MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmplusgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmplusgval 20836
Description: Addition in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgval.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmplusgval.r (𝜑𝑅𝑉)
frlmplusgval.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
frlmplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
frlmplusgval.a + = (+g𝑅)
frlmplusgval.p = (+g𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmplusgval (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹f + 𝐺))

Proof of Theorem frlmplusgval
StepHypRef Expression
1 frlmplusgval.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑉)
2 frlmplusgval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
3 frlmplusgval.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
53, 4frlmpws 20822 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)))
61, 2, 5syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)))
76fveq2d 6667 . . . 4 (𝜑 → (+g𝑌) = (+g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌))))
8 frlmplusgval.p . . . 4 = (+g𝑌)
9 fvex 6676 . . . . 5 (Base‘𝑌) ∈ V
10 eqid 2818 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌))
11 eqid 2818 . . . . . 6 (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
1210, 11ressplusg 16600 . . . . 5 ((Base‘𝑌) ∈ V → (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌))))
139, 12ax-mp 5 . . . 4 (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)))
147, 8, 133eqtr4g 2878 . . 3 (𝜑 = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1514oveqd 7162 . 2 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺))
16 eqid 2818 . . 3 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
17 eqid 2818 . . 3 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
18 fvexd 6678 . . 3 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
19 frlmplusgval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
203, 19frlmpws 20822 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
211, 2, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
2221fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
2319, 22syl5eq 2865 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
24 eqid 2818 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
2524, 17ressbasss 16544 . . . . 5 (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
2623, 25eqsstrdi 4018 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
27 frlmplusgval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
2826, 27sseldd 3965 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
29 frlmplusgval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
3026, 29sseldd 3965 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
31 frlmplusgval.a . . . 4 + = (+g𝑅)
32 rlmplusg 19897 . . . 4 (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
3331, 32eqtri 2841 . . 3 + = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
3416, 17, 18, 2, 28, 30, 33, 11pwsplusgval 16751 . 2 (𝜑 → (𝐹(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹f + 𝐺))
3515, 34eqtrd 2853 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹f + 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  s cpws 16708  ringLModcrglmod 19870   freeLMod cfrlm 20818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-prds 16709  df-pws 16711  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-dsmm 20804  df-frlm 20819
This theorem is referenced by:  frlmvplusgvalc  20839  frlmphl  20853  frlmup1  20870  matplusg2  20964  zlmodzxzadd  44334
  Copyright terms: Public domain W3C validator