MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem resspsrvsca 21880
Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
resspsr.u π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
resspsr.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
resspsrvsca ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Œ))
Proof of Theorem resspsrvsca
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspsr.u . . 3 π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2 eqid 2726 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
3 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
4 resspsr.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2726 . . 3 (.rβ€˜π») = (.rβ€˜π»)
6 eqid 2726 . . 3 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
7 simprl 768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑇)
8 resspsr.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
98adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
10 resspsr.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
1110subrgbas 20483 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
129, 11syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
137, 12eleqtrd 2829 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
14 simprr 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14psrvsca 21852 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π»)π‘Œ))
16 resspsr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
17 eqid 2726 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
18 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
19 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
20 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2118subrgss 20474 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
229, 21syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2322, 7sseldd 3978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
24 resspsr.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
2516, 10, 1, 4, 24, 8resspsrbas 21877 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
2624, 19ressbasss 17192 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†)
2725, 26eqsstrdi 4031 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
2827adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
2928, 14sseldd 3978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3016, 17, 18, 19, 20, 6, 23, 29psrvsca 21852 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘†)π‘Œ) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π‘…)π‘Œ))
3110, 20ressmulr 17261 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π»))
32 ofeq 7670 . . . . 5 ((.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π») β†’ ∘f (.rβ€˜π‘…) = ∘f (.rβ€˜π»))
339, 31, 323syl 18 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ∘f (.rβ€˜π‘…) = ∘f (.rβ€˜π»))
3433oveqd 7422 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π‘…)π‘Œ) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π»)π‘Œ))
3530, 34eqtrd 2766 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘†)π‘Œ) = (({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝑋}) ∘f (.rβ€˜π»)π‘Œ))
364fvexi 6899 . . . 4 𝐡 ∈ V
3724, 17ressvsca 17298 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ))
3836, 37mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ))
3938oveqd 7422 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘†)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Œ))
4015, 35, 393eqtr2d 2772 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {csn 4623   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  .rcmulr 17207   ·𝑠 cvsca 17210  SubRingcsubrg 20469   mPwSer cmps 21798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-tset 17225  df-subg 19050  df-ring 20140  df-subrg 20471  df-psr 21803
This theorem is referenced by:  ressmplvsca  21928
  Copyright terms: Public domain W3C validator