HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shslubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shslubi 31318
Description: The least upper bound law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shslub.1 𝐴S
shslub.2 𝐵S
shslub.3 𝐶S
Assertion
Ref Expression
shslubi ((𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem shslubi
StepHypRef Expression
1 shslub.1 . . . . 5 𝐴S
2 shslub.3 . . . . 5 𝐶S
3 shslub.2 . . . . 5 𝐵S
41, 2, 3shlessi 31310 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐶 + 𝐵))
52, 3shscomi 31296 . . . 4 (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶)
64, 5sseqtrdi 4030 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐵 + 𝐶))
73, 2, 2shlessi 31310 . . . 4 (𝐵𝐶 → (𝐵 + 𝐶) ⊆ (𝐶 + 𝐶))
82shsidmi 31317 . . . 4 (𝐶 + 𝐶) = 𝐶
97, 8sseqtrdi 4030 . . 3 (𝐵𝐶 → (𝐵 + 𝐶) ⊆ 𝐶)
106, 9sylan9ss 3993 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶)
111, 3shsub1i 31305 . . . 4 𝐴 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
12 sstr 3988 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐴𝐶)
1311, 12mpan 688 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶𝐴𝐶)
143, 1shsub2i 31306 . . . 4 𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
15 sstr 3988 . . . 4 ((𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐵𝐶)
1614, 15mpan 688 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶𝐵𝐶)
1713, 16jca 510 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
1810, 17impbii 208 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394  wcel 2099  wss 3947  (class class class)co 7424   S csh 30861   + cph 30864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-hilex 30932  ax-hfvadd 30933  ax-hvcom 30934  ax-hvass 30935  ax-hv0cl 30936  ax-hvaddid 30937  ax-hfvmul 30938  ax-hvmulid 30939  ax-hvdistr2 30942  ax-hvmul0 30943
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303  df-sub 11496  df-neg 11497  df-grpo 30426  df-ablo 30478  df-hvsub 30904  df-sh 31140  df-shs 31241
This theorem is referenced by:  shlesb1i  31319  shsval2i  31320
  Copyright terms: Public domain W3C validator