Theorem resspsrvsca 21907

Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspsr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
resspsr.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
resspsr.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
resspsrvsca	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsrvsca

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspsr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
4		resspsr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (.r‘𝐻) = (.r‘𝐻)
6		eqid 2730	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑇)
8		resspsr.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
10		resspsr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11	10	subrgbas 20489	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
13	7, 12	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
14		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14	psrvsca 21879	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝐻)𝑌))
16		resspsr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
17		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
18		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	18	subrgss 20480	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
22	9, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
23	22, 7	sseldd 3933	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
24		resspsr.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
25	16, 10, 1, 4, 24, 8	resspsrbas 21904	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
26	24, 19	ressbasss 17142	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑆)
27	25, 26	eqsstrdi 3977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
29	28, 14	sseldd 3933	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
30	16, 17, 18, 19, 20, 6, 23, 29	psrvsca 21879	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌))
31	10, 20	ressmulr 17203	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐻))
32		ofeq 7608	. . . . 5 ⊢ ((.r‘𝑅) = (.r‘𝐻) → ∘f (.r‘𝑅) = ∘f (.r‘𝐻))
33	9, 31, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∘f (.r‘𝑅) = ∘f (.r‘𝐻))
34	33	oveqd 7358	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝐻)𝑌))
35	30, 34	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝐻)𝑌))
36	4	fvexi 6831	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
37	24, 17	ressvsca 17240	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
38	36, 37	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
39	38	oveqd 7358	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))
40	15, 35, 39	3eqtr2d 2771	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {crab 3393  Vcvv 3434   ⊆ wss 3900  {csn 4574   × cxp 5612  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603   ↑_m cmap 8745  Fincfn 8864  ℕcn 12117  ℕ₀cn0 12373  Basecbs 17112   ↾_s cress 17133  ._rcmulr 17154   ·_𝑠 cvsca 17157  SubRingcsubrg 20477   mPwSer cmps 21834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-tset 17172  df-subg 19028  df-ring 20146  df-subrg 20478  df-psr 21839

This theorem is referenced by:  ressmplvsca  21959