Theorem frlmplusgval 20471

Description: Addition in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmplusgval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmplusgval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
frlmplusgval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
frlmplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
frlmplusgval.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmplusgval.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmplusgval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))

Proof of Theorem frlmplusgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmplusgval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		frlmplusgval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		frlmplusgval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		eqid 2826	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5	3, 4	frlmpws 20458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)))
6	1, 2, 5	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)))
7	6	fveq2d 6438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑌) = (+g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌))))
8		frlmplusgval.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
9		fvex 6447	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
10		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌))
11		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
12	10, 11	ressplusg 16353	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑌) ∈ V → (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌))))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)))
14	7, 8, 13	3eqtr4g 2887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15	14	oveqd 6923	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺))
16		eqid 2826	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
17		eqid 2826	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
18		fvexd 6449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
19		frlmplusgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
20	3, 19	frlmpws 20458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
21	1, 2, 20	syl2anc 581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
22	21	fveq2d 6438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
23	19, 22	syl5eq 2874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
24		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
25	24, 17	ressbasss 16296	. . . . 5 ⊢ (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
26	23, 25	syl6eqss 3881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
27		frlmplusgval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
28	26, 27	sseldd 3829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
29		frlmplusgval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
30	26, 29	sseldd 3829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
31		frlmplusgval.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
32		rlmplusg 19558	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
33	31, 32	eqtri 2850	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
34	16, 17, 18, 2, 28, 30, 33, 11	pwsplusgval 16504	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))
35	15, 34	eqtrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3415  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ∘_𝑓 cof 7156  Basecbs 16223   ↾_s cress 16224  +_gcplusg 16306   ↑_s cpws 16461  ringLModcrglmod 19531   freeLMod cfrlm 20454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-hom 16330  df-cco 16331  df-prds 16462  df-pws 16464  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-dsmm 20440  df-frlm 20455

This theorem is referenced by:  frlmvplusgvalc  20474  frlmphl  20488  frlmup1  20505  matplusg2  20601  zlmodzxzadd  42984