Theorem frlmplusgval 21804

Description: Addition in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmplusgval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmplusgval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
frlmplusgval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
frlmplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
frlmplusgval.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmplusgval.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmplusgval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))

Proof of Theorem frlmplusgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmplusgval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		frlmplusgval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		frlmplusgval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5	3, 4	frlmpws 21790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)))
6	1, 2, 5	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)))
7	6	fveq2d 6866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑌) = (+g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌))))
8		frlmplusgval.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
9		fvex 6875	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌))
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
12	10, 11	ressplusg 17311	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑌) ∈ V → (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌))))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)))
14	7, 8, 13	3eqtr4g 2821	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15	14	oveqd 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺))
16		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
17		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
18		fvexd 6877	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
19		frlmplusgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
20	3, 19	frlmpws 21790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
21	1, 2, 20	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
22	21	fveq2d 6866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
23	19, 22	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
24		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
25	24, 17	ressbasss 17266	. . . . 5 ⊢ (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
26	23, 25	eqsstrdi 3978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
27		frlmplusgval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
28	26, 27	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
29		frlmplusgval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
30	26, 29	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
31		frlmplusgval.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
32		rlmplusg 21249	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
33	31, 32	eqtri 2784	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
34	16, 17, 18, 2, 28, 30, 33, 11	pwsplusgval 17511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))
35	15, 34	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∘_f cof 7653  Basecbs 17236   ↾_s cress 17257  +_gcplusg 17277   ↑_s cpws 17466  ringLModcrglmod 21227   freeLMod cfrlm 21786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-prds 17467  df-pws 17469  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-dsmm 21772  df-frlm 21787

This theorem is referenced by:  frlmvplusgvalc  21807  frlmphl  21821  frlmup1  21838  matplusg2  22475  zlmodzxzadd  48941