Theorem shslubi 31321

Description: The least upper bound law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shslub.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shslub.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
shslub.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shslubi	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem shslubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shslub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shslub.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
3		shslub.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	1, 2, 3	shlessi 31313	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐶 +ℋ 𝐵))
5	2, 3	shscomi 31299	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐶)
6	4, 5	sseqtrdi 3990	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐵 +ℋ 𝐶))
7	3, 2, 2	shlessi 31313	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 +ℋ 𝐶) ⊆ (𝐶 +ℋ 𝐶))
8	2	shsidmi 31320	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐶) = 𝐶
9	7, 8	sseqtrdi 3990	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 +ℋ 𝐶) ⊆ 𝐶)
10	6, 9	sylan9ss 3963	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)
11	1, 3	shsub1i 31308	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
12		sstr 3958	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
13	11, 12	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
14	3, 1	shsub2i 31309	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
15		sstr 3958	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
16	14, 15	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
17	13, 16	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶))
18	10, 17	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  (class class class)co 7390   S_ℋ csh 30864   +_ℋ cph 30867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415  df-grpo 30429  df-ablo 30481  df-hvsub 30907  df-sh 31143  df-shs 31244

This theorem is referenced by:  shlesb1i  31322  shsval2i  31323