer cmps 21329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-tset 17160  df-subg 18933  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-psr 21334
This theorem is referenced by:  ressmplvsca  21455
  Copyright terms: Public domain W3C validator