Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > frlmplusgval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Addition in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
frlmplusgval.y | โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) |
frlmplusgval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
frlmplusgval.r | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
frlmplusgval.i | โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) |
frlmplusgval.f | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
frlmplusgval.g | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
frlmplusgval.a | โข + = (+gโ๐ ) |
frlmplusgval.p | โข โ = (+gโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
frlmplusgval | โข (๐ โ (๐น โ ๐บ) = (๐น โf + ๐บ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | frlmplusgval.r | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
2 | frlmplusgval.i | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) | |
3 | frlmplusgval.y | . . . . . . 7 โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) | |
4 | eqid 2736 | . . . . . . 7 โข (Baseโ๐) = (Baseโ๐) | |
5 | 3, 4 | frlmpws 21002 | . . . . . 6 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ผ โ ๐) โ ๐ = (((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs (Baseโ๐))) |
6 | 1, 2, 5 | syl2anc 585 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ = (((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs (Baseโ๐))) |
7 | 6 | fveq2d 6808 | . . . 4 โข (๐ โ (+gโ๐) = (+gโ(((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs (Baseโ๐)))) |
8 | frlmplusgval.p | . . . 4 โข โ = (+gโ๐) | |
9 | fvex 6817 | . . . . 5 โข (Baseโ๐) โ V | |
10 | eqid 2736 | . . . . . 6 โข (((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs (Baseโ๐)) = (((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs (Baseโ๐)) | |
11 | eqid 2736 | . . . . . 6 โข (+gโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) = (+gโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) | |
12 | 10, 11 | ressplusg 17045 | . . . . 5 โข ((Baseโ๐) โ V โ (+gโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) = (+gโ(((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs (Baseโ๐)))) |
13 | 9, 12 | ax-mp 5 | . . . 4 โข (+gโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) = (+gโ(((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs (Baseโ๐))) |
14 | 7, 8, 13 | 3eqtr4g 2801 | . . 3 โข (๐ โ โ = (+gโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ))) |
15 | 14 | oveqd 7324 | . 2 โข (๐ โ (๐น โ ๐บ) = (๐น(+gโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ))๐บ)) |
16 | eqid 2736 | . . 3 โข ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) = ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) | |
17 | eqid 2736 | . . 3 โข (Baseโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) = (Baseโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) | |
18 | fvexd 6819 | . . 3 โข (๐ โ (ringLModโ๐ ) โ V) | |
19 | frlmplusgval.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
20 | 3, 19 | frlmpws 21002 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ผ โ ๐) โ ๐ = (((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต)) |
21 | 1, 2, 20 | syl2anc 585 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ = (((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต)) |
22 | 21 | fveq2d 6808 | . . . . . 6 โข (๐ โ (Baseโ๐) = (Baseโ(((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต))) |
23 | 19, 22 | eqtrid 2788 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต = (Baseโ(((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต))) |
24 | eqid 2736 | . . . . . 6 โข (((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต) = (((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต) | |
25 | 24, 17 | ressbasss 16995 | . . . . 5 โข (Baseโ(((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต)) โ (Baseโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) |
26 | 23, 25 | eqsstrdi 3980 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ (Baseโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ))) |
27 | frlmplusgval.f | . . . 4 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
28 | 26, 27 | sseldd 3927 | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ (Baseโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ))) |
29 | frlmplusgval.g | . . . 4 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
30 | 26, 29 | sseldd 3927 | . . 3 โข (๐ โ ๐บ โ (Baseโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ))) |
31 | frlmplusgval.a | . . . 4 โข + = (+gโ๐ ) | |
32 | rlmplusg 20511 | . . . 4 โข (+gโ๐ ) = (+gโ(ringLModโ๐ )) | |
33 | 31, 32 | eqtri 2764 | . . 3 โข + = (+gโ(ringLModโ๐ )) |
34 | 16, 17, 18, 2, 28, 30, 33, 11 | pwsplusgval 17246 | . 2 โข (๐ โ (๐น(+gโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ))๐บ) = (๐น โf + ๐บ)) |
35 | 15, 34 | eqtrd 2776 | 1 โข (๐ โ (๐น โ ๐บ) = (๐น โf + ๐บ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1539 โ wcel 2104 Vcvv 3437 โcfv 6458 (class class class)co 7307 โf cof 7563 Basecbs 16957 โพs cress 16986 +gcplusg 17007 โs cpws 17202 ringLModcrglmod 20476 freeLMod cfrlm 20998 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2707 ax-rep 5218 ax-sep 5232 ax-nul 5239 ax-pow 5297 ax-pr 5361 ax-un 7620 ax-cnex 10973 ax-resscn 10974 ax-1cn 10975 ax-icn 10976 ax-addcl 10977 ax-addrcl 10978 ax-mulcl 10979 ax-mulrcl 10980 ax-mulcom 10981 ax-addass 10982 ax-mulass 10983 ax-distr 10984 ax-i2m1 10985 ax-1ne0 10986 ax-1rid 10987 ax-rnegex 10988 ax-rrecex 10989 ax-cnre 10990 ax-pre-lttri 10991 ax-pre-lttrn 10992 ax-pre-ltadd 10993 ax-pre-mulgt0 10994 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3286 df-rab 3287 df-v 3439 df-sbc 3722 df-csb 3838 df-dif 3895 df-un 3897 df-in 3899 df-ss 3909 df-pss 3911 df-nul 4263 df-if 4466 df-pw 4541 df-sn 4566 df-pr 4568 df-tp 4570 df-op 4572 df-uni 4845 df-iun 4933 df-br 5082 df-opab 5144 df-mpt 5165 df-tr 5199 df-id 5500 df-eprel 5506 df-po 5514 df-so 5515 df-fr 5555 df-we 5557 df-xp 5606 df-rel 5607 df-cnv 5608 df-co 5609 df-dm 5610 df-rn 5611 df-res 5612 df-ima 5613 df-pred 6217 df-ord 6284 df-on 6285 df-lim 6286 df-suc 6287 df-iota 6410 df-fun 6460 df-fn 6461 df-f 6462 df-f1 6463 df-fo 6464 df-f1o 6465 df-fv 6466 df-riota 7264 df-ov 7310 df-oprab 7311 df-mpo 7312 df-of 7565 df-om 7745 df-1st 7863 df-2nd 7864 df-frecs 8128 df-wrecs 8159 df-recs 8233 df-rdg 8272 df-1o 8328 df-er 8529 df-map 8648 df-ixp 8717 df-en 8765 df-dom 8766 df-sdom 8767 df-fin 8768 df-sup 9245 df-pnf 11057 df-mnf 11058 df-xr 11059 df-ltxr 11060 df-le 11061 df-sub 11253 df-neg 11254 df-nn 12020 df-2 12082 df-3 12083 df-4 12084 df-5 12085 df-6 12086 df-7 12087 df-8 12088 df-9 12089 df-n0 12280 df-z 12366 df-dec 12484 df-uz 12629 df-fz 13286 df-struct 16893 df-sets 16910 df-slot 16928 df-ndx 16940 df-base 16958 df-ress 16987 df-plusg 17020 df-mulr 17021 df-sca 17023 df-vsca 17024 df-ip 17025 df-tset 17026 df-ple 17027 df-ds 17029 df-hom 17031 df-cco 17032 df-prds 17203 df-pws 17205 df-sra 20479 df-rgmod 20480 df-dsmm 20984 df-frlm 20999 |
This theorem is referenced by: frlmvplusgvalc 21019 frlmphl 21033 frlmup1 21050 matplusg2 21621 zlmodzxzadd 45752 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |