Theorem mplsubrgcl 41836

Description: An element of a polynomial algebra over a subring is an element of the polynomial algebra. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubrgcl.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
mplsubrgcl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mplsubrgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
mplsubrgcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
mplsubrgcl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑃)
mplsubrgcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplsubrgcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mplsubrgcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplsubrgcl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mplsubrgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubrgcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
2		mplsubrgcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
3		mplsubrgcl.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
4		mplsubrgcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		mplsubrgcl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		mplsubrgcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
7		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑃 ↾s 𝐵) = (𝑃 ↾s 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ressmplbas 21973	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑃 ↾s 𝐵)))
9		mplsubrgcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑃)
10	7, 9	ressbasss 17218	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑃 ↾s 𝐵)) ⊆ 𝐶
11	8, 10	eqsstrdi 4027	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
12		mplsubrgcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	11, 12	sseldd 3973	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179   ↾_s cress 17208  SubRingcsubrg 20510   mPoly cmpl 21843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-psr 21846  df-mpl 21848

This theorem is referenced by:  evlsevl  41869