Theorem evpmss 21947

Description: Even permutations are permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evpmss	⊢ (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃

Proof of Theorem evpmss

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
2	1	cnveqd 5865	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡(pmSgn‘𝐷))
3	2	imaeq1d 6069	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
4		df-evpm 19757	. . . 4 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
5		fvex 6929	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) ∈ V
6	5	cnvex 7971	. . . . 5 ⊢ ◡(pmSgn‘𝐷) ∈ V
7	6	imaex 7960	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
8	3, 4, 7	fvmpt 7024	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
9		cnvimass 6217	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ⊆ dom (pmSgn‘𝐷)
10		evpmss.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)) = (𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))
13		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14	10, 11, 12, 13	psgnghm 21941	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmSgn‘𝐷) ∈ ((𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))) = (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)))
16		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
17	15, 16	ghmf 19484	. . . . . 6 ⊢ ((pmSgn‘𝐷) ∈ ((𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (pmSgn‘𝐷):(Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
18		fdm 6749	. . . . . 6 ⊢ ((pmSgn‘𝐷):(Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → dom (pmSgn‘𝐷) = (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))))
19	14, 17, 18	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → dom (pmSgn‘𝐷) = (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))))
20		evpmss.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
21	12, 20	ressbasss 17461	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))) ⊆ 𝑃
22	19, 21	eqsstrdi 3957	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → dom (pmSgn‘𝐷) ⊆ 𝑃)
23	9, 22	sstrid 3924	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ⊆ 𝑃)
24	8, 23	eqsstrd 3947	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃)
25		fvprc 6908	. . 3 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = ∅)
26		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑃
27	25, 26	eqsstrdi 3957	. 2 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃)
28	24, 27	pm2.61i 184	1 ⊢ (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658   “ cima 5661  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240   -cneg 11581  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452   GrpHom cghm 19477  SymGrpcsymg 19634  pmSgncpsgn 19754  pmEvencevpm 19755  mulGrpcmgp 20411  ℂ_fldccnfld 21729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-word 14700  df-lsw 14749  df-concat 14757  df-s1 14784  df-substr 14831  df-pfx 14863  df-splice 14941  df-reverse 14950  df-s2 15041  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-efmnd 19115  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-gim 19523  df-oppg 19611  df-symg 19635  df-pmtr 19707  df-psgn 19756  df-evpm 19757  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-drng 21033  df-cnfld 21730

This theorem is used by:  zrhpsgnevpm  21952  evpmodpmf1o  21957  mdetralt  22978  cyc3genpm  33812