Theorem shslubi 31314

Description: The least upper bound law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shslub.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shslub.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
shslub.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shslubi	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem shslubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shslub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shslub.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
3		shslub.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	1, 2, 3	shlessi 31306	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐶 +ℋ 𝐵))
5	2, 3	shscomi 31292	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐶)
6	4, 5	sseqtrdi 3987	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐵 +ℋ 𝐶))
7	3, 2, 2	shlessi 31306	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 +ℋ 𝐶) ⊆ (𝐶 +ℋ 𝐶))
8	2	shsidmi 31313	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐶) = 𝐶
9	7, 8	sseqtrdi 3987	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 +ℋ 𝐶) ⊆ 𝐶)
10	6, 9	sylan9ss 3960	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)
11	1, 3	shsub1i 31301	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
12		sstr 3955	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
13	11, 12	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
14	3, 1	shsub2i 31302	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
15		sstr 3955	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
16	14, 15	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
17	13, 16	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶))
18	10, 17	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  (class class class)co 7387   S_ℋ csh 30857   +_ℋ cph 30860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvcom 30930  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408  df-grpo 30422  df-ablo 30474  df-hvsub 30900  df-sh 31136  df-shs 31237

This theorem is referenced by:  shlesb1i  31315  shsval2i  31316