HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shslubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shslubi 29177
Description: The least upper bound law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shslub.1 𝐴S
shslub.2 𝐵S
shslub.3 𝐶S
Assertion
Ref Expression
shslubi ((𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem shslubi
StepHypRef Expression
1 shslub.1 . . . . 5 𝐴S
2 shslub.3 . . . . 5 𝐶S
3 shslub.2 . . . . 5 𝐵S
41, 2, 3shlessi 29169 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐶 + 𝐵))
52, 3shscomi 29155 . . . 4 (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶)
64, 5sseqtrdi 4003 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐵 + 𝐶))
73, 2, 2shlessi 29169 . . . 4 (𝐵𝐶 → (𝐵 + 𝐶) ⊆ (𝐶 + 𝐶))
82shsidmi 29176 . . . 4 (𝐶 + 𝐶) = 𝐶
97, 8sseqtrdi 4003 . . 3 (𝐵𝐶 → (𝐵 + 𝐶) ⊆ 𝐶)
106, 9sylan9ss 3966 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶)
111, 3shsub1i 29164 . . . 4 𝐴 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
12 sstr 3961 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐴𝐶)
1311, 12mpan 689 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶𝐴𝐶)
143, 1shsub2i 29165 . . . 4 𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
15 sstr 3961 . . . 4 ((𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐵𝐶)
1614, 15mpan 689 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶𝐵𝐶)
1713, 16jca 515 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
1810, 17impbii 212 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  wcel 2115  wss 3919  (class class class)co 7151   S csh 28720   + cph 28723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-hilex 28791  ax-hfvadd 28792  ax-hvcom 28793  ax-hvass 28794  ax-hv0cl 28795  ax-hvaddid 28796  ax-hfvmul 28797  ax-hvmulid 28798  ax-hvdistr2 28801  ax-hvmul0 28802
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872  df-neg 10873  df-grpo 28285  df-ablo 28337  df-hvsub 28763  df-sh 28999  df-shs 29100
This theorem is referenced by:  shlesb1i  29178  shsval2i  29179
  Copyright terms: Public domain W3C validator