Theorem evpmss 21553

Description: Even permutations are permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evpmss	⊢ (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃

Proof of Theorem evpmss

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
2	1	cnveqd 5832	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡(pmSgn‘𝐷))
3	2	imaeq1d 6026	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
4		df-evpm 19433	. . . 4 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
5		fvex 6855	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) ∈ V
6	5	cnvex 7877	. . . . 5 ⊢ ◡(pmSgn‘𝐷) ∈ V
7	6	imaex 7866	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
8	3, 4, 7	fvmpt 6949	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
9		cnvimass 6049	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ⊆ dom (pmSgn‘𝐷)
10		evpmss.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
11		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)) = (𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14	10, 11, 12, 13	psgnghm 21547	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmSgn‘𝐷) ∈ ((𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))) = (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)))
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
17	15, 16	ghmf 19161	. . . . . 6 ⊢ ((pmSgn‘𝐷) ∈ ((𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (pmSgn‘𝐷):(Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
18		fdm 6679	. . . . . 6 ⊢ ((pmSgn‘𝐷):(Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → dom (pmSgn‘𝐷) = (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))))
19	14, 17, 18	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → dom (pmSgn‘𝐷) = (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))))
20		evpmss.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
21	12, 20	ressbasss 17178	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))) ⊆ 𝑃
22	19, 21	eqsstrdi 3980	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → dom (pmSgn‘𝐷) ⊆ 𝑃)
23	9, 22	sstrid 3947	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ⊆ 𝑃)
24	8, 23	eqsstrd 3970	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃)
25		fvprc 6834	. . 3 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = ∅)
26		0ss 4354	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑃
27	25, 26	eqsstrdi 3980	. 2 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃)
28	24, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582  {cpr 4584  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632   “ cima 5635  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039  -cneg 11377  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169   GrpHom cghm 19153  SymGrpcsymg 19310  pmSgncpsgn 19430  pmEvencevpm 19431  mulGrpcmgp 20087  ℂ_fldccnfld 21321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-word 14449  df-lsw 14498  df-concat 14506  df-s1 14532  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-splice 14685  df-reverse 14694  df-s2 14783  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-efmnd 18806  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-oppg 19287  df-symg 19311  df-pmtr 19383  df-psgn 19432  df-evpm 19433  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-drng 20676  df-cnfld 21322

This theorem is referenced by:  zrhpsgnevpm  21558  evpmodpmf1o  21563  mdetralt  22564  cyc3genpm  33245