Theorem shslubi 31477

Description: The least upper bound law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shslub.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shslub.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
shslub.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shslubi	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem shslubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shslub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shslub.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
3		shslub.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	1, 2, 3	shlessi 31469	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐶 +ℋ 𝐵))
5	2, 3	shscomi 31455	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐶)
6	4, 5	sseqtrdi 3976	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐵 +ℋ 𝐶))
7	3, 2, 2	shlessi 31469	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 +ℋ 𝐶) ⊆ (𝐶 +ℋ 𝐶))
8	2	shsidmi 31476	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐶) = 𝐶
9	7, 8	sseqtrdi 3976	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 +ℋ 𝐶) ⊆ 𝐶)
10	6, 9	sylan9ss 3949	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)
11	1, 3	shsub1i 31464	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
12		sstr 3944	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
13	11, 12	mpan 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
14	3, 1	shsub2i 31465	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
15		sstr 3944	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
16	14, 15	mpan 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
17	13, 16	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶))
18	10, 17	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  (class class class)co 7368   S_ℋ csh 31020   +_ℋ cph 31023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hilex 31091  ax-hfvadd 31092  ax-hvcom 31093  ax-hvass 31094  ax-hv0cl 31095  ax-hvaddid 31096  ax-hfvmul 31097  ax-hvmulid 31098  ax-hvdistr2 31101  ax-hvmul0 31102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-grpo 30585  df-ablo 30637  df-hvsub 31063  df-sh 31299  df-shs 31400

This theorem is referenced by:  shlesb1i  31478  shsval2i  31479