Theorem evpmss 21799

Description: Even permutations are permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evpmss	⊢ (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃

Proof of Theorem evpmss

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
2	1	cnveqd 5855	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡(pmSgn‘𝐷))
3	2	imaeq1d 6055	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
4		df-evpm 19619	. . . 4 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
5		fvex 6891	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) ∈ V
6	5	cnvex 7922	. . . . 5 ⊢ ◡(pmSgn‘𝐷) ∈ V
7	6	imaex 7911	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
8	3, 4, 7	fvmpt 6986	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
9		cnvimass 6078	. . . 4 ⊢ (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ⊆ dom (pmSgn‘𝐷)
10		evpmss.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
11		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
12		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)) = (𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))
13		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
14	10, 11, 12, 13	psgnghm 21793	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmSgn‘𝐷) ∈ ((𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))) = (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)))
16		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
17	15, 16	ghmf 19347	. . . . . 6 ⊢ ((pmSgn‘𝐷) ∈ ((𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (pmSgn‘𝐷):(Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
18		fdm 6712	. . . . . 6 ⊢ ((pmSgn‘𝐷):(Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷)))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → dom (pmSgn‘𝐷) = (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))))
19	14, 17, 18	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → dom (pmSgn‘𝐷) = (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))))
20		evpmss.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
21	12, 20	ressbasss 17331	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s dom (pmSgn‘𝐷))) ⊆ 𝑃
22	19, 21	eqsstrdi 3975	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → dom (pmSgn‘𝐷) ⊆ 𝑃)
23	9, 22	sstrid 3942	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ⊆ 𝑃)
24	8, 23	eqsstrd 3965	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃)
25		fvprc 6870	. . 3 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = ∅)
26		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑃
27	25, 26	eqsstrdi 3975	. 2 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃)
28	24, 27	pm2.61i 184	1 ⊢ (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  {cpr 4586  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1c1 11125  -cneg 11466  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322   GrpHom cghm 19340  SymGrpcsymg 19496  pmSgncpsgn 19616  pmEvencevpm 19617  mulGrpcmgp 20273  ℂ_fldccnfld 21585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-word 14579  df-lsw 14628  df-concat 14636  df-s1 14663  df-substr 14709  df-pfx 14741  df-splice 14819  df-reverse 14828  df-s2 14919  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-efmnd 18978  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-gim 19386  df-oppg 19473  df-symg 19497  df-pmtr 19569  df-psgn 19618  df-evpm 19619  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-drng 20892  df-cnfld 21586

This theorem is used by:  zrhpsgnevpm  21804  evpmodpmf1o  21809  mdetralt  22830  cyc3genpm  33592