Theorem frlmplusgval 21715

Description: Addition in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmplusgval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmplusgval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
frlmplusgval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
frlmplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
frlmplusgval.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmplusgval.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmplusgval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))

Proof of Theorem frlmplusgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmplusgval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		frlmplusgval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		frlmplusgval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5	3, 4	frlmpws 21701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)))
6	1, 2, 5	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)))
7	6	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑌) = (+g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌))))
8		frlmplusgval.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
9		fvex 6909	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
10		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌))
11		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
12	10, 11	ressplusg 17274	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑌) ∈ V → (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌))))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝑌)))
14	7, 8, 13	3eqtr4g 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15	14	oveqd 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺))
16		eqid 2725	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
17		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
18		fvexd 6911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
19		frlmplusgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
20	3, 19	frlmpws 21701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
21	1, 2, 20	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
22	21	fveq2d 6900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
23	19, 22	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
24		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
25	24, 17	ressbasss 17222	. . . . 5 ⊢ (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
26	23, 25	eqsstrdi 4031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
27		frlmplusgval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
28	26, 27	sseldd 3977	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
29		frlmplusgval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
30	26, 29	sseldd 3977	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
31		frlmplusgval.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
32		rlmplusg 21099	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
33	31, 32	eqtri 2753	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
34	16, 17, 18, 2, 28, 30, 33, 11	pwsplusgval 17475	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))
35	15, 34	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7683  Basecbs 17183   ↾_s cress 17212  +_gcplusg 17236   ↑_s cpws 17431  ringLModcrglmod 21069   freeLMod cfrlm 21697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-prds 17432  df-pws 17434  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-dsmm 21683  df-frlm 21698

This theorem is referenced by:  frlmvplusgvalc  21718  frlmphl  21732  frlmup1  21749  matplusg2  22373  zlmodzxzadd  47608