MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslindf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslindf 21851
Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslindf.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsslindf.x 𝑋 = (𝑊s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsslindf ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹 LIndF 𝑋𝐹 LIndF 𝑊))

Proof of Theorem lsslindf
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rellindf 21829 . . . 4 Rel LIndF
21brrelex1i 5740 . . 3 (𝐹 LIndF 𝑋𝐹 ∈ V)
32a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹 LIndF 𝑋𝐹 ∈ V))
41brrelex1i 5740 . . 3 (𝐹 LIndF 𝑊𝐹 ∈ V)
54a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹 LIndF 𝑊𝐹 ∈ V))
6 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋))
7 lsslindf.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (𝑊s 𝑆)
8 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
97, 8ressbasss 17285 . . . . . . . 8 (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)
10 fss 6751 . . . . . . . 8 ((𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ∧ (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
116, 9, 10sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
12 ffn 6735 . . . . . . . . 9 (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
1312adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊)) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
14 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → ran 𝐹𝑆)
15 lsslindf.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
168, 15lssss 20935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑈𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
17163ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
187, 8ressbas2 17284 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
2014, 19sseqtrd 4019 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑋))
2120adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑋))
22 df-f 6564 . . . . . . . 8 (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑋)))
2313, 21, 22sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊)) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋))
2411, 23impbida 800 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊)))
2524adantr 480 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊)))
26 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝑆𝑈)
27 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
287, 27resssca 17388 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑈 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
2928eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑈 → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
3026, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
3130fveq2d 6909 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3230fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (0g‘(Scalar‘𝑋)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3332sneqd 4637 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → {(0g‘(Scalar‘𝑋))} = {(0g‘(Scalar‘𝑊))})
3431, 33difeq12d 4126 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑋))}) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
35 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
367, 35ressvsca 17389 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑈 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
3736eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑈 → ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑊))
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑊))
3938oveqd 7449 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) = (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)))
40 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝑊 ∈ LMod)
41 imassrn 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝐹
42 simpl3 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ran 𝐹𝑆)
4341, 42sstrid 3994 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑆)
44 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
45 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
467, 44, 45, 15lsslsp 21014 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑆) → ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
4740, 26, 43, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
4839, 47eleq12d 2834 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})))))
4948notbid 318 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})))))
5034, 49raleqbidv 3345 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑋))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})))))
5150ralbidv 3177 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑋))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})))))
5225, 51anbi12d 632 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑋))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})))) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
537ovexi 7466 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
5453a1i 11 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → 𝑋 ∈ V)
55 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
56 eqid 2736 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑋)
57 eqid 2736 . . . . . 6 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
58 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
59 eqid 2736 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑋)) = (0g‘(Scalar‘𝑋))
6055, 56, 45, 57, 58, 59islindf 21833 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑋 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑋))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
6154, 60sylan 580 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑋 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑋))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
62 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
63 eqid 2736 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
648, 35, 44, 27, 62, 63islindf 21833 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
65643ad2antl1 1185 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
6652, 61, 653bitr4d 311 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑋𝐹 LIndF 𝑊))
6766ex 412 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹 ∈ V → (𝐹 LIndF 𝑋𝐹 LIndF 𝑊)))
683, 5, 67pm5.21ndd 379 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹 LIndF 𝑋𝐹 LIndF 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  Vcvv 3479  cdif 3947  wss 3950  {csn 4625   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  ran crn 5685  cima 5687   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  s cress 17275  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17485  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  LSpanclspn 20970   LIndF clindf 21825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lindf 21827
This theorem is referenced by:  lsslinds  21852
  Copyright terms: Public domain W3C validator