Theorem rr-grothshort 44273

Description: A shorter equivalent of ax-groth 10892 than rr-groth 44268 using a few more simple defined symbols. (Contributed by Rohan Ridenour, 8-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rr-grothshort	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑤,𝑓,𝑦,𝑧

Proof of Theorem rr-grothshort

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruex 44267	. . . 4 ⊢ ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦
2	1	ax-gen 1793	. . 3 ⊢ ∀𝑥∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦
3		rr-grothshortbi 44272	. . 3 ⊢ (∀𝑥∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))))
4	2, 3	mpbi 230	. 2 ⊢ ∀𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤)))
5	4	spi 2185	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤)))

Syntax hints:   ∧ wa 395  ∀wal 1535  ∃wex 1777  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  Univcgru 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-reg 9661  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532  ax-groth 10892

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-smo 8402  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-oi 9579  df-har 9626  df-tc 9806  df-r1 9833  df-rank 9834  df-card 10008  df-aleph 10009  df-cf 10010  df-acn 10011  df-ac 10185  df-wina 10753  df-ina 10754  df-tsk 10818  df-gru 10860  df-scott 44205  df-coll 44220

This theorem is referenced by: (None)