MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmplusgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmplusgval 21016
Description: Addition in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgval.y ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
frlmplusgval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
frlmplusgval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
frlmplusgval.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
frlmplusgval.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
frlmplusgval.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
frlmplusgval.a + = (+gโ€˜๐‘…)
frlmplusgval.p โœš = (+gโ€˜๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
frlmplusgval (๐œ‘ โ†’ (๐น โœš ๐บ) = (๐น โˆ˜f + ๐บ))

Proof of Theorem frlmplusgval
StepHypRef Expression
1 frlmplusgval.r . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
2 frlmplusgval.i . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
3 frlmplusgval.y . . . . . . 7 ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
4 eqid 2736 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
53, 4frlmpws 21002 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐‘Œ = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs (Baseโ€˜๐‘Œ)))
61, 2, 5syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs (Baseโ€˜๐‘Œ)))
76fveq2d 6808 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (+gโ€˜๐‘Œ) = (+gโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs (Baseโ€˜๐‘Œ))))
8 frlmplusgval.p . . . 4 โœš = (+gโ€˜๐‘Œ)
9 fvex 6817 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ V
10 eqid 2736 . . . . . 6 (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs (Baseโ€˜๐‘Œ)) = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs (Baseโ€˜๐‘Œ))
11 eqid 2736 . . . . . 6 (+gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = (+gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))
1210, 11ressplusg 17045 . . . . 5 ((Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ V โ†’ (+gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = (+gโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs (Baseโ€˜๐‘Œ))))
139, 12ax-mp 5 . . . 4 (+gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = (+gโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs (Baseโ€˜๐‘Œ)))
147, 8, 133eqtr4g 2801 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โœš = (+gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
1514oveqd 7324 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น โœš ๐บ) = (๐น(+gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))๐บ))
16 eqid 2736 . . 3 ((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) = ((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)
17 eqid 2736 . . 3 (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))
18 fvexd 6819 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ringLModโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
19 frlmplusgval.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
203, 19frlmpws 21002 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐‘Œ = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))
211, 2, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))
2221fveq2d 6808 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)))
2319, 22eqtrid 2788 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)))
24 eqid 2736 . . . . . 6 (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต) = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)
2524, 17ressbasss 16995 . . . . 5 (Baseโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)) โŠ† (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))
2623, 25eqsstrdi 3980 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
27 frlmplusgval.f . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
2826, 27sseldd 3927 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
29 frlmplusgval.g . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
3026, 29sseldd 3927 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
31 frlmplusgval.a . . . 4 + = (+gโ€˜๐‘…)
32 rlmplusg 20511 . . . 4 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))
3331, 32eqtri 2764 . . 3 + = (+gโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))
3416, 17, 18, 2, 28, 30, 33, 11pwsplusgval 17246 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(+gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))๐บ) = (๐น โˆ˜f + ๐บ))
3515, 34eqtrd 2776 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น โœš ๐บ) = (๐น โˆ˜f + ๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  Vcvv 3437  โ€˜cfv 6458  (class class class)co 7307   โˆ˜f cof 7563  Basecbs 16957   โ†พs cress 16986  +gcplusg 17007   โ†‘s cpws 17202  ringLModcrglmod 20476   freeLMod cfrlm 20998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-fz 13286  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-hom 17031  df-cco 17032  df-prds 17203  df-pws 17205  df-sra 20479  df-rgmod 20480  df-dsmm 20984  df-frlm 20999
This theorem is referenced by:  frlmvplusgvalc  21019  frlmphl  21033  frlmup1  21050  matplusg2  21621  zlmodzxzadd  45752
  Copyright terms: Public domain W3C validator