Theorem shslubi 29856

Description: The least upper bound law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shslub.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shslub.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
shslub.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shslubi	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem shslubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shslub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shslub.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
3		shslub.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	1, 2, 3	shlessi 29848	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐶 +ℋ 𝐵))
5	2, 3	shscomi 29834	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐶)
6	4, 5	sseqtrdi 3981	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐵 +ℋ 𝐶))
7	3, 2, 2	shlessi 29848	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 +ℋ 𝐶) ⊆ (𝐶 +ℋ 𝐶))
8	2	shsidmi 29855	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐶) = 𝐶
9	7, 8	sseqtrdi 3981	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 +ℋ 𝐶) ⊆ 𝐶)
10	6, 9	sylan9ss 3944	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)
11	1, 3	shsub1i 29843	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
12		sstr 3939	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
13	11, 12	mpan 687	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
14	3, 1	shsub2i 29844	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
15		sstr 3939	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
16	14, 15	mpan 687	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
17	13, 16	jca 512	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶))
18	10, 17	impbii 208	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3897  (class class class)co 7315   S_ℋ csh 29399   +_ℋ cph 29402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-hilex 29470  ax-hfvadd 29471  ax-hvcom 29472  ax-hvass 29473  ax-hv0cl 29474  ax-hvaddid 29475  ax-hfvmul 29476  ax-hvmulid 29477  ax-hvdistr2 29480  ax-hvmul0 29481

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-ltxr 11087  df-sub 11280  df-neg 11281  df-grpo 28964  df-ablo 29016  df-hvsub 29442  df-sh 29678  df-shs 29779

This theorem is referenced by:  shlesb1i  29857  shsval2i  29858