HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shslubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shslubi 31142
Description: The least upper bound law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shslub.1 𝐴S
shslub.2 𝐵S
shslub.3 𝐶S
Assertion
Ref Expression
shslubi ((𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem shslubi
StepHypRef Expression
1 shslub.1 . . . . 5 𝐴S
2 shslub.3 . . . . 5 𝐶S
3 shslub.2 . . . . 5 𝐵S
41, 2, 3shlessi 31134 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐶 + 𝐵))
52, 3shscomi 31120 . . . 4 (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶)
64, 5sseqtrdi 4027 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐵 + 𝐶))
73, 2, 2shlessi 31134 . . . 4 (𝐵𝐶 → (𝐵 + 𝐶) ⊆ (𝐶 + 𝐶))
82shsidmi 31141 . . . 4 (𝐶 + 𝐶) = 𝐶
97, 8sseqtrdi 4027 . . 3 (𝐵𝐶 → (𝐵 + 𝐶) ⊆ 𝐶)
106, 9sylan9ss 3990 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶)
111, 3shsub1i 31129 . . . 4 𝐴 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
12 sstr 3985 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐴𝐶)
1311, 12mpan 687 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶𝐴𝐶)
143, 1shsub2i 31130 . . . 4 𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
15 sstr 3985 . . . 4 ((𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐵𝐶)
1614, 15mpan 687 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶𝐵𝐶)
1713, 16jca 511 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
1810, 17impbii 208 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  wcel 2098  wss 3943  (class class class)co 7404   S csh 30685   + cph 30688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hvcom 30758  ax-hvass 30759  ax-hv0cl 30760  ax-hvaddid 30761  ax-hfvmul 30762  ax-hvmulid 30763  ax-hvdistr2 30766  ax-hvmul0 30767
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-grpo 30250  df-ablo 30302  df-hvsub 30728  df-sh 30964  df-shs 31065
This theorem is referenced by:  shlesb1i  31143  shsval2i  31144
  Copyright terms: Public domain W3C validator