Theorem shslubi 31366

Description: The least upper bound law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shslub.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shslub.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
shslub.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shslubi	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem shslubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shslub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shslub.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
3		shslub.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	1, 2, 3	shlessi 31358	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐶 +ℋ 𝐵))
5	2, 3	shscomi 31344	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐶)
6	4, 5	sseqtrdi 3999	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐵 +ℋ 𝐶))
7	3, 2, 2	shlessi 31358	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 +ℋ 𝐶) ⊆ (𝐶 +ℋ 𝐶))
8	2	shsidmi 31365	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐶) = 𝐶
9	7, 8	sseqtrdi 3999	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 +ℋ 𝐶) ⊆ 𝐶)
10	6, 9	sylan9ss 3972	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)
11	1, 3	shsub1i 31353	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
12		sstr 3967	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
13	11, 12	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
14	3, 1	shsub2i 31354	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
15		sstr 3967	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
16	14, 15	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
17	13, 16	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶))
18	10, 17	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  (class class class)co 7405   S_ℋ csh 30909   +_ℋ cph 30912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hvcom 30982  ax-hvass 30983  ax-hv0cl 30984  ax-hvaddid 30985  ax-hfvmul 30986  ax-hvmulid 30987  ax-hvdistr2 30990  ax-hvmul0 30991

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-grpo 30474  df-ablo 30526  df-hvsub 30952  df-sh 31188  df-shs 31289

This theorem is referenced by:  shlesb1i  31367  shsval2i  31368