MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evpmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evpmss 20327
Description: Even permutations are permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
evpmss (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃

Proof of Theorem evpmss
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
21cnveqd 5543 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷(pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
32imaeq1d 5719 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 → ((pmSgn‘𝑑) “ {1}) = ((pmSgn‘𝐷) “ {1}))
4 df-evpm 18295 . . . 4 pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ ((pmSgn‘𝑑) “ {1}))
5 fvex 6459 . . . . . 6 (pmSgn‘𝐷) ∈ V
65cnvex 7392 . . . . 5 (pmSgn‘𝐷) ∈ V
76imaex 7383 . . . 4 ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ V
83, 4, 7fvmpt 6542 . . 3 (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = ((pmSgn‘𝐷) “ {1}))
9 cnvimass 5739 . . . 4 ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ⊆ dom (pmSgn‘𝐷)
10 evpmss.s . . . . . . 7 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
11 eqid 2777 . . . . . . 7 (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
12 eqid 2777 . . . . . . 7 (𝑆s dom (pmSgn‘𝐷)) = (𝑆s dom (pmSgn‘𝐷))
13 eqid 2777 . . . . . . 7 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
1410, 11, 12, 13psgnghm 20321 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V → (pmSgn‘𝐷) ∈ ((𝑆s dom (pmSgn‘𝐷)) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15 eqid 2777 . . . . . . 7 (Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷))) = (Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷)))
16 eqid 2777 . . . . . . 7 (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
1715, 16ghmf 18048 . . . . . 6 ((pmSgn‘𝐷) ∈ ((𝑆s dom (pmSgn‘𝐷)) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (pmSgn‘𝐷):(Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷)))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
18 fdm 6299 . . . . . 6 ((pmSgn‘𝐷):(Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷)))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → dom (pmSgn‘𝐷) = (Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷))))
1914, 17, 183syl 18 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → dom (pmSgn‘𝐷) = (Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷))))
20 evpmss.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝑆)
2112, 20ressbasss 16328 . . . . 5 (Base‘(𝑆s dom (pmSgn‘𝐷))) ⊆ 𝑃
2219, 21syl6eqss 3873 . . . 4 (𝐷 ∈ V → dom (pmSgn‘𝐷) ⊆ 𝑃)
239, 22syl5ss 3831 . . 3 (𝐷 ∈ V → ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ⊆ 𝑃)
248, 23eqsstrd 3857 . 2 (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃)
25 fvprc 6439 . . 3 𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = ∅)
26 0ss 4197 . . 3 ∅ ⊆ 𝑃
2725, 26syl6eqss 3873 . 2 𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃)
2824, 27pm2.61i 177 1 (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1601  wcel 2106  Vcvv 3397  wss 3791  c0 4140  {csn 4397  {cpr 4399  ccnv 5354  dom cdm 5355  cima 5358  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  1c1 10273  -cneg 10607  Basecbs 16255  s cress 16256   GrpHom cghm 18041  SymGrpcsymg 18180  pmSgncpsgn 18292  pmEvencevpm 18293  mulGrpcmgp 18876  fldccnfld 20142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1583  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-word 13600  df-lsw 13653  df-concat 13661  df-s1 13686  df-substr 13731  df-pfx 13780  df-splice 13887  df-reverse 13905  df-s2 13999  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-gim 18085  df-oppg 18159  df-symg 18181  df-pmtr 18245  df-psgn 18294  df-evpm 18295  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-cnfld 20143
This theorem is referenced by:  zrhpsgnevpm  20332  evpmodpmf1o  20338  mdetralt  20819
  Copyright terms: Public domain W3C validator