Theorem evpmss 21138

Description: Even permutations are permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evpmss	⊢ (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃

Proof of Theorem evpmss

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
2	1	cnveqd 5875	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡(pmSgn‘𝐷))
3	2	imaeq1d 6058	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
4		df-evpm 19359	. . . 4 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
5		fvex 6904	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) ∈ V
6	5	cnvex 7915	. . . . 5 ⊢ ◡(pmSgn‘𝐷) ∈ V
7	6	imaex 7906	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
8	3, 4, 7	fvmpt 6998	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
9		cnvimass 6080	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ⊆ dom (pmSgn‘𝐷)
10		evpmss.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
11		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
12		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)) = (𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))
13		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14	10, 11, 12, 13	psgnghm 21132	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmSgn‘𝐷) ∈ ((𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))) = (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)))
16		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
17	15, 16	ghmf 19095	. . . . . 6 ⊢ ((pmSgn‘𝐷) ∈ ((𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (pmSgn‘𝐷):(Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
18		fdm 6726	. . . . . 6 ⊢ ((pmSgn‘𝐷):(Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → dom (pmSgn‘𝐷) = (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))))
19	14, 17, 18	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → dom (pmSgn‘𝐷) = (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))))
20		evpmss.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
21	12, 20	ressbasss 17182	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))) ⊆ 𝑃
22	19, 21	eqsstrdi 4036	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → dom (pmSgn‘𝐷) ⊆ 𝑃)
23	9, 22	sstrid 3993	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ⊆ 𝑃)
24	8, 23	eqsstrd 4020	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃)
25		fvprc 6883	. . 3 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = ∅)
26		0ss 4396	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑃
27	25, 26	eqsstrdi 4036	. 2 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃)
28	24, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110  -cneg 11444  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172   GrpHom cghm 19088  SymGrpcsymg 19233  pmSgncpsgn 19356  pmEvencevpm 19357  mulGrpcmgp 19986  ℂ_fldccnfld 20943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-splice 14699  df-reverse 14708  df-s2 14798  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-oppg 19209  df-symg 19234  df-pmtr 19309  df-psgn 19358  df-evpm 19359  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-cnfld 20944

This theorem is referenced by:  zrhpsgnevpm  21143  evpmodpmf1o  21148  mdetralt  22109  cyc3genpm  32306