Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mplsubrgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplsubrgcl 41574
Description: An element of a polynomial algebra over a subring is an element of the polynomial algebra. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubrgcl.w 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
mplsubrgcl.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
mplsubrgcl.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
mplsubrgcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
mplsubrgcl.c 𝐶 = (Base‘𝑃)
mplsubrgcl.i (𝜑𝐼𝑉)
mplsubrgcl.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mplsubrgcl.f (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
mplsubrgcl (𝜑𝐹𝐶)

Proof of Theorem mplsubrgcl
StepHypRef Expression
1 mplsubrgcl.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
2 mplsubrgcl.u . . . 4 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
3 mplsubrgcl.w . . . 4 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
4 mplsubrgcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
5 mplsubrgcl.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
6 mplsubrgcl.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
7 eqid 2724 . . . 4 (𝑃s 𝐵) = (𝑃s 𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ressmplbas 21884 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑃s 𝐵)))
9 mplsubrgcl.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑃)
107, 9ressbasss 17179 . . 3 (Base‘(𝑃s 𝐵)) ⊆ 𝐶
118, 10eqsstrdi 4028 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
12 mplsubrgcl.f . 2 (𝜑𝐹𝐵)
1311, 12sseldd 3975 1 (𝜑𝐹𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  s cress 17169  SubRingcsubrg 20454   mPoly cmpl 21759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-mulg 18983  df-subg 19035  df-ghm 19124  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-subrng 20431  df-subrg 20456  df-psr 21762  df-mpl 21764
This theorem is referenced by:  evlsevl  41598
  Copyright terms: Public domain W3C validator